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文檔簡介

專題04解三角形小題

盛型大裳合

型大通關

____二__一___一一—.一

正余弦定理解三角形

1.(2324高一下?江蘇南京?月考)已知AABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若

2b2-2a1=3a+18,且c=3,貝UcosZ?的值為()

A.姮B.-C.-姮D.--

4444

【答案】D

【解析】因為2/一2/=3。+18,且c=3,所以26一2^=。。+2c"KPa2+c2-b2=-ac,

所以由余弦定理得cosB2+02-62-i.故選:口

2acac4

2.(2324高一下?福建泉州?期中)已知AABC中,C4=3,CB=5,C=120°,貝!JsinB=()

【答案】A

【解析】在AABC中,由余弦定理得AB=VAC~+BC2-2AC-BCcosC=A/32+52+3X5=7,

由正弦定理得.ACsinC3班.故選:A

sinBD=-----------=------=-------

3.(2324高一下.廣東佛山?期中)在aABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知4=30。,

ac=6,且sinA+sinC=2sin(A+C),則6的值為()

A.4+2括B.4-26C.73-1D.百+1

【答案】D

【解析1sinA+sinC=2sin(A+C)=2sin(兀一3)=2sin3,

由正弦定理角化邊得a+c=2"

又ac=6,所以q2+c2+12=4Zj2①,

由余弦定理得廿=a2+c2-2accos30°=a2+c2-6A/3②,

聯(lián)立①②求解得〃=4+2石=(1+若『,所以6=i+&.故選:D

4.(2324高一下糊南?期中)設AABC的內角AB,C的對邊分別為6,c,已知/=tanA,%?=tanB,且

a'b,則角C=()

717T2兀3兀

A.—B.—C.—D.—

4234

【答案】B

1

【解析】由/=tanA,/=tanB,得'一=—,~^~=,D>

sinAQCOSASIILDbcosB

ah

由正弦定理----=----,得《cosA=Z?cosi5,

sinAsinB

sin2A=sin2B,A=5或2A+25=兀.

jrjr

又QwZ?,Aw氏3+A=—C=—.故選:B.

22

5.(2324高一下?重慶萬州?期中)在AABC中,sin(B-A)=1,2a2+c2=2^2,則sinC=()

A.-B.1C.3D.克

3223

【答案】A

【解析】因為2"+°2=2/,所以2/一2〃=一02,

因為一/=2accosB,b2+c2-a2=2bccosA,

兩式相減,得2片-2b2=2accosB-2bccosA=-c2,「.2acosB-2bcosA=—c,

由正弦定理,得2sinAcosB—2sinBcosA=—sinC,即2sin(_B—A)=sinC,

i?

因為sin(3—A)=§,所以sinC=§.故選:A.

三角形解的個數(shù)問題

1.(2324高一下.福建南平?期中)在AABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c已知。=2,6=2指,4=2

6

,則此三角形()

A.無解B.一解C.兩解D.解的個數(shù)不確定

【答案】C

,2_2&r-

【解析】由正弦定理三=馬,得—一嬴/解得sinB=^,

smAsinBsin—2

6

因為。<8,所以,

又因為340,兀),所以8=々或3=4,

故此三角形有兩解.故選:C.

71

2.(2324高一下?福建廈門?月考)在"1BC中,角A,B,C所對的邊分別為〃,b,A4=—

3

。=6,b=顯,則此三角形的解的情況是()

A.有一解B.有兩解C.無解D.有解但解的個數(shù)不確定

【答案】A

ab

【解析】由,得.□b-sinA

sinB=---

sinAsin5a

TTTT

又a>b,A=p故3只能為銳角,即8=2,

故該三角形只有一解.故選:A.

3.(2324高一下.遼寧?期中)在AABC中,cosB=±,AC=2,AB=m,貝恰有一解”是

3

“0<7〃V2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由AC2=A52+5C2—2A5-5Ccos5,a2+m2-4=0,

3

22

方程〃2-ma_I_m-4-0的判別式A=32加_4療+I6=i6-^m,

399

0A=4m2+16=16--m2=0,解得加=±6.

當相=6時,a2-^^ma+m2-4=0轉化為/一8&〃+32=0,解得G=4A3符合題意;

當機=-6時〃2一士松+加2—4=0轉化為/+801+32=0,解得a=T拒不符合題意;

_QO24

(2)A=W4m2+16=16--m2>0,且兩木艮之積根?<0,

可得。有一正根和一負根,負根舍去,此時AABC有一解,此時。〈機<2;

_Q724

(§)A=W4m2+16=16-—m2>0,且兩根之積]一4=0,解得加=±2,

當加=2時,/_這°=0,解得°=逋符合題意;

33

當加=一2時/+述。=0,解得°=_還不符合題意;

33

故若AABC有一解,貝!]0<相42或〃1=6,

故"AABC恰有一解",是“0<加<2”的必要不充分條件故選:B.

4.(2324高一下?浙江寧波?期中)在AABC中,a=x,b=2,B=60°,若三角形有兩解,則x的取值范圍

是()

A.2<x<2-$/3B.1<x<—'fiC.y/3<x<2D.2<x<

【答案】B/

A

【解析】由題設,過C作C。,居于£),如下圖示,/\

[C£>=xsin60°<24r_\2

貝,可得2<尤若時,三角形有兩解./

當xsin6(F>2,即時,三角形不存在;------------

3BxC

AL

當尤=2或(有時,△ABC分別對應等邊三角形或直角三角形,僅有一個三角形;

當x<2時,在射線8。方向上有一個△A3C,

而在射線方向上不存在,故此時僅有一個三角形;故選:B

5.(2324高一下?河南周口?月考)在AASC中,a=x,b=2,3=45。.若利用正弦定理解AABC有兩

解,則x的取值范圍是()

A.2<x<2-s/3B.2Vx<2&

C.x>2D.V2<X<2A/2

【答案】B

【解析】如圖,3=45。,過C作CDLAB于。,

則CD=BC-sin45°=asin45°=xsin45°?

以C為圓心,C4=Z?=2為半徑畫圓弧,

要使疑。有兩個解,則圓弧和A5邊應該有兩個交點,

故C4>CD且C4vC6,即xsin45o<2<x,解得2Vx<2后.故選:B.

三.三角形的形狀判斷

1.(2324高一下?浙江?月考)已知。,b,。分別是融。三內角A,B,。的對邊,則

“asinC+〃cosC=b+c”是“AABC為直角三角形”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】在AABC中,由正弦定理可得:sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC,

由A+C=TI—3,可得:sinAsinC+sinAcosC=sin(A+C)+sinC,

所以sinAsinC=cosAsinC+sinC,因為?!辏?,兀),所以sinC〉0,

即sinA=cosA+l,所以sinA—cosA=V2sin^A——=1,

因為Ae(O,7t),所以[A-:}[-:,]),

所以==所以"IBC為直角三角形,

442

故"asinC+acosC=6+c”是“AABC為直角三角形”的充分條件;

JT

若"1BC為直角三角形,設C=5,a=3,b=4,c=5,

則sinC=1,cosC=0,所以asinC+acosC=3,b+c=9,

所以asinC+acosCHb+c,

所以“asinC+acosC=b+c"不是“"IBC為直角三角形”的必要條件;

即“asinC+acosC=6+c”是“ULBC為直角三角形”的充分不必要條件.故選:A.

2.(2324高一下?山東.期中)在AABC中,若(《-。(2$3)$1113=0-805?;谝?,則這個三角形是()

A.等腰三角形或直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析】因為(。一ticosB)sinB=(/?-ccosC)sinA,

由正弦定理可得(。一acosBW=S—ccosC)a,

化簡可得"-必cos5=H-accosC,

BPcosBsinB-cosCsinC=0,

即sin2B-sin2C=0,所以25=2?;?3+2C=兀,

jr

即B=C或者B+Cu},所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故選:A

2

3.(2324高一下.云南麗江?月考)在AASC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

b-b-cosC+c-cosB,tanA=石,則AABC是()

A.鈍角三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】由6=6cosC+ccos8及正弦定理可得sin3=sin3cosc+sinCcos3,得sinB=sin(B+C),

故3=3+C(舍去)或B+8+C=7I,即23+C=7i,

又A+B+C=TI,所以A=3,

因tanA=6,Ae(O,兀),得4=^,故A=2=C=g,

故AABC是等邊三角形,故選:B

4.(2324高一下?江蘇鹽城?月考)已知AABC中,角A5,C的對邊分別是a,b,c,若

a_b_c

sin('A)一2cos2m-JcosC,則AABC是(

A.鈍角三角形B.等邊三角形

C.銳角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

ab_c

【解析】由./兀~-2cos2J「8sC,

sin(--A)

2

結合正弦定理可得*■=竺0=、£,所以tanA=tanB=tanC,

cosAcosBcosC

又因為A,B,C是AABC的內角,故A=8=C,所以AABC是等邊三角形.故選:B.

5.(2324高一下.河南安陽?期中)(多選)已知AABC的內角AB,C所對的邊分別為0力,c,下列說法錯誤的

是()

A.若acosA="cos5,則AABC是等腰三角形

B.若B=60°,〃=QC,則金。是直角三角形

C.若—=5五與,貝必MC是直角三角形

2c2

D.是“AABC是等邊三角形”的充分不必要條件

cosAcosB

【答案】ABD

【解析】對于A項,由acosA=》cosB和正弦定理,sinAcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin23,故得2A=23或24+23=兀,

即A=B或A+B=m,即41BC是等腰三角形或直角三角形,故A項錯誤;

對于B項,因B=60°,b2=℃,由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB,

代入化簡得,(。-。)2=0,即得”=c,故從1BC是等邊三角形,故B項錯誤;

對于C項,由匕=sirO和正弦定理,smC「sm"=l-cos',化簡得,sinA=sinCeos3(*),

2c22smC2

因A=兀一(C+5),貝ijsinA=sinCcosB+cosCsinB,代入(*),得sinBcosC=0,

JT

因0<3,。<兀,sinB>0,貝UcosC=0,故C=;,即C項正確;

對于D項,若"RC是等邊三角形,貝1]。=仇。。$4=。。53=工,即」一=一也必成立,

2cosAcosB

nh

故"'y是“URC是等邊三角形”的必要條件,故D項錯誤.故選:ABD.

cosAcosB

四.三角形的面積與周長問題

1.(2324高一下?云南?月考)在AASC中,cosC=1,AC=3,AB=2叵,則的面積為()

A.20B.V2C.竽D.1

【答案】B

【解析】因為cosC=!>0,角C是銳角,所以sinC=RI,

33

Q_L_Q1

由余弦定理,cosC="吐一-=解得NC=1,

6BC3

所以4WC的面積s=、3xlx名旦=逝.故選:B.

23

■JT

2.(2324高一下?浙江麗水?期中)已知在"1BC中,三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若8=0,

c=2,3C邊上的高等于三,貝的面積為()

A.-B.9C.垣D.3J3

22”

【答案】A

【解析】由S/^c=7。。sin3=7x0x7,BP—6!x2x=—xax—,得Q=3A^,

2232223

16Z9

所以&ABC=士〃*彳=工.故選:A.

3.(2023?內蒙古赤峰?二模)在AABC中,內角A,B,C所對的邊分別是。,b,c,已知

ccosB+Z?cosC=2acosA,〃=2,的面積為代,則△ABC的周長是()

A.4B.6C.8D.18

【答案】B

【解析】ccosB+Z?cosC=2acosA,由正弦定理得,sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA,

又sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,所以sinA=2sinAcosA,

因為A?0,兀),所以sinAwO,故cosA=;,

因為A?0,兀),所以A=?

由三角形面積公式可得工匕原足人二更^^二班,故歷=4,

24

由余弦定理得cosA=〃+j=(6+c)、2仆』="-8-4=J_,

2bc2bc82

解得6+c=4或T(舍去),

故三角形周長為4+2=6.故選:B

4.(2324高一下?廣西欽州?期中)在"1BC中,角AB,C所對的邊分別為0,期c,若

sin2A-sin%+sin2C=sinAsinC,且MBC的外接圓的半徑為26,則AASC面積的最大值為—

【答案】9百

【解析】在AABC中,sin2A-sin2B+sin2C=sinAsinC,

由正弦定理得a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cosB="一"一'=j_,

2ac2

TT

因為3為AABC的內角,則0<3<兀,所以8=

因為AASC的外接圓的半徑為2瓜由正弦定理得三=二=三=4百.

sinAsinBsmC

所以/?=4j5sinB=4^f3x—=6,由余弦定理得b?=a2+c2—2tzccosB,BP36=+c2—ac,

2

因為。2+/22。。,所以。。<36,當且僅當。=c=6時取等號,

故MBC的面積S=;acsinBV94,所以AABC面積的最大值為9也.

5.(2324高一下?重慶渝中?期中)在AABC中,角A,B,C對應的邊分別為a,6,c,已知

c=l,b>c,sinBsinC=,且asinA—Z?sinB=V5csinB+csinC,則4=△ABC的面積為

【答案】乎3兀41/0.5

42

【解析】因為asinA-bsinB=V2csinB+csinC,

在URC中,由正弦定理得力—從二四慶+.

由余弦定理得cosA='十°2一百=-正,

2bc2

因為4?0,兀),所以4=1兀;

因為在AASC中,由正弦定理3=3=,},即缶=芻==]

sinAsinBsinCSIILDsinC

h1b>/2所以"=爰匕'

所以sinBsinC=-7=-----j=-

y/2ayj2a2?-KT

所以/=62+。2一26久054=62+1+傷=:缶,所以2〃一3回+2=0,

所以b=e或b瀉(舍),

因為△ABC的面積為S=—bcsinA=—.

22

五.三角形的外接圓問題

1.(2324高一下.江西?月考)在△ABC中,5C=8,A=60。,則AABC的外接圓的面積為()

64兀256兀

A.-----B.64兀D.256兀

33

【答案】A

BC8_86

【解析】由正弦定理得.c的外接圓的半徑-端=*=亍

64兀心、生

所以AABC的外接圓的面積S=---.故選:A.

2.(2324高一上?甘肅定西?開學考試)如圖,AASC內接于。O,若AB=&6,AC=3如,BC=1,則

。。的半徑是()

【答案】A

【解析】"WC中,由余弦定理知,cosA=*+3叱=(而)2否*—49二變,則

2ABAC2MS也10

..7叵

sinA=------,

10

2R==5A/2

由正弦定理,外接圓半徑為R,則sinA772,

^KT

所以。。的半徑是里.故選:A

2

3.(2324高一下?江蘇鎮(zhèn)江?月考)在AABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b=2,

b2+c2-a2=bc,若BC邊上的中線AD=J7,則AABC的外接圓面積是()

A.4兀B.8兀C.12KD.16K

【答案】A

【解析】因為^+C2-/=歷,所以cosA="二£=《,

2bc2

JT

又OVAVTI,所以A=4,

又。是2c中點,所以而=:(通+可,又AC=6=2,

所以蒞2=1(AB+AC)2=-(AB2+2AB-AC+AC2),

44

1-jr

即7=—(c2+2cx2xcos—+22),解得c=4(負值舍去),

43

22

所以4=從+c2-2bccosA=2+4-2x2x4cos—=12,貝!=2^3,

3

所以2R=/n=1T=4,即R=2,

sin—

3

所以AABC的外接圓面積為S=7TR2=4兀,故選:A.

4.(2324高一下?浙江?月考)在AASC中,角A,3,C的對邊分別為。也。,滿足bsinA=7^COS8,AABC外

接圓的半徑為G,則6=.

【答案】3

【解析】因為6sinA=A/^OCOSB,所以sinBsinA=GsinAcosB,

因為OVAVTI,所以sinAwO,

所以sin5=^3cosB,cosBwO,所以tanB=6,

又因為0<5<兀,所以3=1,

從而sinB=¥,又AABC外接圓的半徑為百,

所以由正弦定理得6=2心皿8=2*b、走=3.

2

5.(2324高一下.福建莆田.期中)在41BC中,角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,且

2

ccosB+Z?cosC=aJ若3+C=2A,則AABC外接圓半徑為.

【答案】昱

3

【解析】由CCOSB+Z?COSC=Q2及正弦定理得sinCcos3+sin3cosc=asinA,

即sin(3+C)=asinA,即sinA=asinA,由A?0,7i),貝iJsinA>0,所以a=l,

TT

因為3+C=2A,所以兀—A=2A,所以A=],

a_1_V3

所以由正弦定理得,AABC的外接圓半徑為云啟=—X=T.

2x——

六.解三角形在幾何中的應用

1.(2324高一下?山西?月考)已知AABC非直角三角形,G是的重心,GALGB,則

tanA-tanB

tanC(tanA+tanB)

A.1B.1C.73D.2

【答案】D

【解析】因為G是AABC的重心,所以而=|x;(荏+/)=;(通+配),

金沼(麗+網(wǎng)=;例+網(wǎng),

因為G4_LGB,所以而.苑=0,

所以(荏+衣)?(而+元)=0,所以一福2+旗反+前麗+彩能二。,

所以一寸-diecosB-feecosA+abcosC=0,

而I、I2a2+c2-b2,b2+c2-a2,a2+b2-c2?_

所以一(?一“ex-----------------bex------------------\-abx---------------=0,即0n/2+^z22-5c22=0,

lac2bclab

sinAsinB

所以tan4tan8=cosA,cos3=_________sinAsin3_________

1

tanC(tanA+tanB)-sinCfsinA+sinBVsinCz.nAcosB+cosAsinB)

cosCIcosAcosBJcosC

sinA-sinBsinA-sinBsinA-sinB-cosCab?cosCa2+b2-c2

=2

sinCsinCsin2C2c2.故選:D

?sin(A+B)?sinC

cosCcosC

2.(2324高一下?重慶?期中)AABC內角A,3,C對應邊分別為〃,"c.若AsinA=gacos5,人=6,點尸在

邊AC上,并且AP=3尸C,。為AABC的外心,則OP之長為()

A.與B.與C.721D.277

【答案】B

【解析】連結。4、OC,

因為bsinA=J^acosB,根據(jù)正弦定理得sinBsinA=gsinAcosB,

則tan3=百,即5=1,

1AC_16_r-

且“IBC外接圓半徑3高萬

Sm3

2兀

即在AAOC中,OA=OC=2y/3,ZAOC=—

無13

所以NOCP=—,且PC=—AC=—,

642

在△OCP中,OP2=OC2+PC2-2OC-CPcosZOCP=12+--2x2V3x-x^=—,

4224

所以。尸=叵.故選:B

2

3.(2324高一下?江西撫州?期中)已知AABC中,BD+CD=0,2NC4D+442)=180。,若

AC=—BC,貝"NA5C=()

4

A.正B,301373

224~T~24

【答案】D

【解析】由麗+①=0,可得。為5C中點,

因為2/C4O+/B4D=180°,故N84C+/CW=18O°,

ABBC

----------=-----------①

sinZACBsinZBAC

ADCDn

在△ACD中,由正弦定理,sin/ACD-sin/CA。②

A3BC

兩式相除可得,-=2;AD-x,AB=2x,AC=y9BC-2\/2y,

ADCD

222222

x+2y-4xx+2y-y32

而2.x?亞y+2.x?亞y-可,*=寸

4x2+8y2-J1373士.、上

則cos^ABC==F-?故選:D.

2?2x-2垃y24

4.(2324高一下.重慶?期中)如圖,已知BC=3,D,E為AABC邊8c上的兩點,且滿足

?n.BF1

ZBAD=NCAE,無瓦=“則當2。取最大值時’皿C的面積等于()

「3A/3

\-x.-----D.2A/3

2

【答案】C

【解析】不妨設/54D=NC4E=a/ZME=a,

分別記AABEUACE,AA5E,AAC。的面積為S.ABD,S.ACE,S.ABE,SSCD,

ABADSin6)

n.SABDBD2'ABAD_

貝3^=-----------=--------ffi

」LCECELAE.ACsin0A?ACJ

2

SABEBE5ABSEsin(O+a)AB.AE

cdADAC

S-ACD:ADACsin(6>+a)

BDBEABADABAEAB21,,

由①,②兩式左右分別相乘,可得:-------=----------------=--=-.故得Z0AC=2AB.

CDCEAEACADACAC24

Q4Y2-r213

設AB=x,在A4BC中,由余弦定理,cosZACB=^—^——=-(%+-),

2x3x2x4x

因x>0,貝I」X+3N2代,當且僅當了=石時,等號成立,此時cos/ACBW走,

X2

JTJT

因OvNACBv兀,i^0<ZACB<-,/ACB取得最大值二,

66

此時AABC的面積等于、3><26*5皿色=地.故選:C

262

5.(2324高一下?江蘇?月考)(多選)如圖,“BC的角A,B,C所對的邊分別為°,瓦c,

73(6/cosC+ccosA)=2bsinB,且NCA8=g,若點。在AABC外,DC=l,DA=3f則下列說法中正確的有

()

一71

B.ZABC=-

3

C.四邊形A3CD面積的最大值為邁+3

2

D.四邊形ABCD面積的最大值為|+2g

【答案】ABC

【解析】因為逝(〃cosC+ccosA)=2bsinB,由正弦定理得省(sinAcosC+sinCcosA)=2sin25,

即V3sin(A+C)=石sinB=2sin2B,

因為Be(O,?t),可得sin8>0,所以sinB=立,

2

又因為NCA3=1,可得3e(0,§),所以8=m,所以JBC為等邊三角形,

DDJ

717T

可得ZA3C=§,ZACB=~,所以A、B正確;

設NADC=“e(O,兀),

在AACD中,由余弦定理得|AC|2=|OC|2+|flA|2-2\DC\\DA\COS6=10—6cos6,

ii3

且NACD--||sin0=—x1x3sin—sin0,

可得,ABC=¥|AC「=孚一孚cos。,

所以四邊形的面積為S=SMc+S=—--cos0+-sin0=—+3sW--),

△/IDC△ACCZDZ2222'3/

當。-巴=工時,四邊形ABC。的面積最大,最大值為述+3,所以C正確,D錯誤.故選:ABC.

322

七.解三角形與向量結合

1.(2324高一下.吉林長春?期中)在“LBC中,內角A,B,C所對的邊分別為。,b,J向量

~p={a+c,-b),q=(a+b,a-c),若萬〃Q,則角C的大小為()

,71717127r

A.lB.一C.—D.—

6323

【答案】D

【解析】因為0=(4+°,-。),4=(4+6,4-C),萬〃],

22

所以(a+c>(a—c)—(-6〉(《+Z?)=。,即_a6=q2+b-c,

因為Ce(0,7r),所以C=(,故選:D.

2.(2324高一下?吉林白城?月考)在AABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,向量

/=(26+c,sinC),向量為=(sin3,2c+,),且滿足元.元=2asinA,則角A=()

71—兀一2兀r5兀

A.—B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【解析】因為血=(2b+c,sinC),向量萬=(sin8,2c+/?),且正j=2asinA,

所以2〃sinA=(2/?+c)sini5+sinC(2c+Z?),

由正弦定理得2/=(2Z?+c)b+c(2c+5),EPa2=b2+c2+be,

由余弦定理得=/?2+c2-2Z?ccosA,

所以cosA=-:1,因為Ae(O,兀),所以A=號?7T,故選:C.

3.(2324高一下.重慶渝中.月考)在“IBC中,角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若

5cos5-8cosC=cosA;又聞昭的面積s=io右,且3+C=2A,則近.阮+品?國+無?通=

6C-5ba

A.64

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