廣東省深圳某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級上冊第一階段考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣東省深圳實驗學(xué)校高中部2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第一階

段考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列關(guān)系中，正確的是()

3

A.-2eN+B.兀gQC.OeND.-eZ

2.命題“*e(0,+8),使得x?+1<2x”的否定是()

A.Vxe(0,+oo),總有x?+l22xB.Vxe(0,+oo),總有尤？+1<2x

C.玉e(0,+8),使得x?+122xD.*e(0,+co),使得x?+122x

3.已知全集。=!<,集合/={x|x<-l或x>4},8={尤|-24尤〈3},那么陰影部分表示的集

合為（）

A.{%|-2<x<4}B.{x|-l<x<3}C.{x|x<3x>4}D.{x\-2<x<4]

4.關(guān)于x的不等式胃<°的解集為林若OeM,則實數(shù)加的取值范圍是（

A.m<0B.m>0

C.加。0D.不確定

5.函數(shù)》=「x+萬五的值域為（）

A.48,；B.[0,+oo）1

C.—,+ooD.5,+00

2

6.如圖所示，圓柱形水槽內(nèi)放了一個圓柱形燒杯，向放在水槽底部的燒杯注水（流量一定）,

注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽，水槽中水面上升高度力與注水時間t之間的函數(shù)關(guān)

系，大致是（）

試卷第1頁，共4頁

7.已知函數(shù)f（x）=dmx、mx+l的定義域是R，則機的取值范圍是（）

A.0<m<4B.0<m<4C.m>4D.0<m<4

8.如果對于任意實數(shù)x,[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如㈤=3,[0.6]=0,[-1.6]=-2,

那么“卜一^<i”是“國=[力”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

9.若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是（）

A.a-c>d-bB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>be

10.下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）

A./(x)=，一21一1與g?)=/2一2,一1

試卷第2頁，共4頁

B./(x)=x°與g(x)=l

1Y

c./(尤)=—與g(x)=一

D./(x)=Jx+1-Vx-1與g(x)=Vx2-1

11.已知二次函數(shù)、="2+樂+°(〃工0)的圖象如圖所示，則下列選項正確的是()

B.3a>2b

C.m(am+b)<a-b(冽為任意實數(shù))

D.4a-2b+c<0

三、填空題

12.實數(shù)4，6滿足-3?QV1,-1<6<3,則3Q-6的取值范圍是.

13.函數(shù)/("=(/+2)+1匕的最小值為.

14.已知關(guān)于x的一元二次不等式V-g+Dx+aWO的解中有且僅有3個正整數(shù)解，則實數(shù)

。的取值范圍是.

四、解答題

15.已知/是實數(shù)，集合/蘇-3加+2，，5={0,6}.

(1)若加=2,請寫出集合A的所有子集；

(2)求證：“加=2”是“4cB={0}”的充要條件.

試卷第3頁，共4頁

°I-x(x+4),x<0

16.已知函數(shù)〃x)=c

Ix,x>0

⑴求/V(-i))；

⑵若/S)=3,求。的值;

⑶若函數(shù)/(x)的圖象與直線＞=機有三個交點，請畫出函數(shù)/(X)的圖象并寫出實數(shù)機的取

值范圍(不需要證明).

]

17.已知函數(shù)f(x+l)=

x~+2x+2

⑴求/'(x)的解析式;

(2)判斷/'(x)在(0,+。)上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.

18.購買黃金是一種常見的投資方式，現(xiàn)有兩種不同的投資策略：第一種是每次購買黃金定

量為機克(加＞0),第二種是每次購買黃金定額為"萬元(〃＞0);在黃金價格有波動的情況

下，選擇一種策略購買黃金兩次，以平均單價衡量，哪種購買方式更有利于控制投資成本？

19.對于定義域為/的函數(shù)/(尤),如果存在區(qū)間［九〃仁］,使得/(x)在區(qū)間上是單

調(diào)函數(shù).且函數(shù)y=f(x),的值域是［〃?,〃］,則稱區(qū)間［私力］是函數(shù)/(x)的一個“優(yōu)

美區(qū)間

(1)求證：［0,1］是函數(shù)/(x)=/的一個，優(yōu)美區(qū)間”；

⑵如果函數(shù)/(x)=/+。在［0,+e)上存在“優(yōu)美區(qū)間，，，求實數(shù)。的取值范圍；

⑶如果［九九］是函數(shù)〃x)=S+：)xT("0)的一個“優(yōu)美區(qū)間”，求”機的最大值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BABBCDDBABAC

題號11

答案ABC

1.B

【分析】根據(jù)自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、空集的定義判斷各選項中元素與集合的關(guān)系.

【詳解】對于A,因為-2不是正整數(shù)，所以-2史N+，故A錯誤；

對于B,因為兀不是有理數(shù)，所以ireQ,故B正確；

對于C.,因為0是自然數(shù)，所以O(shè)eN,故C錯誤；

對于D,因為：不是整數(shù)，所以；eZ,故D錯誤.

22

故選：B.

2.A

【分析】特稱命題否定為全稱命題即可

【詳解】因為命題“*w(O,+°°),使得V+l<2x”，

所以其否定為“Vxe(0,+oo),總有1+122%”

故選：A.

3.B

【分析】陰影部分表示的集合為8n4/,根據(jù)補集定義求出備/,再根據(jù)交集定義即可求

解.

【詳解】因為全集［/=口，集合N={x|x<-1或x>4},

所以々/={x|74x44},

陰影部分表示的集合為8m/-2W3}n{x|T4x44}={xT4x43},

故選：B.

4.B

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系得出參數(shù)的取值范圍即可.

【詳解】因為OeM,所以魯^°，加)°.

故選：B.

答案第1頁，共9頁

5.C

【分析】令在右=入(，20)，可得y=利用函數(shù)單調(diào)性求值域.

【詳解】令Ji==t,(/>o),貝|]尤=(，

所以函數(shù)y=l+[l+f=：+r+；="T，函數(shù)在[o,+8)上單調(diào)遞增，

f=0時，>有最小值：，

2

所以函數(shù)y=l-x+”二五的值域為

故選：C

6.D

【分析】分析水槽內(nèi)水面上升的高度的速度，可得問題答案.

【詳解】開始注水時，水注入燒杯中，水槽內(nèi)無水，高度不變；

燒杯內(nèi)注滿水后，繼續(xù)注水，水槽內(nèi)水面開始上升，且上升速度較快；

當水槽內(nèi)水面和燒杯水面持平以后，繼續(xù)注水，水槽內(nèi)水面繼續(xù)上升，且上升速度減慢.

故選：D

7.D

【分析】函數(shù)/(x)=Vmx2+mx+1的定義域是R，等價于不等式加一+冽工+]之。對任意

[m>0

恒成立，分加=0和人,八兩種情況求出實數(shù)加的取值范圍即可.

[A<0

【詳解】因為函數(shù)/(x)=Vmx2+mx+1的定義域是R，

所以不等式加一+加x+i>0對任意xGR怛成立，

當加=0時，1>0,對任意％wR恒成立，符合題意；

fm>0fm>0

當相。0時，5,即(2,八，解得：0<冽《4,

[A<0[m-4Am<0

綜上，實數(shù)冽的取值范圍是OK加04;

故選：D

8.B

【分析】根據(jù)充分、必要條件以及新定義[同等知識來確定正確答案.

【詳解】對于,一“<1,如x=-0.4,y=0.5,

答案第2頁，共9頁

則人一計=卜0.4_0.5卜0.9<1,[x]=[-0.4]--l,[.v]=[0.5]=0,

此時[小[v].

對于[司=3，貝Ux,ye5,〃+1),〃eZ,

貝+,

則x-ye(-1,1訃-y|<1.

“|x-y|<1”是“[x]=[y]"的必要不充分條件.

故選：B

9.AB

【分析】采用作差法可知AB正確；通過反例可說明CD錯誤.

【詳解】對于A,(a-c)-(t/-6)=(a-c)+(6-d),

Qa>b>c>d,a-c>0,b-d>0,

c)-(d-b)〉0,a—c>b—d,A正確；

對于B,(〃+c)―0+d)=(Q_b)+(c_d),

Qa>b>c>d,:.a-b>0,c-d>0,

.\(d;+c)-(/?+J)>0,即q+c>b+d,B正確；

對于C,當a=3,b=0,c=-2,d=-3時，ac=-6<0=bd,C錯誤；

對于D,當q=3,b=2,c=lfd=0時，ad=0<2=be,D錯誤.

故選：AB.

10.AC

【分析】根據(jù)函數(shù)的“三要素”判斷是否為同一個函數(shù).

【詳解】對A：只是用不同的字母表示變量，所以是同一個函數(shù)，故A正確；

對B：因為函數(shù)/(%)的定義域為(-8,0)D(0,+8),函數(shù)g(x)的定義域為R，所以/(X)與g(x)

不是同一個函數(shù)，故B錯誤；

對C：函數(shù)“X)與g(x)的定義域都是(-8,0)3。,+8),對應(yīng)關(guān)系一樣，故它們是同一個函

數(shù)，故C正確；

答案第3頁，共9頁

對D：函數(shù)〃x)=Jx+1-Jx-l的定義域是:口,+℃),函數(shù)g(x)的定義域是：

定義域不一致，所以它們不是同一個函數(shù)，故D錯誤.

故選：AC

11.ABC

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的結(jié)論是否正確，

從而可以解答本題.

【詳解】因為拋物線開口向下，則。<0,

又因為拋物線的對稱軸為直線x=-§=-l,貝防=2*可得6<0,

且拋物線與y軸的交點在x軸上方，則c>0,

對于選項A：可得abc>0,故A正確；

對于選項B：因為6=2。，則26-3。=4。-3。=a<0,

所以3a>26,故B正確；

對于選項C：拋物線的對稱軸為直線x=-l,可知當x=-l時，y有最大值，

則am2+6〃z+cVa-6+c(加為任意實數(shù))，

所有加(a〃?+b)Va-b為任意實數(shù))，故C正確；

對于選項D：因為拋物線的對稱軸為直線x=-l,且拋物線與x軸的一個交點在點(0,0)和

(1,0)之間，

則拋物線與x軸的另一個交點在點(-3,0)和(-2,0)之間，

可知當x=-2時，>0,所以4a-26+c>0,故D錯誤.

故選：ABC.

12.[-12,4]

【分析】根據(jù)題意利用不等式的性質(zhì)運算求解.

【詳解】因為一34a41,-1<Z?<3,則一9W3a43,-3<-6<1,

可得-1243。-644,

所以的取值范圍是

故答案為：

答案第4頁，共9頁

【分析】換元令，=犬+2,可得g(/)=f+J,結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性求最值.

【詳解】令，=/+2±2,貝Ug(f)，+；,

可知g?)在［2,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，則g?)在［2,y)內(nèi)的最小值為g(2)=|,

所以函數(shù)/(x)的最小值為

故答案為：

2

14.3<a<4

【分析】將x?—+l)x+a40化為(x—l)(x—a)W0,分a=l,a<1,a>l三種情況討論即

可求.

【詳解】由x2-(a+l)x+aW0可得(尤一l)(x-a)VO,

當。=1時，不等式的解集為｛1｝,不符合題意，舍，

當。<1時，不等式的解集為｛x|aV尤VI｝,其正整數(shù)解至多有1個，不符合題意，舍，

當。>1時,不等式的解集為｛x|lVxVa｝,

因為有且僅有3個正整數(shù)解，故整數(shù)解為1,2,3,

所以，3<a<4.

綜上，實數(shù)。的取值范圍是3Va<4.

故答案為：3<?<4

15.(1)0,也，g,網(wǎng)，［g,｛叫，加，舊，。｝

(2)證明見解析

【分析】(1)結(jié)合子集的概念列出即可；

(2)分別判斷充分性和必要性，結(jié)合集合的互異性判斷取值即可.

【詳解】(1)若m=2,則/所以A的所有子集為：

0>｛；｝‘網(wǎng)'｛I。｝‘｛J’。｝,H,。｝.

(2)證明：若優(yōu)=2,則N=所以Nc8=｛0｝,故充分性成立；

答案第5頁，共9頁

若NcB={0},貝因為2?/(),所以蘇一3加+2=0,

m

解得加=1或冽=2,當加=1時，1=—,不滿足互異性，故舍去，

m

當加=2時，/=，1,t,0，，滿足互異性，故必要性成立.

所以、=2”是“，c8={0}”的充要條件.

16.(1)3；

(2)〃=—3或Q=—1,〃=3；

(3)圖見解析，(0,4).

【分析】(1)運用代入法，結(jié)合函數(shù)解析式進行求解即可；

(2)運用代入法，分類討論進行求解即可；

(3)根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，再運用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.

【詳解】(1)/(/(-1))=/(3)=3；

(2)當a>0時，〃a)=3na=3；

當aWO時，/⑷=3=>-a(a+4)=3=>/+4a+3=0=>a=-1,或a=-3,

所以Q=—3或〃=—1,a=3；

最大值為〃X)1mx=4,由數(shù)形結(jié)合思想可知：函數(shù);'(X)的圖象與直線了=加有三個交點，只

需0<機<4,故實數(shù)加的取值范圍為(0,4).

17.⑴小上告

(2)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，證明見解析

答案第6頁，共9頁

【分析】(1)由配湊法可得函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.

【詳解】(1)因為/(》+1)=7—

(X+1)+1

所以

(2)/(x)在(。,+⑹上單調(diào)遞減.

證明如下：

令0<<%2,貝|J—再>0，

f(f(\__!______1=(%2+/)(12—石)0

"xJ八x=君+1-(X；+1猛+lj'

即/(尤1)>/(%),

所以/'(尤)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

18.第二種購買方式更有利于控制投資成本.

【分析】分別求出兩種投資方式的黃金平均單價，利用作差法比較它們的大小，可得結(jié)論.

【詳解】設(shè)兩次黃金的單價分別為尤，y(x>o,y>0,尤RJO.

第一種購買方式，黃金的平均單價為：吟”=中；

2m2

2n_2xy

第二種購買方式，黃金的平均單價為：nn~x+y.

xy

2

.x+y2xy(%+?-4孫(x-y)舊品八A

由--———-廿—/)、,因為x>0,>>0,

2x+y2(x+y)2(x+y)

所以(p2>o,即第二種購買方式，黃金的平均單價較低.

2(x+y)

故第二種購買方式更有利于控制投資成本.

19.(1)證明見解析

⑵心

⑶孚

【分析】(1)根據(jù)“優(yōu)美區(qū)間”的定義證明即可.

答案第7頁，共9頁

（2）問題轉(zhuǎn)化為：方程一+0=》在［0,+8）有兩個不同的解，再求。的取值范圍.

（3）由新定義及函數(shù)定義域，確定相應(yīng)方程f（x）=尤有兩個同號的不等實根，由此求得參

數(shù)范圍.

【詳解】（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知：函數(shù)/（x）=f在［0,1］上單調(diào)遞增，

且/（。）=0,/⑴=1，所以當x?0,l］時，函數(shù)/（無）的值域亦為［0,1］.

所以：［0,1］是函數(shù)/（X）=/的一個“優(yōu)美區(qū)間

（2）函數(shù)+a在［0,+句上存在“優(yōu)美區(qū)間”，

轉(zhuǎn)化為：方程x2+a=尤在［0,+<?）有兩個不同的解.

由x2+a=xnx2-x+a=0，

因為方程在［0,+e）上有兩個不同的解，