湖南省長沙市2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期9月月考模擬數(shù)學(xué)試題（含答案）

學(xué)情檢測

一、選擇題（共10小題，每小題3分）

1.下列曲線中不能表示＞是x的函數(shù)的是（）

y

B.>

Ox

2.一次函數(shù)了=履+1,夕隨X的增大而增大，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.中國“一十四節(jié)氣,,已被利入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化讀產(chǎn)代表作名錄，下列四

幅作品分別代表“立春”，“立夏”“芒種”“大雪”，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

4.如圖，將△048繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)80。，得到A。。，若4=2/0=100。，則/a的度

數(shù)是

A.50°B.60°C.40°D.30°

5.如圖,42是。。的弦，CD是。。的直徑，CD14B于點E.在下列結(jié)論中，不一定成

立的是（)

試卷第1頁，共6頁

c

A.AE=BEB.ACBD=90°C./COB=2/DD./COB=/C

6.如圖，CD是O。的直徑，弦若/CDB=28。，則。的度數(shù)為（）

A.28°B.56°C.58°D.62°

7.若代數(shù)式五有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

x-3

A.x*3B.x>0C.x>0且x*3D.x20且x/3

8.肥皂泡膜是人眼能夠分辨的最薄的東西之一，它的平均厚度約為700納米，已知1納米

=10"米，那么700納米用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.7x10-8B.7x10-7C.70x10-8D.0.7xlO-7

9.下列平行四邊形中，根據(jù)圖中所標(biāo)出的數(shù)據(jù)，不一定是菱形的是（）

10.關(guān)于X的一元二次方程辦2+云+；=0有一個根是-1,若二次函數(shù)歹="2+樂+；的圖

象的頂點在第一象限，設(shè)=2〃+6,貝I"的取值范圍是（）

11

A.—<t<—B.-1<^<—C.--</<—D.

424222

試卷第2頁，共6頁

二、填空題（共6小題，每小題3分）

11.若一組數(shù)據(jù)3,4,x,6,7的眾數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.

12.將拋物線y=-2（x+3『T向上平移4個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到的

拋物線的解析式是—.

13.在平面直角坐標(biāo)系中，若點工（。,3）與點8（-1涉）于原點對稱，則a+6=.

14.如圖，直線弘=必，％=丘+6交于點尸（21），則關(guān)于x的不等式丘+的解集

為______

15.如圖，N8是的直徑，CD為的弦，CDL4B于點、E,已知48=10,CD=8,則

OE=

16.如圖，四邊形48CD內(nèi)接于。。，/C、8。為對角線，AD經(jīng)過圓心。.若

ZDBC=65°,則NBAC的度數(shù)為一.

三、解答題（共9小題）

17.計算：（V2-^）°+|l-2>/3|-V12+f1

試卷第3頁，共6頁

r2-2x+1(4)

18.先化簡，再求值：,：+1-三,然后從-3,0,1,3中選一個合適的數(shù)作為

x2+3xIx+3J

x的值代入求值.

19.在如圖所示的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，A/5。的三個頂點

都在格點上.

(1)以。為原點建立直角坐標(biāo)系，點B的坐標(biāo)為(-3,1),則點A的坐標(biāo)為_；

⑵畫出AABO繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。后的

20.如圖，在等邊aABC中，點D為aABC內(nèi)的一點，ZADB=12O°,zADC=90°,WAABD

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得AACE,連接DE

(1)求證：AD=DE；

(2)求NDCE的度數(shù).

21.如圖，N8是的直徑，弦于點￡,點P在。。上，Z1=ZC.

⑴求證：CB//PD；

(2)若3c=3,ZC=30°,求。。的直徑.

22.如圖，拋物線了=/-云+。交X軸于點/(1,0),交y軸于點8,對稱軸是x=2.

試卷第4頁，共6頁

x=2

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點尸，使的周長最??？若存在，求出

點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

23.根據(jù)市場調(diào)查，某公司計劃投資銷售N,2兩種商品.

信息一：銷售N商品x（噸）所獲利潤”（萬元）之間存在某種關(guān)系的部分對應(yīng)值如下表:

X（噸）1234

yA（萬元）6121824

2

信息二：銷售3商品x（噸）所獲利潤為（萬元）之間存在二次函數(shù)關(guān)系：yB=ax+bx,

且銷售2噸時獲利潤20萬元，銷售4噸時，可獲利潤32萬元.

⑴直接寫出”與%之間的關(guān)系式為;并求出力與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果企業(yè)同時對2兩種產(chǎn)品共購進(jìn)并銷售10噸，每噸產(chǎn)品購進(jìn)成本為4萬元，請設(shè)

計能獲得最大利潤的采購方案，并求出最大利潤；

（3）假設(shè)購買/商品的成本為3萬元/噸，購買2商品的成本為5萬元/噸，某公司準(zhǔn)備投資

44萬元購進(jìn)，，8兩種商品并銷售完畢，要求/商品的數(shù)量不超過8商品數(shù)量的2倍，且

銷售總利潤不低于53萬元，直接寫出B商品的銷售數(shù)量x的取值范圍是.

24.關(guān)于x的方程辦2+6=0，如果a、b、c滿足/+/=02且c#0,那么我們把這

樣的方程稱為“勾股方程”.請解決下列問題：

試卷第5頁，共6頁

(1)請寫出一個“勾股方程”：

⑵求證：關(guān)于x的“勾股方程”辦2+6cx+b=0必有實數(shù)根；

(3)如圖，已知/5、CD是半徑為1的。。的兩條平行弦，AB=a,CD=b,且關(guān)于x的方程

三x?++g=0是“勾股方程，，，求/A4c的度數(shù).

25.二次函數(shù)了="2+加+。的圖像經(jīng)過點4(0,8),頂點為P.

(l)c=.

(2)當(dāng)時，若頂點尸到x軸的距離為10,則6=；

⑶若二次函數(shù)圖像交x軸于8、C兩點，點8坐標(biāo)為(8,0),且△NBC的面積不小于20,求

a的取值范圍.

試卷第6頁，共6頁

1.D

【分析】設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與丹對于x的每一個確定的值，v都有唯一的

值與其對應(yīng)，那么就說〉是X的函數(shù)，X是自變量.由此逐項判斷即可.

【詳解】A.當(dāng)x取一個值時，V有唯一的一個值與x對應(yīng)，故該選項能表示V是X的函數(shù),

不符合題意；

B.當(dāng)x取一個值時，y有唯一的一個值與x對應(yīng)，故該選項能表示y是X的函數(shù)，不符合題

思；

C.當(dāng)X取一個值時，y有唯一的一個值與X對應(yīng)，故該選項能表示V是X的函數(shù)，不符合題

忌；

D.在圖象中，在x軸正半軸上取一點，即確定一個x的值，這個x對應(yīng)圖象上兩個點，即

一個X的值有兩個y值與之對應(yīng)，故此圖象不是y與x的函數(shù)圖象，符合題意.

故選D.

【點睛】本題考查了函數(shù)的概念.對于自變量的每一個確定的值，函數(shù)值有且只有一個值與

之對應(yīng).

2.D

【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)該函數(shù)的增減性可得后＞0,從而可判斷出

該函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，進(jìn)而即可解答.

【詳解】解：,??一次函數(shù)＞=履+1,y隨尤的增大而增大，

???左〉0,

.?.該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限.

故選：D

3.D

【分析】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是掌握定義：平面內(nèi)，一

個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫軸對稱圖形；如果一個圖形

繞某一個點旋轉(zhuǎn)180度后能與它自身重合，這個圖形叫做中心對稱圖形.根據(jù)軸對稱圖形和

中心對稱圖形的定義逐項判斷即可.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖象，也不是中心對稱圖形，不合題意；

B、是軸對稱圖象，不是中心對稱圖形，不合題意；

C、是軸對稱圖象，不是中心對稱圖形，不合題意；

D、是軸對稱圖象，也是中心對稱圖形，符合題意；

答案第1頁，共16頁

故選：D.

4.A

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得乙4=NC=100。，

AAOC=80°,再求出/DOC,即可得到/a的度數(shù).

【詳解】???將△048繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)80。，乙4=100。

.-.ZA=ZC=100°,ZAOC=80°,

NA=2ND=100°,

ZD=50°,

ZDOC=18O°-ZZ>-ZC=3O°,

.■.Za=ZAOC-ZDOC=80°-30°=50°,

故選：A.

5.D

【分析】此題考查了圓周角定理、垂徑定理，熟練掌握圓周角定理、垂徑定理是解題的關(guān)

鍵.

根據(jù)垂徑定理、圓周角定理判斷求解即可.

【詳解】解：是。。的直徑，CD1AB,

AE=BE,NCBD=90。,NCOB=2ND,NCBO=NC,

故A、B、C不符合題意，D符合題意；

故選：D.

6.B

【分析】根據(jù)垂徑定理可得前=/，再由圓周角定理，即可求解.

【詳解】解：:8是。。的直徑，弦A8LC。，

■■BC=AC>

ZAOC=2ZCDB=2x28°=56°.

故選：B

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理是解題的

關(guān)鍵.

7.D

【分析】本題考查了二次根式和分式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件“被開方數(shù)

答案第2頁，共16頁

大于或等于0”和分式分母不為零進(jìn)行計算即可得，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式和分式有意

義的條件.

x>0

【詳解】解：由題意得,

無一3/0’

解得x20且x43,

故選：C.

8.B

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的一般形式為axlO",其中1<H<10,〃為整數(shù).確定〃的值

時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)

原數(shù)絕對值210時，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，〃是負(fù)整數(shù).

【詳解】解：700納米=700x10-9米=7x10-米，

故選：B.

【點睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及〃的值.

9.C

【分析】根據(jù)菱形的判定方法逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、根據(jù)等角對等邊可得平行四邊形的兩條鄰邊相等，即可得到平行四邊形為

菱形，不符合題意；

B、根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得到平行四邊形的對角線互相垂直，即可得到平行四邊形為

菱形，不符合題意；

C、根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，不能得到平行四邊形是菱形，符合題意；

D、根據(jù)平行四邊形的對邊平行，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，以及等角對等邊可得平行四邊

形的兩條鄰邊相等，即可得到平行四邊形為菱形，不符合題意；

故選C.

【點睛】本題考查菱形的判定.熟練掌握菱形的判定方法，是解題的關(guān)鍵.

10.D

12Z-1

【分析】二次函數(shù)的圖象過點（T,。），則+二=0,而=2a+6,貝必=，,

答案第3頁，共16頁

6=0岸，二次函數(shù)的圖象的頂點在第一象限，則-鄉(xiāng)>0,>0,即可求解.

62a24a

【詳解】???關(guān)于》的一元二次方程?2+云+:=。有一個根是-1,

2

.,.二次函數(shù)y=，+6x+g的圖象過點(-1,0),

a—b—=0,

2

.-.b=a+—,t=2a+b,

?,2/—1j2%+2

則,b=^—

00

?.?二次函數(shù)y=ax2+6x+g的圖象的頂點在第一象限,

1-^>0

>0,

2a24。

［右2/—172，+2八、、,［、/.

將。=一丁，6=—;—代入上式得:

O0

2才+2

$T>°,解得：

2x------

6

2/+22

1（-7~）1

~方_[>0,解得：f<—<3,

24（號2

故：-

故選D.

【點睛】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求20與6的關(guān)系,

以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運用

11.4

【分析】本題考查眾數(shù)、中位數(shù)的意義和求法，眾數(shù)指在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，而

中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)排序后處在中間位置的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)，根據(jù)眾數(shù)的意義求出

x的值，再根據(jù)中位數(shù)的意義，從小到大排序后，找出處在第3位的數(shù)即可.

【詳解】解：??,數(shù)據(jù)3,4,x,6,7的眾數(shù)是3,

因此x=3,

將數(shù)據(jù)3,4,3,6,7排序后處在第3位的數(shù)是4,

因此中位數(shù)是4.

答案第4頁，共16頁

故答案為：4.

12.y=-2（x+5）~+3

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)二次函數(shù)的圖象的平移法則：左加右減，上

加下減即可得出答案，熟練掌握二次函數(shù)的平移法則是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：將拋物線了=-2@+3）2-1向上平移4個單位長度，再向左平移2個單位長度,

得到的拋物線的解析式是V=-2（x+3+2『-1+4=-2（x+5）2+3,即y=-2（龍+5『+3,

故答案為：y=-2（x+5『+3.

13.-2

【分析】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點，代數(shù)式求值，關(guān)于原點對稱的點的橫縱

坐標(biāo)均互為相反數(shù)，據(jù)此作答即可.

【詳解】???點”（a,3）與點3（-1力）于原點對稱，

：.a=l,b=—39

**?6z+Z?=1—3=-2,

故答案為：-2.

14.x<2

【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式及一次函數(shù)圖象的交點問題，解答本題的關(guān)

鍵是熟練掌握圖象在上方的部分對應(yīng)的函數(shù)值大，圖象在下方的部分對應(yīng)的函數(shù)值小.

結(jié)合函數(shù)圖象，寫出直線必在直線％下方所對應(yīng)的自變量的范圍即可.

【詳解】解：?.,直線%=履+6交于點P（2,l）,

二當(dāng)x<2時，kx+b>mx,

即關(guān)于x的不等式Ax+b>加x的解集為x<2.

故答案為：x<2.

15.3

【分析】連接，根據(jù)垂徑定理可得CE=OE=4,在Rt^OCE中，利用勾股定理即可求

解.

【詳解】解：連接OC,如圖所示：

答案第5頁，共16頁

c

B

OC^-AB^S,

2

,:CD1AB,

,?.CE=DE=LCD=4,

2

在RtZkOCE中，乙CEO=90。,OC=5,CE=4,

??OE=d（）C2—。爐=加2—42=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

16.25°##25度

【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，由是。。的直徑得N8CD=90。,

進(jìn)而可得/BDC=25。，再根據(jù)圓周角定理即可求解，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???2。是。。的直徑，

ZBCD=90°,

vNDBC=65。，

.?.28DC=90°-65°=25°,

ABAC=ABDC=25°,

故答案為：25°.

17.2

【分析】本題考查了實數(shù)的運算，根據(jù)零指數(shù)暴、絕對值、算術(shù)平方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)基的運

算法則分別計算即可.熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

［詳解］解：（后_句°+卜_26卜疵+

=1+273-1-273+2

=2.

答案第6頁，共16頁

x—12

18.；x=3,原式="

x3

【分析】利用分式的運算法則將原式進(jìn)行化簡，然后根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，再

將其代入化簡結(jié)果計算即可.

【詳解】解：原式二與二明一葉二

x(x+3)x+3

二(I)2：xT

x(x+3)x+3

_(x-1)2x+3

x(x+3)x-\

_x—1

X

：x(x+3)wO,x-1/0,

xw0,x*-3,xw1,

x=3,

.?.原式3=-下1=：2.

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

19.(1)(-2,3)；(2)見詳解

【分析】(1)利用B點坐標(biāo)作出直角坐標(biāo)系，從而得到A點坐標(biāo)；

(2)利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B的對應(yīng)點A1、Bi即可.

【詳解】解：(1)根據(jù)B點坐標(biāo)可得出原點位置為O點，

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，點A的坐標(biāo)為(-2,3)；

故答案為(-2,3)；

(2)如圖，△OAjBi為所作.

答案第7頁，共16頁

【點睛】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，

對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)

點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

20.(1)證明見詳解；(2)90°

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)可得△ARD四△NCE,由三角形全等可得4D=/E、NBAD=/CAE,

再利用等式的性質(zhì)可得=從而可得△/￡)￡是等邊三角形，最后再根據(jù)等邊三

角形的性質(zhì)可到結(jié)論；

(2)由(1)可得4ME=60。、ZAEC=120°,再結(jié)合已知條件/4DC=90。根據(jù)四邊形的

內(nèi)角和即可求得答案.

【詳解】解：(1)???將△4BD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得

△ABD"AACE

：.AD=AE,ABAD=ZCAE

：.ABAD+ADAC=NCAE+ZDAC即ABAC=NDAE

???△4BC是等邊三角形

ABAC=60°

ZDAE=60°

.??△/DE是等邊三角形

*，?AD=DE.

(2)?.?由(1)可知，△/￡>￡是等邊三角形，AABD義AACE

ZDAE=60°,ZAEC=ZADB=120°

???NADC=90°

???在四邊形/DCE中，ZDCE=360°-ZADC-ZDAE-ZAEC=90°.

答案第8頁，共16頁

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)得性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、四

邊形的內(nèi)角和等，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

21.（1）證明見解析

（2）6

【分析】本題考查圓周角定理（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等），垂徑定理（垂

直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對的?。┮约敖庵苯侨切危?/p>

（1）先由圓周角定理得到/。=/尸，結(jié)合已知得到/1=/尸，即可證明〃尸

（2）連接NC,由“直徑所對的圓周角是直角”可得44c8=90。，由垂徑定理可得

BC^BD,得到N/=N尸，sin=sinZP,解直角三角形得到8c=3,即可得到

AB=6.

【詳解】（1）證明：「/C與一尸是礪所對的圓周角,

ZC=ZP.

又?；N1=NC,

?-?Z1=ZP,

CB//PD-,

(2)解:連接/C,

???48為。。的直徑,

NACB=90°.

又?：CD1AB,

■■BC=BD，

■■NA=NP,

:.sinAA=sin/P.

在中,sinZ-A=---,

答案第9頁，共16頁

??,sin/P=sinZC=sin30°=—,

2

.BC\

sinZ7_AA==—

AB2

又,:BC=3,

AB=6.

即OO的直徑為6.

22.(l)y=x2—4x+3

(2)存在，(2,1)

【分析】⑴根據(jù)拋物線經(jīng)過點/(LO),對稱軸是直線x=2列出方程組，解方程組求出6、。

的值即可；

(2)因為點A與點。關(guān)于x=2對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，連接5。與直線x=2交于點尸，則

點尸即為所求，求出直線與直線x=2的交點即可.

1-6+c=0

【詳解】(1)由題意得，6c,

[2

解得b=4,c=3,

二拋物線的解析式為：y=x2-4x+3；

(2)?.,點A與點C關(guān)于直線x=2對稱，

二連接5c與直線x=2交于點P,則點尸即為所求，

根據(jù)拋物線的對稱性可知，點C的坐標(biāo)為(3,0),

了=尤2-4%+3與歹軸的交點為8(0,3),

設(shè)直線的解析式為：y=kx+b,

j3k+b=0

1=3'

解得，k=-\,b=3,

直線BC的解析式為：y=-x+3,

則直線2C與直線x=2的交點坐標(biāo)為：尸(2,1)

答案第10頁，共16頁

點尸的坐標(biāo)為：(2,1).

【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和最短路徑問題，掌握待定系數(shù)法求

解析式的一般步驟和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2

23.(1)”=6無，yB=-x+12x

⑵購進(jìn)A商品7噸，購進(jìn)B商品3噸，最大利潤69萬元

(3)4<x<7

【分析】本題考查了二次函數(shù)在銷售利潤問題中的應(yīng)用；

(1)由信息一得，每銷售1噸/商品可獲利6萬元，由信息二得：當(dāng)x=2時，y=20,當(dāng)x=4

時，y=32,代入解析式，即可求解；

(2)設(shè)購進(jìn)B商品機(jī)噸，總利潤為w萬元，w=A商品的利潤+B商品的利潤，化成二次

函數(shù)的頂點式，即可求解；

(3)由A商品和5商品數(shù)量關(guān)系列出不等式求出x的取值范圍，嗎=人商品的利潤+8商

品的利潤，求出吸253時x的取值范圍，即可求解；

找出等量關(guān)系式，理解二次函數(shù)與對應(yīng)不等式之間的關(guān)系及y、X的實際意義是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】(1)解：由信息一得：每銷售1噸/商品可獲利6萬元；

由信息二得：當(dāng)無=2時，y=2Q,

當(dāng)x=4時，>=32,

yA=6x,

答案第11頁，共16頁

故答案：yA=6x；

由信息二得

當(dāng)％=2時，歹=20,

當(dāng)％=4時，y=32,

j4a+2b=20

.116a+4b=32‘

a=-1

解得:

6=12

二%與X的函數(shù)關(guān)系式為為=-/+I2x；

故答案：B=6X；

(2)解：設(shè)購進(jìn)B商品m噸，總利潤為卬萬元，則有

w=6(10-m)—m2+12加

=-m'+6m+60

=-(m-3)2+69

v-1<0,

,當(dāng)機(jī)=3時，

%大=69，

.'.10-w=7(噸),

故購進(jìn)A商品7噸，購進(jìn)B商品3噸，最大利潤69萬元;

(3)解：由題意得

44

x<——

I5

44

解得：4<X<y,

44—5x2?i0

叱=6x——------x+12x

——+2x+889

當(dāng)—Y+2x+88=53時，

答案第12頁，共16頁

解得：玉=-5,x2=7,

???銷售總利潤不低于53萬元，

—X2+2x+88253,

v-1<0,

/.-5<x<7,

*/x>0,

:.4<x<7；

故答案：4<x<7.

24.⑴3/+5缶+4=0(答案不唯一)

(2)見解析

(3)Z3AC=45°

【分析】（1）由“勾股方程”滿足的條件，即可寫出一個“勾股方程”；

2

（2）由ox2+0cx+6=O是“勾股方程”，得到。=。2且CHO,awO時，A=2c-4ab

=2（a-b）2>0,方程有兩個實數(shù)根，。=0時，方程、匯cx+b=O，c^O,方程有實數(shù)根，

得“勾股方程”必有實數(shù)根；

（3）作0EJ.48于￡,延長EO交。于尸，連接。AOC,根據(jù)垂徑定理得

AE=^,CF4根據(jù)勾股定理得［11+0￡2=12,根據(jù)，，勾股方程，，得

得到OE=CF,推出RtA80￡gRtA0C*HL）,推出NCO8=90。，根據(jù)圓周角定理得

ZBAC=45°.

【詳解】⑴解：根據(jù)題意，寫出一個“勾股方程”為：3/+5岳+4=0（答案不唯一）;

故答案為：3/+5缶+4=0（答案不唯一）

（2）證明：???關(guān)于x的方程辦2+0^+6=0是“勾股方程”，

???+/=/且。W0,

當(dāng)〃w0時，

△=（缶）2-4h

=2c2-4ab

答案第13頁，共16頁

=2（a2+b2）-4ab

=2（a。+b2-2ab）

=2(a-b)2>0,

方程有兩個實數(shù)根，

當(dāng)。=0時，

方程\flcx+6=0，cw0,

該方程有實數(shù)根；

綜上所述，“勾股方程”必有實數(shù)根；

(3)解：ABAC=45°,理由如下：

作于E,延長交C￡)于R連接02,OC,

■■■DC//AB,.-.EF1CD,

；.AE=BE=LAB=JCF=DF=LCD=),