2024-2025高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.1.1任意角學(xué)案含解析新人教A版必修4

PAGE8-1.1.1隨意角考試標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)要點學(xué)考要求高考要求隨意角的概念aa終邊相同的角的表示bb象限角的概念bb注：“a”表示“了解”，“b”表示“理解”，“c”表示“駕馭”．學(xué)問導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1.結(jié)合實例明確隨意角的概念．2．本節(jié)的重點是理解并駕馭正角、負角、零角的概念，駕馭用集合的形式表示終邊相同的角，并會推斷角的終邊所在的象限.1.角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線圍著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．2．角的表示頂點：用O表示；始邊：用OA表示，用語言可表示為起始位置；終邊：用OB表示，用語言可表示為終止位置．eq\x(狀元隨筆)(1)在畫圖時，常用帶箭頭的弧來表示旋轉(zhuǎn)的方向．(2)為了簡潔起見，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以簡記成“α”．3．角的分類類型定義圖示正角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負角按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個零角4.象限角在直角坐標(biāo)系中探討角時，當(dāng)角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合時，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角，假如角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限．5．終邊相同的角全部與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．eq\x(狀元隨筆)(1)α為隨意角，“k∈Z”這一條件不能漏．(2)k·360°與α中間用“＋”連接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．(3)當(dāng)角的始邊相同時，相等的角的終邊肯定相同，而終邊相同的角不肯定相等．終邊相同的角有多數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍．終邊不同則表示的角肯定不同．[小試身手]1．推斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)角的始邊、終邊是確定的，角的大小是確定的．()(2)第一象限的角肯定是銳角．()(3)終邊相同的角是相等的角．()答案：(1)×(2)×(3)×2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解析：結(jié)合正角、負角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是負角，0°是零角，故選B.答案：B3．與30°角終邊相同的角的集合是()A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：由終邊相同的角的定義可知與30°角終邊相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．答案：A4．2024°是第()象限角()A．一B．二C．三D．四解析：2024°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°，∴2024°是第三象限角．答案：C類型一隨意角的概念及應(yīng)用例1(1)若角的頂點在原點，角的始邊與x軸的非負半軸重合，給出下列四個命題：①0°角是第一象限角；②相等的角的終邊肯定相同；③終邊相同的角有無限多個；④與－30°角終邊相同的角都是第四象限角．其中正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個(2)時針走過2小時40分，則分針轉(zhuǎn)過的角度是________．【解析】(1)①錯誤，0°角是象限界角；②③④正確．(2)分針按順時針方向轉(zhuǎn)動，則轉(zhuǎn)過的角度是負角為－360°×2eq\f(2,3)＝－960°.【答案】(1)C(2)－960°依據(jù)象限分類，角可以分為象限角和象限界角；角的正負是由終邊的旋轉(zhuǎn)方向確定的．分針1個小時轉(zhuǎn)過的角度的肯定值是360°.方法歸納與角的概念有關(guān)問題的解決方法正確解答角的概念問題，關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大?。硗忭氁{馭推斷結(jié)論正確與否的技巧，推斷結(jié)論正確須要證明，而推斷結(jié)論不正確只需舉一個反例即可．跟蹤訓(xùn)練1在下列說法中：①0°～90°的角是第一象限角；②其次象限角大于第一象限角；③鈍角都是其次象限角；④小于90°的角都是銳角．其中錯誤說法的序號為________．解析：①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不屬于任何象限，所以①不正確．②120°是其次象限角，390°是第一象限角，明顯390°>120°，所以②不正確．③鈍角的范圍是(90°，180°)，明顯是其次象限角，所以③正確．④銳角的范圍是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或負角，所以④不正確．答案：①②④類型二終邊相同的角例2寫出與75°角終邊相同的角的集合，并求在360°～1080°范圍內(nèi)與75°角終邊相同的角．【解析】與75°角終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．當(dāng)360°≤β<1080°，即360°≤k·360°＋75°<1080°時，解得eq\f(19,24)≤k<2eq\f(19,24).又k∈Z，所以k＝1或k＝2.當(dāng)k＝1時，β＝435°；當(dāng)k＝2時，β＝795°.綜上所述，與75°角終邊相同且在360°～1080°范圍內(nèi)的角為435°角和795°角.依據(jù)與角α終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，寫出與75°角終邊相同的角的集合，再取適當(dāng)?shù)膋值，求出360°～1080°范圍內(nèi)的角．方法歸納(1)寫出終邊落在直線上的角的集合的步驟①寫出在[0°，360°)內(nèi)相應(yīng)的角；②由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；③依據(jù)條件能合并肯定合并，使結(jié)果簡潔．(2)終邊相同角常用的三個結(jié)論①終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍；②終邊在同始終線上的角之間相差180°的整數(shù)倍；③終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍．跟蹤訓(xùn)練2寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中滿意－360°≤α<720°的元素寫出來．(1)α＝60°；(2)α＝－210°；(3)α＝364°13′.解析：(1)S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．當(dāng)k＝－1時，α＝－300°；當(dāng)k＝0時，α＝60°；當(dāng)k＝1時，α＝420°.∴S中滿意－360°≤α<720°的元素是－300°，60°，420°.(2)S＝{α|α＝－210°＋k·360°，k∈Z}．當(dāng)k＝0時，α＝－210°；當(dāng)k＝1時，α＝150°；當(dāng)k＝2時，α＝510°.∴S中滿意－360°≤α<720°的元素是－210°，150°，510°.(3)S＝{α|α＝364°13′＋k·360°，k∈Z}．當(dāng)k＝－2時，α＝－355°47′；當(dāng)k＝－1時，α＝4°13′；當(dāng)k＝0時，α＝364°13′.∴S中滿意－360°≤α<720°的元素是－355°47′，4°13′，364°13′.求與已知角α終邊相同的角時，首先將這樣的角表示成k·360°＋α(k∈Z)的形式，然后采納賦值法求解相應(yīng)不等式，確定k的值，求出滿意條件的角．類型三象限角與區(qū)間角的表示例3(1)若α是第四象限角，則－α肯定在()A.第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限(2)寫出終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)的角的集合．【解析】(1)因為α是第四象限角，所以k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z.所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．(2)若角α的終邊落在OA上，則α＝30°＋360°·k，k∈Z.若角α的終邊落在OB上，則α＝135°＋360°·k，k∈Z.所以，角α的終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)時，30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值集合為{α|30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z}．【答案】(1)A(2)見解析依題意寫出α的范圍，再求－α的范圍．由圖寫出終邊OA表示的角，終邊OB表示的角，再求陰影的范圍.方法歸納象限角的判定方法(1)依據(jù)圖象判定．依據(jù)是終邊相同的角的概念，因為0°～360°之間的角的終邊與坐標(biāo)系中過原點的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系．(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0°～360°范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的．跟蹤訓(xùn)練3已知α是其次象限角，則180°－α是()A.第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由α是其次象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)(k∈Z)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所以180°－α為第一象限角．答案：A定α的范圍→定180°－α的范圍→定180°－α是第幾象限角[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．下列角中，終邊在y軸非負半軸上的是()A．45°B．90°C．180°D．270°解析：依據(jù)角的概念可知，90°角是以x軸的非負半軸為始邊，逆時針旋轉(zhuǎn)了90°，故其終邊在y軸的非負半軸上．答案：B2．把一條射線圍著端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)240°所形成的角是()A．120°B．－120°C．240°D．－240°解析：一條射線圍著端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)240°所形成的角是－240°，故選D.答案：D3．與－457°角終邊相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析：263°＝－457°＋360°×2，所以263°角與－457°角的終邊相同，所以與－457°角終邊相同的角可寫作α＝k·360°＋263°，k∈Z.答案：C4．若α為銳角，則下列各角中肯定為第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α解析：∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，故選C.答案：C5．若角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，則必有()A．α＋β＝90°B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z)解析：α與β的終邊關(guān)于y軸對稱，則α與180°－β終邊相同，故α＝180°－β＋360°·k，即α＋β＝(2k＋1)·180°，k∈Z.答案：D二、填空題(每小題5分，共15分)6．圖中從OA旋轉(zhuǎn)到OB，OB1，OB2時所成的角度分別是________、________、________.解析：圖(1)中的角是一個正角，α＝390°.圖(2)中的角是一個負角、一個正角，β＝－150°，γ＝60°.答案：390°－150°60°7．已知角α與2α的終邊相同，且α∈[0°，360°)，則角α＝________.解析：由條件知，2α＝α＋k·360°，所以α＝k·360°(k∈Z)，因為α∈[0°，360°)，所以α＝0°.答案：0°8．如圖，終邊在陰影部分內(nèi)的角的集合為________________________．解析：先寫出邊界角，再按逆時針依次寫出區(qū)域角，則得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}三、解答題(每小題10分，共20分)9．在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是第幾象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解析：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角為第三象限角，且在0°～360°范圍內(nèi)，與189°角有相同的終邊．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角為第四象限角，且在0°～360°范圍內(nèi)，與300°角有相同的終邊．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°.因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范圍內(nèi)，與216°24′角有相同的終邊．10．如圖所示，分別寫出適合下列條件的角的集合：(1)終邊落在射線OM上；(2)終邊落在直線OM上；(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)．解析：(1)終邊落在射線OM上的角的集合為A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．(2)由(1)得終邊落在射線OM上的角的集合為A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在射線OM反向延長線上的角的集合為B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，則終邊落在直線OM上的角的集合為A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．(3)終邊落在直線ON上的角的集合為C＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，則終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為S＝{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．|實力提升|(20分鐘，40分)11．若角α與65°角的終邊相同，角β與－115°角的終邊相同，那么α與β之間的關(guān)系是()A．α＋β＝－50°B．α－β＝180°C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)解析：由題意可知，α＝k1·360°＋65°(k1∈Z)，β＝k2·360°－115°(k2∈Z)，所以α－β＝(k1－k2)·360°＋180°，記k＝k1－k2∈Z，故α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)．答案：D12．若角α的終邊與75°角的終邊關(guān)于直線y＝0對稱，且0°<α<360°，則角α的值為________．解析：如圖，設(shè)75°角的終邊為射線OA，射線OA關(guān)于直線y＝0對稱的射線為OB，則以射線OB為終邊的一個角為－75°，所以以射線OB為終邊的角的集合為{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又0°<α<360°，令k＝1，得α＝285°.答案：285°13．如圖，寫出終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合．解析：方法一終邊在y＝eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；終邊在y＝eq\r(3)x(x≤0)上的角的集合是S2＝{