高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：立體幾何（新定義）（原卷版）

專題12立體幾何專題（新定義）

一、單選題

1.（2022秋?內(nèi)蒙古赤峰?高二赤峰二中?？茧A段練習(xí)）已知體積公式丫=由3中的常數(shù)％稱為，，立圓率，，.對于

等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱），正方體，球也可利用公式V=H>3求體積（在等邊圓柱中，。表示底

面圓的直徑；在正方體中，。表示棱長，在球中，。表示直徑）.假設(shè)運用此體積公式求得等邊圓柱（底面

圓的直徑為。），正方體（棱長為。），球（直徑為。）的“立圓率”分別為尤，k2,白，則《：&：&=（）

2.（2022秋.江蘇南京.高二統(tǒng)考期中）我們把所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個

平行平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，

過高的中點且平行于底面的平面截擬柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為

6

（S+4So+S）其中S,S分別是上、下底面的面積，So是中截面的面積，/?為擬柱體的高.一堆形為擬柱體的

建筑材料，其兩底面是矩形且對應(yīng)邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底長、寬比下

底長、寬各少2米.現(xiàn)在要徹底運走這堆建筑材料，若用最大裝載量為4噸的卡車裝運，則至少需要運（）

（注：1立方米該建筑材料約重1.5噸）

A.63車B.65車C.67車D.69車

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）胡夫金字塔的形狀為四棱錐，1859年，英國作家約翰?泰勒（Johnlhylor,

1781-1846）在其《大金字塔》一書中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔時利用黃金比例一」。L618

泰勒還引用了古希臘歷史學(xué)家希羅多德的記載：胡夫金字塔的每一個側(cè)面的面積都等于金字塔高的平方.如

圖，若h?=as,則由勾股定理，as^s2-a2,即-上-1=0,因此可求得士為黃金數(shù)，已知四棱錐底面

\aJaa

是邊長約為856英尺的正方形（2〃=856）,頂點月的投影在底面中心。H為3C中點，根據(jù)以上信息，PH

的長度（單位：英尺）約為（）.

A.611.6B.481.4C.692.5D.512.4

4.（2023?遼寧沈陽?統(tǒng)考一模）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定:

多面體頂點的曲率等于2兀與多面體在該點的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧

度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.則正八面體（八

個面均為正三角形）的總曲率為（）

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）將地球近似看作球體.設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為。，S為此時太陽直

射緯度（當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值），。為該地的緯度值，如圖.已知太陽每年直射范圍在南北回

歸線之間，即5目-23。26',23。26'].北京天安門廣場的漢白玉華表高為9.57米，北京天安門廣場的緯度為北

緯39。54,27〃，若某天的正午時刻，測得華表的影長恰好為9.57米，則該天的太陽直射緯度為（）

太陽光

A.北緯5。5'27'B.南緯5。5'27"

C.北緯5。5'33〃D.南緯5。5'33〃

6.（2023秋.廣東深圳.高二?？计谀﹫D1中的機械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動機”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀

是“曲側(cè)面三棱柱”，圖2是一個曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是

以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，如圖3.若曲側(cè)面三棱柱的高為5,底

面任意兩頂點之間的距離為20,則其側(cè)面積為（）

囹I!T2圖3

A.1007TB.6007r

C.200兀D.300兀

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在尸處的離散曲率為

1-1（/。F。2+/。22。3+3+/以22）其中2，［=123..,左23）為多面體用的所有與點尸相鄰的頂點，且

平面Q2PQ3,……，Q&PQ遍及多面體M的所有以P為公共點的面如圖是正四面體、正八面體、

正十二面體和正二十面體，若它們在各頂點處的離散曲率分別是。，b,c,d,則a,b,c,d的大小關(guān)系是

正四面體正八面體正十二面體正二十面體

A.a>b>c>dB.a>b>d>c

C.b>a>d>cD.c>d>b>a

9.（2021秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）碳60（Co）是一種非金屬單質(zhì)，它是由60個碳原子構(gòu)成，形

似足球，又稱為足球烯，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面

體，共32個面，且滿足：頂點數(shù)一棱數(shù)+面數(shù)=2,則其六元環(huán)的個數(shù)為（）.

A.12B.20C.32D.60

10.（2018春?四川成都?高三成都七中?？茧A段練習(xí)）設(shè)定義區(qū)間口力）、（。,句、（a,b）、［a,句的長度均

為b—a.在三棱錐A-BCD中，AB=BC=CA=2,ADJ.BD,則8長的取值區(qū)間的長度為

A.73B.2C.2幣D.4

二、多選題

11.（2022.全國?高三專題練習(xí)）用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓形狀，

則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為

斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高.橢圓的面積等于長半軸與短半軸長之積的萬倍，已知某圓柱

的底面半徑為2,用與母線成45。角的兩個平行平面去截該圓柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個斜圓

柱，下列選項正確的是（）

A.底面橢圓的離心率為比

2

B.側(cè)面積為24夜口

C.在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為36萬

D.底面積為4缶

12.（2022春?黑龍江哈爾濱?高一哈九中?？计谀┍本┐笈d國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運

用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點的曲率等于2萬與多面體在該點的面角之和的差

（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲

率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是所以正四面

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體在每個頂點的曲率為2%-3xg=%,故其總曲率為4萬.給出下列四個結(jié)論，其中，所有正確結(jié)論的有（）

A.正方體在每個頂點的曲率均為g

2

B.任意四棱錐的總曲率均為4萬；

C.若一個多面體滿足頂點數(shù)丫=6,棱數(shù)E=8,面數(shù)歹=12,則該類多面體的總曲率是3萬；

D.若某類多面體的頂點數(shù)V,棱數(shù)E,面數(shù)/滿足M-E+尸=2,則該類多面體的總曲率是常數(shù)

13.（2020秋?山東濟南?高三統(tǒng)考期末）給定兩個不共線的空間向量￡與石，定義叉乘運算：axb.規(guī)定：

①axB為同時與a,B垂直的向量;②a,B,qxB三個向量構(gòu)成右手系（如圖1）;③石卜同同sin〈萬，方〉.如

圖2,在長方體ABCO-A4GA中，AB=AD=2,AAl=4,

圖1圖2

則下列結(jié)論正確的是（）

A.ABxAD=AAi

B.ABxAD=ADxAB

C.（AB+AD）xA^=ABxA\+ADxA^

D-x），CC]

14.（2022春?全國?高一期末）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，“等腰四面體”就是其中之一,

所謂等腰四面體，就是指三組對棱分別相等的四面體.關(guān)于“等腰四面體”，以下結(jié)論正確的是（）

A.長方體中含有兩個相同的等腰四面體

B.“等腰四面體”各面的面積相等，且為全等的銳角三角形

C.“等腰四面體”可由銳角三角形沿著它的三條中位線折疊得到

D.三組對棱長度分別為“，b,c的“等腰四面體”的外接球直徑為+C2

三、填空題

15.（2022.高二課時練習(xí)）連接空間幾何體上的某兩點的直線,如果把該幾何體繞此直線旋轉(zhuǎn)角a（（T<a<360。）,

使該幾何體與自身重合，那么稱這條直線為該幾何體的旋轉(zhuǎn)軸.如圖，八面體的每一個面都是正三角形,

并且4個頂點A,B,C,。在同一平面內(nèi)，則這個八面體的旋轉(zhuǎn)軸共有條.

16.(2022秋?河北邢臺?高二邢臺市第二中學(xué)校考階段練習(xí))已知空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，過點尸伍,為,z°)

且一個法向量為元=(a,b,c)的平面a的方程為a(x-Xo)+b(y-%)+c(z-Zo)=O.用以上知識解決下面問題:

已知平面a的方程為尤+2y-2z+l=0,直線/是兩個平面x-y+3=0與x-2z—1=0的交線，試寫出直線/的

一個方向向量為,直線I與平面a所成角的余弦值為.

17.(2022秋?福建泉州?高二校聯(lián)考期中)三個“臭皮匠”在閱讀一本材料時發(fā)現(xiàn)原來空間直線與平面也有方

程.即過點尸伍,%/。)且一個法向量為乃=(a,b,c)的平面a的方程為-過

點尸伉，加z0)且方向向量為％(私力)(〃?加W0)的直線/的方程為三包=匕及=二^.三個“臭皮匠”利

mnt

用這一結(jié)論編了一道題：“已知平面a的方程為x-y+z+i=o,直線/是兩個平面x-y+2=o與2x-z+l=o的

交線，則直線/與平面a所成的角的正弦值是多少？”想著這次可以難住“諸葛亮”了.誰知“諸葛亮”很快就算

出了答案.請問答案是.

18.(2022秋?湖南長沙?高三?？茧A段練習(xí))在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面a的一般方程為

山+為+Cz+。=0(A,民C,DeR,4+笈+C?N0),點P(x0,%,z°)到平面?的距離d=

則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側(cè)面的距離等于.

19.(2022秋?山東濰坊.高二?？计谥?兩個非零向量b，定義|Zx司=|￡|由sin坊歷.若2=(1,0,1),

6=(0,2,2),貝巾x*.

20.(2023秋?福建福州?高二校聯(lián)考期末)定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到

另一條直線距離的最小值.在棱長為I的正方體ABCO-A4C。中，直線A2與AC之間的距離是

21.（2021秋?陜西西安?高一西安市第三中學(xué)校考期末）A,B,C,。為球面上四點，M,N分別是

的中點，以為直徑的球稱為。的“伴隨球”，若三棱錐A-BCD的四個頂點在表面積為647r的

球面上，它的兩條邊AB,8的長度分別為2s■和46，則AB，8的伴隨球的體積的取值范圍是.

四、解答題

22.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知”（%,四,々）,方=（無2，%/2），c=（x3,y3,z3）,定義一種運算：

（ax5）-c=2z3++x3ytz2--x2ytz3,已知四棱錐尸—AB