2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：一箭穿心與瓜豆原理（最值專題）含答案

2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)一箭穿心與瓜豆原

理（最值專題）含答案

箭穿心與瓜豆原理（最值專題）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、一箭穿心與最值

題目①如圖，矩形中，AB=2,BC=3,以A為圓心，1為半徑畫是。A上一動(dòng)點(diǎn)，P是BC

上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD最小值是（）

A.2B.3C.4D.2V3

題目區(qū)如圖,在矩形ABCD中，AB=2,AD=J7,動(dòng)點(diǎn)P在矩形的邊上沿A運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P

不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，將△ABP沿AP對(duì)折，得到△ABT,連接CB',則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最

題目區(qū)如圖，。河的半徑為4,圓心河的坐標(biāo)為（5,⑵，點(diǎn)P是。河上的任意一點(diǎn)，且P4PB

與多軸分別交于A、8兩點(diǎn)，若點(diǎn)4、點(diǎn)口關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，則的最小值為.

題目@如圖，在/\ABC中，AD是5。邊上的中線，8,AC=4V2.

（1）當(dāng)AB=時(shí)，ACAD=°；

（2）當(dāng)A4CD面積最大時(shí)，則AD=

題目回如圖，。河的半徑為4,圓心河的坐標(biāo)為（6,8）,點(diǎn)P是。河上的任意一點(diǎn)，PALPB,且PA、PB

與多軸分別交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)入、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，則AB的最大值為（）

A.13B.14C.12D.28

題目回點(diǎn)A是半徑為2的。。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。到直線上W的距離為3.點(diǎn)P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過

程中若=90°,則線段P4的最小值是.

［題目⑶如圖所示，AB為。。的一條弦，點(diǎn)。為。。上一動(dòng)點(diǎn)，且/BCA=30°,點(diǎn)分別是的

中點(diǎn)，直線ER與。。交于G,H兩點(diǎn)，若。。的半徑為7,求GE+的最大值.

二、瓜豆原理

1目切如圖,在平面內(nèi)，線段=6,P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線

段AB垂直相交于點(diǎn)P,且滿足PC=PA.若點(diǎn)P沿AB方向從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3,則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

［題目團(tuán)如圖，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為4(4,0),B(0,4),。為坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且BC=2,點(diǎn)Af為線段AC

的中點(diǎn)，連接OM,當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)河的縱坐標(biāo)為

題目⑼如圖，已知4(6,0),8(4,3)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)，以點(diǎn)B圓心的。B經(jīng)過原點(diǎn)2軸

于點(diǎn)。，點(diǎn)。為⑷B上一動(dòng)點(diǎn)，后為40的中點(diǎn)，則線段CE長(zhǎng)度的最大值為.

［題目@如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，。(0,4),4(3,0),。4半徑為2,P為。A上任意一點(diǎn)，E是PC的中

點(diǎn)，則OE的最小值是.

題目回如圖，在Rt/XABC中,ZABC=90°,AACB=30°,BC=2盜，/\ADC與△AB。關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)

反廠分別是邊。。、3。上的任意一點(diǎn),且。豆=。干，跳；、。尸相交于點(diǎn)？,則。？的最小值為()

A.1B.V3C.D.2

［題目回在4ABC中,NACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)。是以點(diǎn)人為圓心,半徑為1的圓上一點(diǎn),連接BD

并取中點(diǎn)A1,則線段CM的長(zhǎng)最大為，最小為

題目⑶如圖，在等腰直角三角形ABC中，乙45。=90°,48=5。=4,_?是448。所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足

PA±PB,則PC的最大值為

三、新定義

〔題目〔1〕定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點(diǎn)，線段PQ長(zhǎng)度的最小值叫做線段a與線設(shè)b的“冰雪

距離已知0(0,0),一(1,1),,C(m,n+2)是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn).

圖I圖2符用圖

(1)根據(jù)上述定義，完成下面的問題：

①當(dāng)m=2,九=1時(shí)，如圖1,線段與線段04的“冰雪距離”是一

②當(dāng)館=2時(shí)，線段與線段OA的“冰雪距離”是1,則n的取值范圍是_

⑵如圖2,若點(diǎn)B落在圓心為4半徑為1的圓上，當(dāng)n>1時(shí)，線段BC與線段04的“冰雪距離”記為d,

結(jié)合圖象，求d的最小值；

⑶當(dāng)m的值變化時(shí),動(dòng)線段與線段OA的“冰雪距離”始終為1,線段的中點(diǎn)為M.求點(diǎn)M隨線

段運(yùn)動(dòng)所走過的路徑長(zhǎng)，

一箭穿心與瓜豆原理（最值專題）

學(xué)校：姓名:班級(jí):考號(hào):

一、一箭穿心與最值

版目［］如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,以A為圓心，1為半徑畫O4E是。A上一動(dòng)點(diǎn)，P是BC

上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD最小值是（）

C.4D.2V3

【答案】。

【詳解】解:如圖，作點(diǎn)。關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)F,連接AF,交BC于點(diǎn)P,交?4于點(diǎn)E,此時(shí)PE+PD

最小，最小值等于AF—AE,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：CF=CD,

?：四邊形ABCD是矩形,AB=2,BC=3,

：.AB=CD=2,AD=BC=3,AADF=9Q°,

：.DF=CD+CF=2CD=4,

：.AF=y/AD2+DF2=V32+42=5,

AE=1,

：.EF=AF-AE=4f

即PE+PD的最小值為4,

故選：C.

題目印如圖,在矩形ABCD中，48=2,人。=，7,動(dòng)點(diǎn)。在矩形的邊上沿3一。一。一人運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P

不與點(diǎn)力、B重合時(shí)，將/\ABP沿AP對(duì)折,得到△AFP,連接CB',則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段CF的最

小值為

1

AD

\

-...

【答案】，IT—2/-2+V1T

【詳解】解:在矩形ABCD中，AB=2,AD=V7,

：.BC=AD=V7,AC=y/BC2+AB2=V7+4=Vil,

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，

,/AB=AB=2,

..?.呂在4為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)A,3,。三點(diǎn)共線時(shí)，生最短，

此時(shí)生=AC—4F=41—2,

當(dāng)點(diǎn)P在。。上時(shí)，如圖所示，

此時(shí)—

當(dāng)P在AD上時(shí)，如圖所示，此時(shí)婚＞〃11一2,

綜上所述，C&的最小值為VTT-2,

故答案為：V1T—2.

.

題目區(qū)如圖，。M的半徑為4，圓心”的坐標(biāo)為（5,⑵，點(diǎn)P是。河上的任意一點(diǎn)，PA，且P4PB

與立軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,則AB的最小值為.

【詳解】解:如圖所示，連接OP,

：./APB=90°,

40=BO,

：.AB^2PO,

若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，

連接。河，交0M■于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P位于P位置時(shí)，OP取得最小值，

過點(diǎn)Af作MQ_L/軸于點(diǎn)Q,

則OQ=5,MQ—12,

在用人/陽口中，根據(jù)勾股定理，得

OM=^OQ^MQ2=V52+122=13,

又??,MP,=4,

???OP=9,

???AB=2OP=18,

故答案為：18.

Ml④如圖，在△4BC中，40是BC邊上的中線，8,4。=472.

（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，2CAD=°；

（2）當(dāng)AACD面積最大時(shí)，則AD=.

【答案】454V3

【詳解】解：（1）當(dāng)4B=A。時(shí)，

AD是BC邊上的中線，

：.AD±BC,BD=CD=4：,

：.AD=^AC2-CD2=^,

：./XACD是等腰直角三角形，

/CAD=45°;

（2）在△ACD中，以CD為底，CD=^BC=4,

則當(dāng)CD邊上的高最大時(shí)，△力CD面積最大，

如圖，點(diǎn)A在以點(diǎn)。為圓心，AC為半徑的圓上,

故當(dāng)時(shí)，高最大，即為AC,

此時(shí)AD=y/AC2+CD2=4V3,

故答案為：45,4V3.

［題目回如圖，0M■的半徑為4,圓心”的坐標(biāo)為（6,8）,點(diǎn)P是。河上的任意一點(diǎn)，PALPB,且P4PB

與立軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，則AB的最大值為（）

A.13B.14C.12D.28

【答案】。

【詳解】解:連接PO,

?：PA±PB,

：./APB=90°,

,?,點(diǎn)4點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，

:.AO=BO,

:.AB=2PO,

若要使AB取得最大值,則PO需取得最大值，

連接。河,并延長(zhǎng)交?？邳c(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P位于P位置時(shí)，OP取得最大值，

過點(diǎn)M作MQ_Lx軸于點(diǎn)。，

則OQ=6、7WQ=8,

OM=10,

又vMPr=r=4,

??.OP=MO+MP=10+4=14,

??.AB=2OP=2xl4=28;

故選：O.

題目回點(diǎn)人是半徑為2的。。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。到直線1W的距離為3.點(diǎn)P是小W上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過

程中若/POA=90°,則線段P4的最小值是.

【答案】

【詳解】解：；ZFOA=90°,

PA=VOA2+OP2=V4+OP2,

當(dāng)0P最小時(shí)，P4取最小值，

由題意得：當(dāng)OP_LMV時(shí)，QP最小，最小值為3,

PA的最小值為：V4+32=V13,

故答案為：63.

〔題目0如圖所示，AB為。。的一條弦，點(diǎn)C為0O上一動(dòng)點(diǎn)，且/BCA=30°,點(diǎn)E,F分別是AC,的

中點(diǎn)，直線ER與。。交于G,H兩點(diǎn)，若。。的半徑為7,求GE+FH的最大值.

【答案】GE+FH的最大值為號(hào).

【詳解】連結(jié)40,80,

ABCA=30°AABOA=60°

A/\AOB為等邊三角形，AB=7?M

。:點(diǎn)、E,尸分別是AC,的中點(diǎn)

：.EF=^-AB=^-,'：GH為(DO的一條弦

??.GH最大值為直徑14J.GE+EH的最大值為14-工=爭(zhēng).

二、瓜豆原理

題目工如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6,P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線

段AB垂直相交于點(diǎn)P,且滿足PC=PA.若點(diǎn)P沿AB方向從點(diǎn)人運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

【答案】

【詳解】解:如圖，由題意可知點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路徑為線段AC,點(diǎn)、E運(yùn)動(dòng)的路徑為EE',

由平移的性質(zhì)可知AC'=EE',

在Rt^ABC中，：AB=BC'=6,AABC=90°,

EE'=AC=V62+62=6V2,

故答案為：6蓼.

E'

4C)

題目團(tuán)如圖，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為4(4,0),8(0,4),。為坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且BC=2,點(diǎn)河為線段AC

的中點(diǎn),連接OM,當(dāng)AC取最大值時(shí),點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為.

【答案】2+三

【詳解】解:如圖，?.?點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2,

.?.c在。B上，且半徑為2,

當(dāng)。在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AC最大，

過點(diǎn)。作CD，/軸，

?.?點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(4,0),B(0,4),

.,.04=08=4,

/BOA=90°,

/XBOA是等腰直角三角形，

ZA=45°,AB=y/O^+OB2=472,

AC=BC+AB=2+4V2.

；CD_La;軸，

/\CDA是等腰直角三角形，

：.CD=AD,

?：CD2+AD-=AC'2,即2CE?2=(2+4V2)2,

解得：C?=V2+4,

.??C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2十4,

?.?點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，

點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為+2.

故答案為：乎+2.

題目叵如圖，已知46，0)，3(4,3)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)，以點(diǎn)5圓心的。B經(jīng)過原點(diǎn)O,BC，,軸

于點(diǎn)。，點(diǎn)。為。B上一動(dòng)點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則線段CE長(zhǎng)度的最大值為.

【詳解】試題解析:如圖所示：取OC的中點(diǎn)F,則F(2,0).連接FB并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)O'.?、?的中點(diǎn)E'.

連接CE'.此時(shí)線段CE'的長(zhǎng)度就是最大值.

BF=V22+32=V13.

圓的半徑BD=V42+32=5.

W=V13+5.

CE'=杷F=咒+5.

故答案為衛(wèi)胃土&.

題目⑷如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。（0,4）,A（3,0）,。A半徑為2,P為。A上任意一點(diǎn)，E是PC的中

點(diǎn)，則OE的最小值是.

【答案】1.5.

【詳解】解:如圖，連接AC,取AC的中點(diǎn)H,連接EH,.

?：CE=EP,CH=AH,

：.EH=^-PA=1,

.?.點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心半徑為1的圓，

H（1.5,2）,

.-.OH=V22+1.52=2.5,

OE的最小值=OH-EH=2.5—1=1.5,

故答案為：1.5.

題目回如圖，在Rt/\ABC中，2ABC=90°,AACB=30°,BC=2A/3,△ADC與AABC關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)

E、F分別是邊。C、BC上的任意一點(diǎn)，且DE=CF,BE、DF相交于點(diǎn)P,則CP的最小值為（）

?M

D

A.1B.V3C.1-D.2

【答案】。

【詳解】解:連接A。，因?yàn)?ACB=30°,所以ZBCD=60°,

因?yàn)镃B=CD,所以△CBD是等邊三角形，

所以BD=DC?

因?yàn)镈E=CF,NEDB=ZFCD=60°,

所以/\EDB豈AFCD，所以NEBD=Z.FDC,/￡

因?yàn)閆FDC+ABDF=60°,一JL\

所以NEBD+NBDF=60°，所以ABPD=120°,1X7V\\

所以點(diǎn)P在以人為圓心，AD為半徑的弧BD上，

直角△ABC中，/人6?=30°,3。=2，,所以48=2,4。=4,玄/'

所以4P=2BFC

當(dāng)點(diǎn)A,P,。在一條直線上時(shí)，CP有最小值，

CP的最小值是AC—AP=4—2=2

故選D

題目封在△ABC中，/力CB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)。是以點(diǎn)人為圓心,半徑為1的圓上一點(diǎn)，連接BD

并取中點(diǎn)則線段CM的長(zhǎng)最大為，最小為.

【答案】32

【詳解】解:作AB的中點(diǎn)E,連接EM、CE.

在直角△48。中，48=乂了西瓦子=5,

E是直角△AB。斜邊48上的中點(diǎn)，

.?.CE="B=2.5.

；M是BD的中點(diǎn)、，E是AB的中點(diǎn)，

.?.ME=]AD=0.5.

?/2.5-0.5WCM<2.5+0.5,即2WCM43.

：.最小值為2,最大值為3,

故答案為：3,2.

版目可如圖，在等腰直角三角形ABC中，/ABC=900,AB=BC=4,P是AAB。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足

PA±PB,則PC的最大值為.

【詳解】解：???PA_LPB,

/APB=90°,

.?.點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，

取的中點(diǎn)，連接CV,如圖，則OC=vW不=2斯,

?.?點(diǎn)P為。。的延長(zhǎng)線于OO的交點(diǎn)時(shí)，CP最大，

.?.PC的最大值為2瓶+2.

故答案為2函+2.

三、新定義

題目刀定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點(diǎn),線段PQ長(zhǎng)度的最小值叫做線段a與線設(shè)b的“冰雪

距離已知0(0,0),4(1,1),,C(m,n+2)是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn).

圖I圖2符用圖

⑴根據(jù)上述定義，完成下面的問題：

①當(dāng)m=2,九=1時(shí)，如圖1,線段及7與線段04的“冰雪距離”是一

②當(dāng)巾=2時(shí)，線段BC與線段OA的“冰雪距離”是1,則n的取值范圍是_

⑵如圖2,若點(diǎn)B落在圓心為4半徑為1的圓上，當(dāng)九＞1