山西省長(zhǎng)治市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024—2025學(xué)年度高三年級(jí)九月份質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題【注意事項(xiàng)】1.本試卷全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫(xiě)在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.3.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，填空題和解答題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆書(shū)寫(xiě)在答題卡對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.第Ⅰ卷選擇題（58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，,則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由已知得，因?yàn)?，所以，故選A．2.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，找到共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】結(jié)合題意：，所以.故選：B.3.下列函數(shù)在定義域中既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)冪函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，在定義域上無(wú)單調(diào)性，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由于函數(shù)均為增函數(shù)，故在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤.故選：B4.已知下列四個(gè)命題：：設(shè)直線是平面外的一條直線，若直線不平行于平面，則內(nèi)不存在與平行的直線.：過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與這條直線平行.：如果直線和平面滿足，那么.：設(shè)均為直線，其中在平面內(nèi)，則“”是“且”的充分不必要條件.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)和判斷定理可判斷、、的正誤，根據(jù)線面垂直的判斷定理可判斷的正誤.【詳解】對(duì)于，因?yàn)橹本€不平行于平面，故與相交，若內(nèi)存在與平行的直線，由線面平行的判斷定理可得，矛盾，故正確.對(duì)于，過(guò)直線外一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)個(gè)平面與這條直線平行，故錯(cuò)誤.對(duì)于，如果直線和平面滿足，則異面或相交或平行，故錯(cuò)誤.對(duì)于，若，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，則且，但若且，在相交的條件下才有，故是且的充分不必要條件，故正確.故選：B.5.的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A.﹣10 B.0 C.10 D.30【答案】C【解析】【分析】根據(jù)乘法的分配律以及二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】依題意可知，含的項(xiàng)是，所以的系數(shù)是.故選：C6.平面上的三個(gè)力作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài).若與的夾角為45°，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù),先求得，再由，即可求解.【詳解】∵三個(gè)力平衡，∴，∴.設(shè)與的夾角為，則，即，解得故選：A7.若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線方程為，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.8.已知矩形（）的周長(zhǎng)為12，把沿向折疊，折過(guò)去后交于點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，的長(zhǎng)度為（）A.3 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，用表示，以及面積，結(jié)合基本不等式即可求得結(jié)果【詳解】由題意可知，矩形的周長(zhǎng)為12，，即，設(shè)，則，而為直角三角形，∴，∴，∴，∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，滿足，即時(shí)，面積.取最大值.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（）A.B.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D.函數(shù)為偶函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】首先根據(jù)得到，根據(jù)得到，根據(jù)得到，從而得到，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，，所以.因?yàn)?，所以，?又因?yàn)?，所以，?因?yàn)椋?，即，故A正確.對(duì)選項(xiàng)B，令，解得，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，令，解得，，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，，因?yàn)?，定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知a，，有一組樣本數(shù)據(jù)為，3，，，8，10，，12，13，若在這組數(shù)據(jù)中再插入一個(gè)數(shù)8，則（）A.平均數(shù)不變 B.中位數(shù)不變 C.方差不變 D.極差不變【答案】AD【解析】【分析】求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，判斷A的真假；令取特殊值，驗(yàn)證B的真假；利用方差的計(jì)算公式求方差判斷C的真假；因?yàn)?不是最值，所以插入8不影響極差，可判斷D的真假.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，插入一個(gè)數(shù)8，平均數(shù)不變，正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9，新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8.5，錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，新數(shù)據(jù)的方差為，錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?不是最值，故新數(shù)據(jù)的極差不變，正確．故選：AD11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中正確的是（）A.直線平面B.棱與平面所成角的正切值為C.若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段D.若，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，用空間坐標(biāo)求解A,，B選項(xiàng);對(duì)C，D選項(xiàng):設(shè)，根據(jù)條件求出滿足的方程,判斷其軌跡即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量，由得，令得，所以取，因?yàn)?，故，所以直線平面，故A正確;對(duì)B:設(shè)與平面所成角為，則，所以，故B錯(cuò)誤;對(duì)C:設(shè)平面的法向量，由得，令得，所以取，因?yàn)镼為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以，即，令得，此時(shí)為棱的中點(diǎn)，令得，此時(shí)為棱的中點(diǎn)，在正方形內(nèi)的軌跡為線段，故C正確;對(duì)D:由得，即，在正方形內(nèi)的軌跡為以為圓心，半徑為的四分之一圓周，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確.故選:ACD【點(diǎn)睛】對(duì)空間幾何中的軌跡或最值問(wèn)題求解時(shí)可以建立空間直角坐標(biāo)系,幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系,可從方程上判斷軌跡形狀,從函數(shù)的角度求最值.第Ⅱ卷非選擇題（92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______.【答案】81【解析】【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)公式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，知道，則，則，若公差為，所以，則.故則.故答案為：8113.已知拋物線、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，且與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)A，若，則b＝______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知，，根據(jù)題意，列出方程求解即可.【詳解】如圖所示，因?yàn)閽佄锞€所以，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)殡p曲線的一條漸近線，所以，因?yàn)?，所以即，化?jiǎn)得，又因?yàn)?，?lián)立解得故答案為：.14.已知實(shí)數(shù)，滿足，，則______.【答案】【解析】【分析】由已知條件考慮將兩個(gè)等式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式，令，得到，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出關(guān)系，即可求解.【詳解】實(shí)數(shù)，滿足，，，，則，，所以在(0,+∞)單調(diào)遞增，而，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用，換元法是解題的關(guān)鍵，構(gòu)造函數(shù)是難點(diǎn)，屬于中檔題.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在銳角中，a，b，c分別為內(nèi)角A、B，C的對(duì)邊，且.（1）求A的大?。唬?）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助正弦定理將角化邊后，借助余弦定理計(jì)算即可得；（2）由為銳角三角形可得角的范圍，再借助三角恒等變換化簡(jiǎn)后計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】由題及正弦定理得：，即，則，∵，∴；【小問(wèn)2詳解】由為銳角三角形知，，故，則，有，即，故的取值范圍為.16.如圖，AB是圓的直徑，MA與圓所在的平面垂直，C是圓上不同于A、B的一點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由平面可得，結(jié)合是圓的直徑可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可得平面平面；（2）法一：可建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并分別求出平面與平面法向量，借助空間向量夾角公式計(jì)算；法二：作于，作于，連接，借助線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理可得到為二面角的平面角，從而只需計(jì)算出即可得解.【小問(wèn)1詳解】∵平面，平面，∴，∵是圓的直徑，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，∴平面平面；【小問(wèn)2詳解】法一：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則有，令，得，設(shè)平面的法向量，則有，令，得，則，，二面角的正弦值為.法二：作于，作于，連接，∵平面，平面，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，∴，又∵，、平面，∴平面，∵平面，∴，∴為二面角的平面角，，∵平面，平面，∴，，∵平面，平面，∴，，則，二面角的正弦值為.17.已知函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）求導(dǎo)可得，分情況討論：當(dāng)時(shí)，f′x>0恒成立，得的增區(qū)間為0,+∞；當(dāng)，由f′x>0，得增區(qū)間，由f′（3）由題意得到函數(shù)，要證明，只需證明，再利用導(dǎo)數(shù)求出即可得證.【小問(wèn)1詳解】，由曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線與直線，.【小問(wèn)2詳解】的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，f′x>0，在0,+當(dāng)時(shí)，由，得.當(dāng)時(shí)，f′x>0，當(dāng)時(shí)，f′x<0，綜上：當(dāng)時(shí)，在0,+∞上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.，∴.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)y=fx，y=gx，，構(gòu)造函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故.18.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為，且該橢圓過(guò)點(diǎn)，直線l交橢圓E（1）求橢圓E方程；（2）若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程；（3）若直線l方程為，過(guò)A、B作直線的垂線，垂足分別為P、Q，點(diǎn)R為線段PQ的中點(diǎn)，求證：四邊形ARQF為梯形.【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）利用點(diǎn)差法求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.（3）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，計(jì)算，以及AF與RQ，從而判斷出四邊形ARQF為梯形.【小問(wèn)1詳解】由題得，將代入得：，橢圓E的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)Ax1,y且，兩式相減得：，可得，l方程為，即.【小問(wèn)3詳解】由得：，且，，∴，又直線的斜率存在，AF與RQ不平行，∴四邊形ARQF為梯形.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件求得，和是兩個(gè)未知參數(shù)，要求出兩個(gè)參數(shù)的值，需要兩個(gè)已知條件，如本題中“橢圓的右焦點(diǎn)以及橢圓所過(guò)點(diǎn)”兩個(gè)已知條件，再結(jié)合即可求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.19.某汽車(chē)公司最新研發(fā)了一款新能源汽車(chē)，并在出廠前對(duì)100輛汽車(chē)進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車(chē)所裝載燃料或電池所能夠提供給車(chē)行駛的最遠(yuǎn)里程）的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)這100輛汽車(chē)的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）由頻率分布直方圖計(jì)算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為49.75.根據(jù)大量的汽車(chē)測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車(chē)的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差S.（?。├迷撜龖B(tài)分布，求；（ⅱ）假設(shè)某企業(yè)從該汽車(chē)公司購(gòu)買(mǎi)了20輛該款新能源汽車(chē)，記Z表示這20輛新能源汽車(chē)中單次最大續(xù)航里程位于區(qū)間（250.25，399.5）的車(chē)輛數(shù)，求E（Z）；參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則，.（3）某汽車(chē)銷(xiāo)售公司為推廣此款新能源汽車(chē)，現(xiàn)面向意向客戶(hù)推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶(hù)可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車(chē)在x軸上從原點(diǎn)O出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都，客戶(hù)每擲一次硬幣，遙控車(chē)向右移動(dòng)一次，若擲出正面，則遙控車(chē)向移動(dòng)一個(gè)單位，若擲出反面，則遙控車(chē)向右移動(dòng)兩個(gè)單位，直到遙控車(chē)移到點(diǎn)（59，0）（勝利大本營(yíng)）或點(diǎn)（60，0）（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束，若遙控車(chē)最終停在“勝利大本營(yíng)”，則可