曲線的軌跡方程問(wèn)題-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（原卷版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展33曲線的軌跡方程問(wèn)題（精講+精練）

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

一、曲線方程的定義

一般地，如果曲線C與方程F（X,y）=0之間有以下兩個(gè)關(guān)系：

①曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F（x,y）=0的解；

②以方程F（x,y）=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn).

此時(shí)，把方程尸（％,y）=。叫做曲線。的方程，曲線。叫做方程尸（x,y）=。的曲線.

二、求曲線方程的一般步驟（直接法）

（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；

（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）；

（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫(xiě)出等式；

（4）用坐標(biāo)％、V表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)；

（5）確定化簡(jiǎn)后的式子中點(diǎn)的范圍.

上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍.

三、求軌跡方程的方法

L定義法

如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌

跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。

2.代入法（相關(guān)點(diǎn)法）

如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線

方程），則可以設(shè)出P（x,y）,用（x,y）表示出相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后把P的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即

可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

3.交軌法

在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這類問(wèn)題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點(diǎn)

（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選

變角、變斜率等為參數(shù).

4.參數(shù)法

動(dòng)點(diǎn)M*，y）的運(yùn)動(dòng)主要是由于某個(gè)參數(shù)。的變化引起的，可以選參、設(shè)參，然后用這個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),

x=于卿)

再消參.

y=g(e)

5.點(diǎn)差法

圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)A（玉,必）,3（々,％）的坐標(biāo)

代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得%+%,%+%,苞-々，%等關(guān)系式，由于

-y,

弦AB的中點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足2x=%+%,2y=必+%且直線AB的斜率為亍寸，由此可求得弦AB

中點(diǎn)的軌跡方程.

二、題型精講精練

【典例1］已知點(diǎn)尸是橢圓。。讓任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線，垂足為M,則線段加的中點(diǎn)

N（x,y）的軌跡方程為.

【答案】—+/=1

6

【解析】因?yàn)檩S，垂足為M,且PM的中點(diǎn)為N（x,y）,

所以尸（x,2y）,又因?yàn)槭菣E圓：+號(hào)=1上任意一點(diǎn)，

所以?+與1=1,即W+y2=i.故答案為：^+/=1,

6466

【典例2】已知圓心（尤-2）2+產(chǎn)=1,動(dòng)圓P與圓尸外切，且與定直線》=一3相切，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E.求

E的方程；

【解析】設(shè)p（無(wú),y）,圓尸的半徑為R,由題可知，點(diǎn)尸在直線了=-3右側(cè)，

因?yàn)閳A尸與定直線x=-3相切，所以R=x+3.

又圓尸與圓尸外切，所以R=|P尸|+1=J（x-2『+y2+1,

所以x+3=［（—+1,化簡(jiǎn)得產(chǎn);網(wǎng)，即E的方程為V=8x.

【典例3】（單選題）設(shè)4,8分別是直線〉=2彳和尸-2彳上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足|AB|=4,則A2的中點(diǎn)”的軌

跡方程為（）

22

A.x2+—=1B.y2+—=]

1616

22

C.f-匕=1D.y2-—=1

1616

【答案】A

【解析】設(shè)A（占,2占），B（X2,-2X2）,M[x,y）,

因?yàn)镸為A3的中點(diǎn)，則故x=。,y=x1-x2,又因?yàn)?/p>

22

|河『=（玉一天）2+（2玉+2尤2）2=16,所以〉2+（4彳）2=16,即/+21=1,所以點(diǎn)乂的軌跡方程為/+匕=1.

1616

故選:A.

2

【典例4】已知4、4為橢圓C：/+1_=1的左右頂點(diǎn)，直線X=x0與c交于A3兩點(diǎn)，直線AA和直線

&B交于點(diǎn)尸.求點(diǎn)P的軌跡方程.

【解析】由題意得A（T，°），4（1，°），

kk

設(shè)4（%,%），3（%一%）（%?°），尸（x,y）,貝!IL=L，PA2=BA2,

22

即上=上上=』得上=工

用X+lX°+l'X-1飛一1'傳彳2_1-焉_1'

222

又；點(diǎn)（不，%）在c上，即需_1=_叢，得*=3,.?.x2一匕=i（yHO）；

3x—13

22

【典例5]己知橢圓?+方=1的弦所在直線過(guò)點(diǎn)E?！唬?，求弦AB中點(diǎn)尸的軌跡方程.

%+%2=2尤

【解析】設(shè)4（%,%），以如力）,弦A8的中點(diǎn)網(wǎng)無(wú),y）,則

X+%=2y，

3-+2=1

3

將A3代入橢圓方程得;2,

強(qiáng)+區(qū)=1

兩式相減得（再+%）（。-％）+5+）=0,

43

所以也蟲(chóng)+至1=°,

23

當(dāng)時(shí)，A*^=。十三"肛

因?yàn)槌趟?^=得，則=。，

再一馬兀一123x—1

整理得3f+4y2-3x-4y=0（x71）；

當(dāng)西=々時(shí)，則直線A3方程為x=l,代入橢圓方程解得

所以*1,0）滿足上述方程，故點(diǎn)F的軌跡方程3爐+4y2-3x-4y=0.

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

一、單選題

1.平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)M（x,y）滿足J（x-l）2+y2+"（x+iy+y2=2,則點(diǎn)M的軌跡為（）

A.線段B.圓C.橢圓D.不存在

2.一動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)M（T,0）,且與已知圓N：（x-4）2+9=16相切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是（）

A丁,2y2X1

A.——+—=1B.—+——=1

412412

C.《上二1D.匚《二1

412412

3.在平面內(nèi)，A,3是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若尼=2,則點(diǎn)。的軌跡為（）

A.橢圓B.射線C.圓D.直線

__.3__?1__.

4.已知面積為16的正方形ABCZ）的頂點(diǎn)48分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP=-OA+-OB,

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（）

5.已知圓C:/+y2=3,直線/過(guò)點(diǎn)A（-2,0）.線段48的端點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)，則線段48的中點(diǎn)M的軌跡

方程為（）

A.（x-1）2+y2=-|B.（x+1）2+y2=-|

C.x2+（y-l）2=|D.（x+l）2+/=1

6.已知片,且分別為橢圓E:卷+產(chǎn)=1的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，G點(diǎn)是三角形尸耳工的重心,

則點(diǎn)G的軌跡方程為（）

A.x2+9y2=1B.爐+9/=1（舛0）

C1一1D.JM=l(ywO)

819819

7.將尤?+v=16上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得到曲線C,若直線/與曲線C交于48兩

點(diǎn)，且42中點(diǎn)坐標(biāo)為“（2,1）,那么直線/的方程為（）

A.x-2y-4=0B.x+2y-4=0C.2x+y-4=0D.2%+y+2=0

8.已知P是圓月：（x+3）2+/=16上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)月（3,0）,線段尸與的垂直平分線交直線尸片于點(diǎn)Q,則。

點(diǎn)的軌跡方程為（）

R/丁[

D.---------=1

'I}49

22

D.--^=l(x>0)

45v7

_____21,

9.已知A,B為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，過(guò)該平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為N.若而『=-弓1k麗?麗，則

動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

10'已知是橢圓的長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)尸是橢圓上異于長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q與

點(diǎn)p關(guān)于X軸對(duì)稱，則直線PA與直線Q4的交點(diǎn)M所形成的軌跡為（）

A.雙曲線B.拋物線

C.橢圓D.兩條互相垂直的直線

11.已知點(diǎn)P是圓。：尤2+9=4上的動(dòng)點(diǎn)，作PHJLy軸于點(diǎn)H,則線段PH的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）

2222

A.—+/=1B.—+/=1C./+上=1D./+匕句

416164

22

12.已知雙曲線為-二=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為小F2,離心率等于g,設(shè)雙曲線的兩條漸近線分別為直線

a2

卜4;若點(diǎn)A5分別在4、4上，且滿足6|鉆|=拒|片6|，則線段A5的中點(diǎn)用的軌跡。的方程為

A.—+/=1B.----Fy2=1

43

C.—+/=1D.—+/=1

62

13.已知A（0,7）,3（0,-7）,0（12,2）,以。為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)A、5兩點(diǎn)，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)方的軌跡方程

為()

A.y2--=l(y<-1)B.9嘖=1(”D

48v7

22

C-小2=1(”一4碼D-點(diǎn)"=1(”4⑹

二、填空題

14.如果點(diǎn)加（尤，y）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足關(guān)系式）無(wú)2+（＞；+3）2+,尤2+（,-3）2=4右,那么點(diǎn)M的軌跡

是.

15.平面上一動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（應(yīng)cose,sin，），則點(diǎn)C的軌跡E的方程為.

16.曲線C上任意一點(diǎn)尸到點(diǎn)尸（2,0）的距離與它到直線尤=4的距離之比等于走，則C的方程為.

2

17.已知圓心在x軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,0）,且與x軸，＞軸分別相交于3（%,0）,。（0,門(mén)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)

的軌跡方程為.

18.已知點(diǎn)分別在x軸、了軸上運(yùn)動(dòng)，|4?|=3,點(diǎn)尸在線段A3上，且忸升=2|酬.則點(diǎn)尸的軌跡E方

程是;

19.已知點(diǎn)A（-夜,0）,B（V2,0）,尸是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線力與尸8的斜率之積是則動(dòng)點(diǎn)P的

軌跡C的方程為.

20.古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)左伏＞。,人力1）的點(diǎn)的

軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（T,0）,8（2,0），點(diǎn)〃滿足=2,

則點(diǎn)M的軌跡方程為.

21.已知圓M與圓C”（x+5『+y2=25和圓C2：（x-5y+y2=9一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，則點(diǎn)M的軌跡方程

為.

22.已知點(diǎn)尸是曲線y=Y+l上任意一點(diǎn)，4（2,0）,連接PA并延長(zhǎng)至Q,使得而=2可，求動(dòng)點(diǎn)。的軌

跡方程.

23.在橢圓上+必=1上任取一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線段尸。，垂足為。，點(diǎn)加在。尸的延長(zhǎng)線上，滿

4

\DM\

足標(biāo)=2,當(dāng)點(diǎn)尸在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程為.

22_____1?

24.已知點(diǎn)尸為橢圓2+3=1上的任意一點(diǎn)，。為原點(diǎn)，M滿足加=彳而，則點(diǎn)"的軌跡方程

25162

為.

25.設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，N為動(dòng)點(diǎn)，|。叫=6,ON=S/5OM,過(guò)點(diǎn)M作即弘_Ly軸于點(diǎn)Af1，

過(guò)點(diǎn)N作NN］，x軸于點(diǎn)N］,M與"i不重合，N與N］不重合，設(shè)討=函*+凡"，則點(diǎn)T的軌跡方程

是.

26.自A（4,0）引圓d+y2=4的割線ABC,貝片玄8C中點(diǎn)P的軌跡方程.

27.已知A（2cos，,4sin。），B（2sin&-4cos。），當(dāng)6eR時(shí)，線段AB的中點(diǎn)軌跡方程為.

22

28.已知是橢圓十+方二乂。〉人〉。）中垂直于長(zhǎng)軸的動(dòng)弦，是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則直線AM和

NB的交點(diǎn)P的軌跡方程為.

29.已知拋物線C:尤2=2py（p>0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2,直線/：y=%（x-4）與拋物線C交于尸，。兩

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P,Q作拋物線c的切線4,4,若/交于點(diǎn)M，則點(diǎn)/的軌跡方程為.

30.直線/在x軸上的截距為a（a>0）且交拋物線y2=2px（p>0）于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)A、B分別作拋物線對(duì)稱軸的平行線與直線x=-。交于C、D兩點(diǎn).分別過(guò)點(diǎn)A、B作拋物線的切線，則

兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為.

三、解答題

31.已知直線/平行于y軸，且/與無(wú)軸的交點(diǎn)為（4,0）,點(diǎn)A在直線/上，動(dòng)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)與A的縱坐標(biāo)相

同，且兩，無(wú)，求尸點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡方程的形狀.

32.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A8的坐標(biāo)分別為（T,。），（4,0）,點(diǎn)M（x,y）為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若直線AM與

9

直線3M的斜率的乘積為一77.

⑴求點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）說(shuō)明點(diǎn)M的軌跡是何種幾何圖形.

22

33.已知橢圓土+匕=1,點(diǎn)A,8分別是它的左、右頂點(diǎn)，一條垂直于x軸的動(dòng)直線/與橢圓相交于P,Q

42

兩點(diǎn)，當(dāng)直線/與橢圓相切于點(diǎn)A或點(diǎn)8時(shí)，看作尸，。兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A或點(diǎn)2,求直線相與直線BQ的交

點(diǎn)M的軌跡方程.

34.已知RtA^BC的斜邊為42,且A（T,0）,3（3,0）.求:

（1）AABC外接圓的一般方程；

（2）直角邊8C的中點(diǎn)M的軌跡方程.

35.已知直線/：x=〃zy+l,圓C:d+y2=4.

⑴證明:直線/與圓C相交；

（2）設(shè)/與C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B,弦的中點(diǎn)為求點(diǎn)M的軌跡方程.

22

36.已知橢圓C:二+當(dāng)=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)4（一2,0）在橢圓上且|AH=3.

a"b

⑴求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)尸、。分別在橢圓C和直線x=4上，OQ//AP,M為針的中點(diǎn)，若T為直線與直線。尸的交點(diǎn).是

否存在一個(gè)確定的曲線，使得T始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

37.已知過(guò)點(diǎn)“（8,0）的直線交拋物線氏y=8x于兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）證明：OA±OB；

（2）設(shè)尸為拋物線的焦點(diǎn)，直線AB與直線x=T交于點(diǎn)直線血尸交拋物線與C,D兩點(diǎn)（A,C在x軸的

同側(cè)），求直線AC與直線80交點(diǎn)的軌跡方程.

22

38.已知久,B分別是雙曲線工-^=1（“>。8>0）的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上除右頂點(diǎn)之外的一點(diǎn).若

ab

2

該雙曲線與橢圓r工+丁=1有共同的焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)2（2,1）,求△耳PA內(nèi)切圓圓心的軌跡方程.

4

39.已知點(diǎn)A（2,0）是圓V