2025年高考數(shù)學總復習：函數(shù)性質(zhì)的綜合應用

第2課時函數(shù)性質(zhì)的綜合應用

核心考點提升“四能”

考點一單調(diào)性與奇偶性結(jié)合

【例1】(1)若定義在R上的奇函數(shù)/⑴在(一8,0)上單調(diào)遞減，且"2)=0,則滿足獷(x—

1)\0的x的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,1]

C.[-1,0]U[l,+°o)D.[-1,0]U[l,3]

D解析：由題意知/(x)在(一8,0),(0,+8)上單調(diào)遞減，且/(-2)=-/(2)=0,/(0)

=0.當x>0時，令/(無一1)。0,得OWx—1W2,所以1WXW3;當尤<0時，令/(無一1)WO,

得—2Wx—1W0,所以一iWxWl,又無<0,所以一lWx<0;當x=0時，顯然符合題意.綜

上，滿足4(尤—1)20的龍的取值范圍是[—1，O]U[1,3].故選D.

(2)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(2x+l)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，/(3)=2,則

-2的解集為()

A.{x|x<—2}B.[x\x<—3]

C.{x|x<—1}D.[x\x<0]

D解析：因為/(2x+l)是奇函數(shù)，所以/(—2x+l)=—/(2x+l).令尤=1,則/(—1)=—/(3).

又/(3)=2,所以/(—1)=—2.由/(2x—1)<—2,可得/(2x—1)勺'(—1).令f=2x+l,則函

數(shù),=2x+l是R上的增函數(shù)，所以由復合函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)/⑺是R上的增函數(shù)，

即函數(shù)/(無)是R上的增函數(shù)，所以2x—1<—1,解得尤<0,所以/(2x—1)<—2的解集為

{A|X<0}.故選D.

[變式]若本例⑴條件中“奇函數(shù)”變?yōu)椤芭己瘮?shù)”，則不等式對?(龍一1)20的解集為

[-1,0]U[3,+°°)解析：由題意知了(—2)=/(2)=0.當尤>0時，由好■(龍一1)\0,得f(x

—1)可(2).又偶函數(shù)/'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以|x—1|22,解得x》3或xW—1,所

以x23.當x<0時，由好'(x—1)20,得/(x—l)W/(—2),所以尤一12一2,解得無N—1,所

以一lWx<0.當x=0時顯然成立.綜上，滿足對'(x—1)20的x的取值范圍是[―1,0]U[3,

+8).

A反思感悟

1.比較大小問題

一般解法是利用函數(shù)的奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為

在同一單調(diào)區(qū)間上的有關(guān)自變量的函數(shù)值，然后利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

2.解抽象不等式

(1)將所給的不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值的大小關(guān)系；

⑵利用函數(shù)的單調(diào)性脫去符號“/"，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題.

多維訓練_

1.(2024.濰坊模擬)已知函數(shù)/a)=(9'—33則/(勸()

A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

C解析：因為函數(shù)/(x)的定義域為R,/(—x)=3*—Q)=~f(x),所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù).因

為函數(shù)y=(J,y=-3*在R上都是減函數(shù)，所以函數(shù)/(x)=(；)—3"在R上是減函數(shù).故

選C.

2.已知定義在R上的偶函數(shù)/(尤)在［0,+8)上單調(diào)遞增.若/(Inx)勺'(2),則x的取值范圍

是()

A.(0,e2)B.(e?,+°o)

C.(e2,+8)D.(eVe2)

D解析：根據(jù)題意知，/(x)為偶函數(shù)且在［0,+8)上單調(diào)遞增，由/'(Inx)勺1(2),得|lnx|<2,

即一2<lnx<2,解得占2<%<?2,即尤的取值范圍是(e7,e2).

考點二奇偶性與周期性結(jié)合

【例2】(2024?荷澤模擬)已知函數(shù)〃尤)是R上的偶函數(shù)，且“X)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，

當尤可0,1］時，/(x)=2—2工，則/(0)+/(1)+/⑵+…+/(2024)的值為()

A.12B.—1

C.0D.1

D解析：因為函數(shù)/(元)是R上的偶函數(shù)，所以/(—無)=/(尤).因為/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)

對稱，所以/(一尤)+/(2+x)=0,即/(x)+/(2+x)=0,所以/(2+x)=—/(尤)，所以/(4+x)

=-/(2+x)=/(x),所以函數(shù)/(x)的周期為4.當xG［0,1］時，/(無)=2—2工，所以/(0)=1,7

(1)=0.又/(2)=-/(0)=-1,/(3)=一7(1)=0,所以/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=0,所以/(0)

+/(1)+/(2)+-4-/(2024)=/(2024)=/(0)=1.故選D.

A反思感悟

已知函數(shù)的周期性、奇偶性求函數(shù)值，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所有函數(shù)值的自

變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間內(nèi)，把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求

解.

多維訓練

????

1.設/(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，己知當xG［2,3］時，/(x)=尤，則當xG［—2,

0]時，/(無)=()

A.x+4B.2—x

C.3-|x+l|D.2一|X+1|

C解析：因為/(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當xG[2,3]時,/(為)=無，所以當xG[—

2,—1]時，2+xd[0,1],4+xG[2,3],此時/(x)=/(4+x)=4+x;當xd[—1,0]時，一

%e[0,1],2—xd[2,3],此時/(x)=/(—x)=/(2—x)=2—x.綜上可得，當無e[—2,0]時，

/(x)=3一|尤+1|.

2.設函數(shù)/(尤)的定義域為R,且/(尤+2)是奇函數(shù)，/(2x+l)是偶函數(shù)，則一定有()

A./(4)=0B./(-1)=0

C./(3)=0D./(5)=0

A解析：因為函數(shù)/(2尤+1)為偶函數(shù)，所以/(1-2尤)=/(l+2x).令f=2尤，則/(1一。=/(1

+力，即/(I—x)=/(l+x),則/(x)=/(2—尤).因為函數(shù)f(x+2)為奇函數(shù)，所以/(2—x)=一

/(x+2),所以函數(shù)/(尤)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，也關(guān)于點(2,0)對稱，則"2)=—/(2),

可得/(2)=0,所以/(x)=—/(x+2)=/(x+4),故函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，且周期為4.對于A

選項，/(4)=/(0)=〃2)=0,A正確；對于B,C,D選項，/(—1)=/(3)=-/(1),/(5)=/(1),

但/(I)的值無法確定.故選A.

考點三奇偶性、周期性與對稱性的結(jié)合

【例3】已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/(無一4)=—/(尤)，且在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，

則()

A./(-15)</(21)</(90)B./(90)</(21)<f(-15)

C./(-15)<f(90)<f(21)D./(21)</-(-15)</(90)

D解析：因為/(x-4)=-/1(尤)=/(x+4—4)=一/(了+4)可(乃=一丁(尤+4)=/(尤+4)=—/。:

+8),所以/(x)=/(x+8),因此函數(shù)/(x)的周期是8,/(-15)=/(-15+16)=/(1),/(21)

=/(24-3)=/(-3)=-/(I),/(90)=/(88+2)=/'(2).因為函數(shù)/(尤)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以y(o)=o.又因為了(尤)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，所以y(2)y(i)牙'(0)=0,所以y(2i)=一

/(1)<0,所以7(21)勺■(—15)勺'(90).故選D.

??反思感悟

對于函數(shù)性質(zhì)結(jié)合的題目，函數(shù)的周期性有時需要通過函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體

現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律.因此在

解題時，往往需要借助某個區(qū)間上函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實

現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.

多維訓練.

1.(多選題X2024?廣東一模)已知偶函數(shù)/(尤)的定義域為R,/Qx+1)為奇函數(shù)，且丁。)在[0,

1]上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論正確的是(BD)

A./(—9<。B./g)>0

C./(3)<0D.f(空)>0

2.定義在R上的奇函數(shù)/⑴滿足/(x+2)=/(—x),且當xG[0,1]時，/(x)=2"—cosx,則

下列結(jié)論正確的是()

A.f(空討(等)寸(2022)B./(2022)式(亨)寸(等)

C./(2022)寸管)勺(掌)D.f(等)4管)<f(2022)

A解析：因為/(%)是奇函數(shù)，所以/a+2)=/(—%)=—/(x),所以/a+4)=—/a+2)=/(x),

所以/(X)的周期為4,所以/(2022)=/(2+4X505)=/(2)=/(0),

/(等)="Y+4X253)可(-；)=，(；)=/(等)

=f(4xl68+2+g)=/(2+；)=—/Q.

因為當xe[0,1]時，/。)=2」cosx單調(diào)遞增，所以/(0)</0),

所以/@<—f?V~/(0)=/(0)，所以/(一)(等)</(2022).故選A.

課時質(zhì)量評價(八)

。考點鞏固

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0

1.(2024?廣東模擬)已知函數(shù)/(x+1)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()

A.y=/(x)+lB.y=f(x+2)+\

C.J=/(x)-lD.y=/(x+2)-l

D解析：由題意知，將函數(shù)/(x+1)的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位

長度，所得函數(shù)關(guān)于點(0,0)對稱，則所得函數(shù)為奇函數(shù)，所以y=/(x+2)—1為奇函數(shù).故

選D.

2.已知偶函數(shù)/(x)的定義域為R,當xd[0,+8)時,/(x)=*,則/(x—1)〈的解集為(C)

A.(。，2)B.aJ

C.(—8,0)U(2,+8)D.(-00,1)u,+8)

3.(2024?南通模擬)雙曲函數(shù)起初用來描述一些物理運動過程，后來又大量應用于計算機科

學、經(jīng)濟和金融領(lǐng)域.若雙曲正切函數(shù)為tanl^=±J,則tan〃M)

e'+ex

A.是偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減

B.是偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增

C.是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減

D.是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增

D解析：令/(無)=七二，定義域為R,因為/(—x)==^=—/(x),所以/(x)為奇函數(shù).又

e^+e*e*+e*

簡+e-x)—|—evI

因為了'(%)=-----——TV——~=7―所以/(X)在R上單調(diào)遞增.故選D.

(er+e-(g+e-*)

4.若/(x)=er—訛，為奇函數(shù)，則—e的解集為()

A.(一8,2]B.(一8,1]

C.[2,+8)D.[1,+°0)

D解析：由/(x)=er—ae，為奇函數(shù)，得了(一X)+/(%)=(3+^^一.(/*+3)=0,解得a

=1,所以/(x)=er—e*,易知函數(shù)/(x)是R上的減函數(shù).不等式e等價于/(x)W/

(1),因此x'l,所以不等式/(x)W：—e的解集為[1,+8).故選D.

5.(2024?濰坊模擬)已知函數(shù)/(x)的定義域為R"(x+1)為偶函數(shù),7(x+4)=/(—x),則()

A.函數(shù)/(x)為偶函數(shù)

B."3)=0

D./(2023)=0

A解析：因為/a+i)為偶函數(shù)，所以/a+i)=/(—x+i),所以/(%)的圖象關(guān)于直線％=

1對稱，所以/(x+2)=f(—%),又因為/。+4)=/(—1),所以/(%)的圖象關(guān)于x=2對稱，

所以由'(”+4)—?，得/(%+4)=/。+2),即，a+2)=/a),所以/&)是周期為2的函

/(x+2)=/(-%),

數(shù).由^f(-x)=f(x),所以/⑴為偶函數(shù)，故選A.

6.(多選題)已知函數(shù)/。)=2而。下列結(jié)論正確的有()

A.”元)是周期函數(shù)

B.7(x)的圖象關(guān)于原點對稱

C./⑴的值域為[一三

D.7④在區(qū)間卜(月上單調(diào)遞增

AD解析：對于A,因為1x+2E)=2sina+2硝=2sim=y(x)(kez),所以/(X)是周期函數(shù)，所以

A正確；

對于B,因為人一苫)=2.(-幻=2-血=/W-/(x),所以八無)不是奇函數(shù)，所以/(X)的圖象不關(guān)

于原點對稱，所以B錯誤；

對于C,因為一IWsinxWl,所以2-W2siy2i,即;W?x)W2,所以函數(shù)小)的值域為[；,2]，

所以C錯誤;

對于D,令r=sinx,則y=21因為r=sinx在［一］，目上單調(diào)遞增，＞=2,在R上單調(diào)遞增，

所以y(x)在區(qū)間［―，上單調(diào)遞增，所以D正確.

7.(多選題)已知函數(shù)/(尤)為R上的奇函數(shù)，/(1+尤)為偶函數(shù)，貝！1()

A./(-2-.r)+/(x)=0

B./(l-x)=/(l+x)

C./(x+2)=/(x-2)

D./(2023)=0

BC解析：因為/(無)為R上的奇函數(shù)，所以〃—x)=一/(x).因為/(1+x)為偶函數(shù)，所以

/(-x+i)=/(x+i),故B正確.由丁(一犬+1)=/1(無+1),可得/(一勸=/1(尤+2),所以y(x+

2)=—/(無).因為/(—2—x)+/(x)=/(x)—/(x+2),其結(jié)果不一定為零，故A不正確.由/(X

+2)=-/(%),得/任)=一/。-2),所以/。+2)=/(尤一2),故C正確.由/(x+2)=-f(x),

得了(x+4)=/(x),所以/⑴的周期為4,所以/(2023)=/(3)=/(—1)=一/(1),因為/(I)從

題意無法得出，故。不正確.故選BC.

8.偶函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱，若/(4)=2,則/(—2)=.

2解析：(方法一)由函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，得了(—2)=/(2).由函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=3

對稱,得f⑵=f(4)=2,所以/(—2)=2.

(方法二)由函數(shù)/(x)為偶函數(shù)及函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱，得/(x)的周期T=2X|3

-0|=6,則由周期性，得了(-2)=/(4)=2.

9.若了⑴是R上的偶函數(shù)，且在(0,上單調(diào)遞減，則函數(shù)/(x)的解析式可以為/(x)=

.(寫出符合條件的一個即可)

一/(答案不唯一)解析：若/(%)=一/，則/(-%)=-(-X)2=-X2=/(%),故/(X)為偶函數(shù)，

且易知/(無)在(0,+8)上單調(diào)遞減，故/(無)在(0,上單調(diào)遞減，符合條件.

10.周期為4的函數(shù)/(尤)滿足/(尤)=/(4一x),且當尤6［0,2］時/(x)=/—1,則不等式/(x)W0

在［-2,2］上的解集為.

1-1,1J解析：因為/(x)的周期是4,則/(x)=/(4—尤)=/(一尤)，所以/(尤)是偶函數(shù).當xd［0,

2］時J(x)=x3—1是增函數(shù)，且7(1)=0,所以不等式/(無)W0可化為/(⑼可⑴，所以|x|Wl,

即一IWxWL

。高考培優(yōu)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

11.定義在R上的偶函數(shù)“X)在(一8,0］上單調(diào)遞增，且/(logz^nO,則滿足對?(%—4)20

的工的取值范圍是()

A.(—8,0)U［2,6］

B.(—8,0］U［2,6］

C.(—8,0)U[4,6]

D.(—8,0]U[4,6]

B解析：定義在R上的偶函數(shù)/(x)在(一8,0]上單調(diào)遞增，可得/(x)在[0,+8)上單調(diào)遞

減，又(1理2{)=/(_2)=/(2)=0,

則當一2W%W2時，/(x)20;當xW—2或x22時，/(x)W0.

、…人、*(xWO,

又對?(%—4)20等價為,、或，、

(/(x-4)20(/(x-4)W0,

即產(chǎn)。，或卜wo，

l-2Wx-4W21x-4W—2或x-422,

解得2WxW6或尤W0.故選B.

12.(多選題)函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(尤一1)與/(尤+1)都為奇函數(shù)，則下列說法正確的

是()

A./(x)是周期為2的周期函數(shù)

B.7(x)是周期為4的周期函數(shù)

C./(尤+2)為奇函數(shù)

D./(x+3)為奇函數(shù)

BD解析：因為函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x—1)與/(x+1)都為奇函數(shù)，所以/(一無一1)

=-/U-1),/(-x+l)=-/(x+l),所以y(x)=—/(一尤一2),/(尤)=—/(一尤+2),所以/(一

x—2)=/(一尤+2),即/(x+4)=/a),故B正確，A錯誤；因為/(x+3)=/'(x+3-4)=/a

-1),且/(x—1)為奇函數(shù)，所以/(尤+3)為奇函數(shù)，故D正確；因為/(x+1)為奇