貴州省黔南州羅甸縣第一中學(xué)2025屆高三第一次半月考數(shù)學(xué)試卷

羅甸縣第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第一次半月考卷姓名：___________班級(jí)：___________一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知角的頂點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則A． B． C． D．2．已知集合，則?AA． B． C． D．3．在△中，，則A． B． C． D．4．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則A．240 B．60 C．180 D．1205．已知，則A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則A． B． C．1 D．27．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為A．13 B．12 C．9 D．68．設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選多得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知隨機(jī)變量的分布列如下表：-1012若，則 B． C． D．10．若方程所表示的曲線為C，則下面四個(gè)說(shuō)法中正確的是A．曲線C可能是圓B．若，則C為橢圓C．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則D．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則11．投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，已知出現(xiàn)正面向上的概率為p，記表示事件“在n次投擲中，硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”，則下列結(jié)論正確的是A．與是互斥事件 B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡中的橫線上.12．已知函數(shù)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間為，則，.13．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“△面積為”的m的一個(gè)值．14．在銳角△的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c,若，則的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．（13分）已知△的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosB(1)求角B；(2)若A＝eq\f(π,4)，角B的平分線交AC于點(diǎn)D，BD＝eq\r(2)，求CD的長(zhǎng)．16．（15分）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為等邊三角形且垂直于底面.(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的正弦值.18．（17分）已知橢圓的離心率為12．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)（O為原點(diǎn)），的面積為．(1)求橢圓的方程．(2)過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)，使得恒成立．若存在，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．(17分)已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對(duì)稱(chēng)圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．答案解析一、單選題1．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，利用二倍角公式求得正確答案.【詳解】由三角函數(shù)的定義得：，.故選：B2．【答案】D【分析】由集合的定義求出，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t，故選：D3．【答案】B【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.4．【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，所以．故選：D．5．【答案】C【分析】代入二倍角公式，以及誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】由條件可知，，而.故選：C6．【答案】D【分析】解法一：令，分析可知曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得，并代入檢驗(yàn)即可；解法二：令，可知hx為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知hx的零點(diǎn)只能為0，即可得，并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】解法一：令，即，可得，令，原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，注意到均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因?yàn)閤∈-1,1，則，當(dāng)且僅當(dāng)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則方程有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以符合題意；綜上所述：.解法二：令，原題意等價(jià)于hx因?yàn)?，則hx根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知hx的零點(diǎn)只能為0即，解得，若，則，又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即hx有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以符合題意；故選：D.7．【答案】C【分析】本題通過(guò)利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故選：C．【點(diǎn)睛】8．【答案】D【分析】設(shè)，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)使得滿足，求導(dǎo)可得出函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得且，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的最小值為.又，.直線恒過(guò)定點(diǎn)且斜率為，故且，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，涉及數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化，屬于中等題.二、多選題9．【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，利用分布列的性質(zhì)列式求解即得.【詳解】依題意，，所以.故選：AD10．【答案】AD【分析】根據(jù)方程為圓列式求解判斷A，排除B，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征列不等式求解范圍即可判斷CD.【詳解】當(dāng)即時(shí)，方程為，表示圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則，解得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則，解得，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.11．【答案】ACD【分析】對(duì)A根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的關(guān)系即可判斷；對(duì)B，直接計(jì)算即可；對(duì)C，利用全概率公式即可；對(duì)D，構(gòu)造結(jié)合等比數(shù)列和函數(shù)單調(diào)性即可判斷.【詳解】對(duì)A，因?yàn)閷?duì)立事件是互斥事件，所以A正確；對(duì)B，，所以B錯(cuò)；對(duì)C，由全概率公式可知，所以C正確；對(duì)D，由C可知，因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，因?yàn)榍?，所以，所以，所以是關(guān)于n的遞減數(shù)列，所以，D正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是結(jié)合等比數(shù)列定義變形化簡(jiǎn)得到，最后得到，利用函數(shù)單調(diào)性分析數(shù)列單調(diào)性即可.三、填空題12．【答案】2/【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等圖象性質(zhì)易得結(jié)果.【詳解】由題意，周期，所以，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得，則，解得，又，所以.故答案為：2；.13．【答案】（中任意一個(gè)皆可以）【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)，以及點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．14．【答案】【分析】由正弦定理邊角關(guān)系、和差角正弦公式可得，結(jié)合△為銳角三角形，可得及角A的范圍，進(jìn)而應(yīng)用正弦定理邊角關(guān)系即可求的范圍.【詳解】由題設(shè)，，而，所以，又，所以，且△為銳角三角形，則，可得，而.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用正弦定理邊角關(guān)系及銳角三角形性質(zhì)，求角A、C的關(guān)系及A的范圍，最后由邊角關(guān)系求范圍.四、解答題15．解(1)因?yàn)閍cosB＋bcosA＝2ccosB，所以由正弦定理可得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosB，所以sin(A＋B)＝2sinCcosB，即sinC＝2sinCcosB，因?yàn)?<C<π，所以sinC>0，故cosB＝eq\f(1,2)，因?yàn)?<B<π，所以B＝eq\f(π,3).解(2).由(1)及題意可知∠ABD＝∠CBD＝eq\f(π,6)，又A＝eq\f(π,4)，所以∠ADB＝eq\f(7π,12)，∠CDB＝eq\f(5π,12)，∠BCD＝eq\f(5π,12)，所以BC＝BD＝eq\r(2)，在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠CBD，即CD2＝2＋2－2×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝4－2eq\r(3)＝(eq\r(3)－1)2，解得CD＝eq\r(3)－1.16．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出首項(xiàng)與公比，即可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）由an＝化簡(jiǎn)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通項(xiàng)公式，求出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝.由條件可知q＞0,故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.故.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）法一：先證，再由線面垂直的判定定理證明面，即可得證；法二：建系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，即可證明；（2）法一：建系，由面面角的向量求法，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；法二：由面面角的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）法一：證明：如圖所示，取中點(diǎn)，為等邊三角形，，

又面垂直于底面，交線為，得面，又面.底面為直角梯形，，，，，，所以，，，所以，得，又，得面，面，所以.法二：取中點(diǎn)，為等邊三角形且垂直于底面，交線為，則，得面，又因?yàn)?，，，可設(shè)，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

得，，C1,1,0，得，，所以，得.（2）法一：由（1）知面，不妨設(shè)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

得，B1,0,0，C1,1,0，，，；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，可??；設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x則，即，可取.設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的正弦值為.法二：不妨設(shè)，為等邊三角形且垂直于底面，交線為，

底面為直角梯形，，，所以面，又，得面，面，得面面，交線為，取的中點(diǎn)，則，等邊邊長(zhǎng)為2，則，，則面，則點(diǎn)到面的距離等于點(diǎn)到面的距離為，因?yàn)槊妫?，，均為直角三角形，，得，?作，可得，所以平面與平面夾角的正弦值為.18．【答案】(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.（2）若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，由可得，故且而，故，因?yàn)楹愠闪?，故，解?若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率不存在，則或，此時(shí)需，兩者結(jié)合可得.綜上，存在，使得恒成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問(wèn)題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過(guò)程中需要借助韋達(dá)定理，此時(shí)注意直線方程的合理假設(shè).19【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）求出后根據(jù)可求的最小值；（2）設(shè)為y=fx圖象上任意一點(diǎn)，可證關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為也在函數(shù)的圖像上，從而可證對(duì)稱(chēng)性；（3）根據(jù)題設(shè)可判斷即，再根據(jù)在上恒成立可求得.【詳解】（1）時(shí)，，其中，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，而f'x≥0成立，故即，所以的最小值為.，（2）的定義域?yàn)?,2，設(shè)為y=f關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，因?yàn)樵趛=fx圖象上，故而，，所以也在y=f由的任意性可得y=fx圖象為中心對(duì)稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)中心為（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，故為的一個(gè)解，所以即，先考慮時(shí)，恒成立