2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第八節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布學(xué)案理含解析

PAGE第八節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)潔離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡(jiǎn)潔實(shí)際問題.3.了解正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，并進(jìn)行簡(jiǎn)潔應(yīng)用.主要考查隨機(jī)變量的極值與方差的求法，多在解答題中涉及，正態(tài)分布多為選擇題、填空題，分值為5分.1.數(shù)學(xué)建模2.數(shù)學(xué)運(yùn)算‖學(xué)問梳理‖1．均值(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝eq\x(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的eq\x(2)平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝eq\x(3)aE(X)＋b．(3)①若X聽從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝eq\x(4)p；②若X～B(n，p)，則E(X)＝eq\x(5)np．2．方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1，2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq\x(6)eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,)（xi－E（X））2pi)為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的eq\x(7)平均偏離程度．稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱其eq\x(8)算術(shù)平方根eq\r(D（X）)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)D(aX＋b)＝eq\x(9)a2D(X)．(3)若X聽從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝eq\x(10)p(1－p)．(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝eq\x(11)np(1－p)．3．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸eq\x(12)上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線eq\x(13)x＝μ對(duì)稱；③曲線在eq\x(14)x＝μ處達(dá)到峰值eq\x(15)eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線與x軸之間的面積為eq\x(16)1；⑤當(dāng)σ肯定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的改變而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ肯定時(shí)，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越小，曲線越“eq\x(17)瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“eq\x(18)矮胖”，表示總體的分布越eq\x(19)分散．(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝eq\x(20)0.682_7；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝eq\x(21)0.954_5；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝eq\x(22)0.997_3．?常用結(jié)論若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)．(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(5)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．(6)若X～N(μ，σ2)，則X的均值與方差分別為E(X)＝μ，D(X)＝σ2.‖基礎(chǔ)自測(cè)‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)數(shù)學(xué)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關(guān)．()(2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的均值是隨機(jī)變量．()(3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小．()(4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的狀況，因此它們是一回事．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×二、走進(jìn)教材2．(選修2－3P68A1改編)已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為()A．eq\f(7,3) B．4C．－1 D．1答案：A3．(選修2－3P68練習(xí)2改編)若隨機(jī)變量X滿意P(X＝c)＝1，其中c為常數(shù)，則D(X)的值為________．答案：04．(選修2－3P75B組T2)已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，則c＝________．答案：eq\f(4,3)三、易錯(cuò)自糾5．已知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，并且η＝2ξ＋3，則方差D(η)＝()A．eq\f(32,9) B．eq\f(8,9)C．eq\f(43,9) D．eq\f(59,9)解析：選A由題意知，D(ξ)＝4×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(8,9)，∵η＝2ξ＋3，∴D(η)＝4·D(ξ)＝4×eq\f(8,9)＝eq\f(32,9).6．一個(gè)正四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上分別標(biāo)有1分，2分，3分和4分，往地面拋擲一次記不在地面上的頂點(diǎn)的分?jǐn)?shù)為X，則X的均值為________．解析：X的分布列為X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)∴E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一\a\vs4\al(離散型隨機(jī)變量的均值與方差))【例1】(2025屆河北九校其次次聯(lián)考)已知某種植物種子每粒勝利發(fā)芽的概率都為eq\f(1,3)，某植物探討所分三個(gè)小組分別獨(dú)立進(jìn)行該種子的發(fā)芽試驗(yàn)，每次試驗(yàn)種一粒種子，每次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立．假定某次試驗(yàn)種子發(fā)芽則稱該次試驗(yàn)是勝利的，假如種子沒有發(fā)芽，則稱該次試驗(yàn)是失敗的．(1)第一小組做了四次試驗(yàn)，求該小組恰有兩次失敗的概率；(2)其次小組做了四次試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)勝利與失敗的次數(shù)的差的肯定值為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．[解](1)該小組恰有兩次失敗的概率P＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4－2)＝eq\f(24,81)＝eq\f(8,27).(2)由題意可知X的取值集合為{0，2，4}，則P(X＝0)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4－2)＝eq\f(24,81)＝eq\f(8,27)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4－1)＋Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4－3)＝eq\f(32＋8,81)＝eq\f(40,81)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(16＋1,81)＝eq\f(17,81).故X的分布列為X024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)故E(X)＝0×eq\f(8,27)＋2×eq\f(40,81)＋4×eq\f(17,81)＝eq\f(148,81)，即所求數(shù)學(xué)期望為eq\f(148,81).?名師點(diǎn)津離散型隨機(jī)變量的均值與方差求法的關(guān)鍵點(diǎn)及留意點(diǎn)(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的全部可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算．(2)留意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應(yīng)用．|跟蹤訓(xùn)練|1．(2025屆蘭州市高三實(shí)戰(zhàn)考試)某智能共享單車備有A，B兩種車型，采納分段計(jì)費(fèi)，A型單車每30分鐘收費(fèi)0.5元(不足30分鐘的部分按30分鐘計(jì)算)，B型單車每30分鐘收費(fèi)1元(不足30分鐘的部分按30分鐘計(jì)算)．現(xiàn)有甲、乙、丙三人，分別相互獨(dú)立地到租車點(diǎn)租車騎行(各租一車一次)，設(shè)甲、乙、丙不超過30分鐘還車的概率分別為eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，并且三個(gè)人每人租車都不會(huì)超過60分鐘，甲、乙均租用A型單車，丙租用B型單車．(1)求甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用的概率；(2)設(shè)甲、乙、丙三人所付的費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)由題意，得甲、乙、丙三人在30分鐘以上且不超過60分鐘還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2).設(shè)“甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用”為事務(wù)M，則P(M)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,24).(2)由題意，隨機(jī)變量ξ的全部可能取值為2，2.5，3，3.5，4，則P(ξ＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝2.5)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,24)，P(ξ＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,24)，P(ξ＝3.5)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,24)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,24)，所以ξ的分布列為ξ22.533.54Peq\f(1,4)eq\f(5,24)eq\f(7,24)eq\f(5,24)eq\f(1,24)所以E(ξ)＝2×eq\f(1,4)＋2.5×eq\f(5,24)＋3×eq\f(7,24)＋3.5×eq\f(5,24)＋4×eq\f(1,24)＝eq\f(67,24).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的均值與方差在決策中的應(yīng)用)【例2】(2025屆合肥市二檢)某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購買2臺(tái)機(jī)器的客戶，推出2種超過質(zhì)保期后2年內(nèi)的延保修理實(shí)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的2年內(nèi)可免費(fèi)修理2次，超過2次每次收取修理費(fèi)2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的2年內(nèi)可免費(fèi)修理4次，超過4次每次收取修理費(fèi)1000元．某醫(yī)院打算一次性購買2臺(tái)這種機(jī)器．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保2年內(nèi)修理的次數(shù)，得下表：修理次數(shù)0123臺(tái)數(shù)5102015以這50臺(tái)機(jī)器修理次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器修理次數(shù)發(fā)生的概率．記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的2年內(nèi)共需修理的次數(shù)．(1)求X的分布列；(2)以方案一與方案二所需費(fèi)用(所需延保金及修理費(fèi)用之和)的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？[解](1)X的全部可能取值為0，1，2，3，4，5，6.P(X＝0)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(1,100)，P(X＝1)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,5)×2＝eq\f(1,25)，P(X＝2)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,10)×2＝eq\f(3,25)，P(X＝3)＝eq\f(1,10)×eq\f(3,10)×2＋eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×2＝eq\f(11,50)，P(X＝4)＝eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(3,10)×eq\f(1,5)×2＝eq\f(7,25)，P(X＝5)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,10)×2＝eq\f(6,25)，P(X＝6)＝eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(9,100)，∴X的分布列為X0123456Peq\f(1,100)eq\f(1,25)eq\f(3,25)eq\f(11,50)eq\f(7,25)eq\f(6,25)eq\f(9,100)(2)選擇延保方案一，所需費(fèi)用Y1的分布列為Y170009000110001300015000Peq\f(17,100)eq\f(11,50)eq\f(7,25)eq\f(6,25)eq\f(9,100)E(Y1)＝eq\f(17,100)×7000＋eq\f(11,50)×9000＋eq\f(7,25)×11000＋eq\f(6,25)×13000＋eq\f(9,100)×15000＝10720(元)．選擇延保方案二，所需費(fèi)用Y2的分布列為Y2100001100012000Peq\f(67,100)eq\f(6,25)eq\f(9,100)E(Y2)＝eq\f(67,100)×10000＋eq\f(6,25)×11000＋eq\f(9,100)×12000＝10420(元)．∵E(Y1)>E(Y2)，∴該醫(yī)院選擇延保方案二較合算．?名師點(diǎn)津利用均值、方差進(jìn)行決策的2個(gè)方略(1)當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見不同，可對(duì)問題作出推斷．(2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來探討隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策．|跟蹤訓(xùn)練|2．(2025屆貴陽摸底)某公司在迎新年晚會(huì)上實(shí)行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)方案供員工選擇．方案甲：?jiǎn)T工最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為eq\f(4,5).第一次抽獎(jiǎng)，若未中獎(jiǎng)，則抽獎(jiǎng)結(jié)束；若中獎(jiǎng)，則通過拋一枚質(zhì)地勻稱的硬幣，確定是否接著進(jìn)行其次次抽獎(jiǎng)．規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，則員工獲得500元獎(jiǎng)金，不進(jìn)行其次次抽獎(jiǎng)；若正面朝上，則員工進(jìn)行其次次抽獎(jiǎng)，在其次次抽獎(jiǎng)中，若中獎(jiǎng)，則獲得獎(jiǎng)金1000元，若未中獎(jiǎng)，則所獲得的獎(jiǎng)金為0元．方案乙：?jiǎn)T工連續(xù)三次抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)率均為eq\f(2,5)，每次中獎(jiǎng)均可獲得獎(jiǎng)金400元．(1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(單位：元)的分布列；(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)，哪個(gè)方案更劃算？解：(1)由題意知，X的全部可能取值為0，500，1000，則P(X＝0)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＝eq\f(7,25)，P(X＝500)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,5)，P(X＝1000)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,25)，∴某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的分布列為X05001000Peq\f(7,25)eq\f(2,5)eq\f(8,25)(2)由(1)可知，選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的期望E(X)＝0×eq\f(7,25)＋500×eq\f(2,5)＋1000×eq\f(8,25)＝520；若選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)次數(shù)ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，E(ξ)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金Y的期望E(Y)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480.因?yàn)?20>480，故選擇方案甲更劃算．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(正態(tài)分布的創(chuàng)新應(yīng)用問題))【例】(2025屆大連模擬)某鋼管生產(chǎn)車間生產(chǎn)一批鋼管(大量)，質(zhì)檢員從中抽出若干根對(duì)其直徑(單位：mm)進(jìn)行測(cè)量，得出這批鋼管的直徑X聽從正態(tài)分布N(65，4.84)．當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢時(shí)，測(cè)得一根鋼管的直徑為73mm，他馬上要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備，(1)請(qǐng)你依據(jù)所學(xué)學(xué)問，推斷該質(zhì)檢員的確定是否有道理，并說明推斷的依據(jù)；(2)假如從該批鋼管中隨機(jī)抽取100根，設(shè)其直徑滿意在60.6～65mm內(nèi)的根數(shù)為隨機(jī)變量ξ.①求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望；②求使P(ξ＝k)取最大值時(shí)的整數(shù)k的值．附：若隨機(jī)變量Z聽從正態(tài)分布Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6827；P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9545；P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)＝0.9973.[解](1)由題意知，μ＝65，σ＝2.2，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6，73∈(μ＋3σ，＋∞)，∴P(X>71.6)＝eq\f(1－P（58.4<X<71.6）,2)＝eq\f(1－0.9973,2)＝0.0014.∴測(cè)得一根鋼管的直徑為73mm為小概率事務(wù)，故該質(zhì)檢員的確定有道理．(2)①∵μ＝65，σ＝2.2，μ－2σ＝60.6，由題意P(μ－2σ<X<μ)＝eq\f(P（μ－2σ<X≤μ＋2σ）,2)＝eq\f(0.9545,2)＝0.4773，∴ξ～B(100，0.4773)．∴E(ξ)＝100×0.4772＝47.73(根)；②P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,100)0.4773k·0.5227100－k，設(shè)P(X＝k)最大，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（X＝k）≥P（X＝k＋1），,P（X＝k）≥P（X＝k－1），))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0.5227,100－k)≥\f(0.4773,k＋1)，,\f(0.4773,k)≥\f(0.5227,101－k)，))解得47.2073≤k≤48.2073.∵k∈N*，∴使P(X＝k)取最大值時(shí)的整數(shù)k＝48.?名師點(diǎn)津求解此類問題的關(guān)鍵是理清條件中變量之間的關(guān)系，弄準(zhǔn)數(shù)據(jù)，精確運(yùn)算是解決這類問題的留意點(diǎn)．|跟蹤訓(xùn)練|(2025屆武漢市武昌區(qū)高三調(diào)考)某公司開發(fā)了一種產(chǎn)品，有一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)為“長(zhǎng)度”(記為l，單位：cm)，先從中隨機(jī)抽取100件，測(cè)量發(fā)覺全部介于85cm和155cm之間，得到如下頻數(shù)分布表：分組[85，95)[95，1