東北三省2025屆高三年級上冊9月聯(lián)考數(shù)學試卷（含答案）

東北三省精準教學2025屆高三上學期9月聯(lián)考數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={%|2X<4},B=卜>—lj,則4ClB=()

A.(0,2)B.(-oo,2)C.(-oo,3)D.0

525

2.已知(2%+l)=a0+a1x+a2x+…+a5x,則a2=()

A.10B.20C.40D.80

n

3.已知{aj是無窮數(shù)列,ax=3,則''對任意的m,ne3*,都有=am+an是“{%J是等差數(shù)列”

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.攢尖式屋頂是中國古代傳統(tǒng)建筑的一種屋頂樣式，如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓

錐，己知該圓錐的底面直徑為8爪，高為36，則該屋頂?shù)拿娣e約為()

A.ISnm2B.207nri?C.24;rm2D.30irm2

5.已知拋物線C:y2=2p%(p>0)的焦點為F,若拋物線上一點M滿足|MF|=2,^OFM=60°,貝！Jp=()

A.3B.4C.6D.8

6.如圖，Z(%|)是函數(shù)y=sin(%Y)圖象上的一點，則tan(2a+1)=()

24

AB與

A?一萬c「A□A

7.已知函數(shù)/(%),對任意的%,yeR都有/(%+y)=2x/(y)+2y/(%),且/⑴=2,則下列說法不亞礁I的

是()

A./(O)=0B.等是奇函數(shù)

C.y=/(x)是R上的增函數(shù)D./(n)=n-2n(n6N*)

8.已知直線ax-y+5=0與直線G：久+ay—a+4=0(aeR)的交點為P,貝！1點P到直線2:y=x-3距

離的取值范圍是()

A.[372,7/2]B.(3/2,7/2]C.[2/2,672]D.(272,6/2]

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知向量為=(1,2),b=(2,-1),則下列判斷正確的是()

A..a+b=(3,1)B.a-/?=(2,—2)C.albD.|a|=||

io.現(xiàn)統(tǒng)計具有線性相關關系的變量x,y,z的幾組數(shù)據(jù)，如下表所示：

變量123n平均數(shù)方差

X%2%3%九X而

Y10x10x域

110%210久3ny

Zz湍

Z1Z2Z3Zn

并對它們進行相關性分析，得到Z=61X+ai，Z與X的相關系數(shù)是q,Z=b2Y+a2,Z與丫的相關系數(shù)是

上，則下列判斷正確的是()

附：經(jīng)驗回歸方程產(chǎn)=bx+Q中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為6=嗎產(chǎn):嗎嚴,n=y-bx,

相關系數(shù)r=

[￡之的-鑄心陶(兀-刃2

A.y=10%B.贊=10o/C.瓦=10b2D.r2=q

IL如圖，直四棱柱ZBC?！?，底面ZBCO是菱形，其所在平面為a,且4員4。=60。，AB=

2441=2.。是4C,8。的交點，P是平面a內(nèi)的動點(圖中未畫出).則下列說法正確的是()

C

a

A.若C/=2,則動點P的軌跡長度為27r

B.若NOC1P=90。，則動點P的軌跡是一條直線

c.若OP=GP,則動點P的軌跡是一條直線

D.若動點P到直線。的的距離為1,貝UP4+PC為定值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復數(shù)z的實部為2,且義為純虛數(shù)，則復數(shù)z=

13.已知雙曲線C:/一丫2=9,點N的坐標為0,71),其中€{1,2,3},存在過點N的直線與雙曲線C相交

于4,B兩點，且點N為弦AB的中點，則點N的坐標是.(寫出一個符合條件的答案即可)

14.已知a>0且x>0時，不等式ae2x-ln(x+m)++>0恒成立，則正數(shù)6的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(x)=2%3—3ax2+1.

(1)當a=l時，求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若久=0是函數(shù)/(久)的極小值點，求實數(shù)a的取值范圍.

16.(本小題12分)

某市為了解車主用車的能源類型與對該市交通擁堵感受的關系，共調(diào)查了100名車主，并得到如下的2x2

列聯(lián)表：

覺得交通擁堵覺得交通不擁堵合計

燃油車車主302050

新能源車車主252550

合計5545100

(1)將頻率估計為概率，從該市燃油車和新能源車車主中隨機抽取1名，記“抽取到燃油車車主”為事件

“抽取到新能源車車主”為事件4，“抽取到的車主覺得交通擁堵”為事件當，“抽取到的車主覺得

交通不擁堵”為事件殳，計算P(Bi&)，比較它們的大小，并說明其意義；

(2)是否有90%的把握認為該市車主用車的能源類型與對該市交通擁堵的感受有關？將分析結(jié)果與(1)中結(jié)

論進行比較，并作出解釋.

附表及公式：

a0.1000.0100.001

xa2.7066.63510.828

2n(czd-bc)2...,

X=(???」、,n=a+b7+c+d,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

17.(本小題12分)

如圖，已知斜三棱柱力BC-&B1Q中，側(cè)面BBiGC1側(cè)面?zhèn)让鍮BiQC是矩形，側(cè)面44//是

菱形，ABAA1=60°,AB=2BC=2,點E是棱的中點.

(1)證明：BE1平面BBiGC；

(2)求二面角4-B]C-E的余弦值.

18.(本小題12分)

已知直線=2經(jīng)過橢圓C:捻+，=l(a>b>0)的右焦點F且被橢圓C截得的弦長為2瓶.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過點P(4,0)的動直線m與橢圓C相交于4,B兩點，且直線2上的點M滿足前〃就，求證：直線MB過

定點，并求該定點的坐標.

19.(本小題12分)

二進制是在數(shù)學和數(shù)字電路中以2為基數(shù)的記數(shù)系統(tǒng)，在這一系統(tǒng)中，通常用兩個不同的符號0,1來表示

kfc-1

數(shù).如果十進制中的整數(shù)n=ak-2+afe_1-2+???+^-2+a0(a；G{0,1},i=0,1,…,k),則這個數(shù)在二

進制下記為耿耿_1…的劭，即0)1()=(耿耿_1…的劭}.記十進制下的整數(shù)n在二進制表示下的各位數(shù)字之

和為R(n),即w(n)=劭+的+—I-ak.

(1)計算9(7)；

(2)證明:<p(4n+3)=(p(2n+1)+1；

(3)求數(shù)列2(3?2n-1)}的前n項和Sn.

參考答案

1.71

2.C

3.2

4.B

5.4

6.D

7.C

8.D

9.ACD

10.ACD

U.BCD

12.2-41##-4i+2

13.(1,2)(或(1,3),(2,3))

14.(0,e]

15.【小問1詳解】

(1)當a=1時,/(x)=2K3—3久2+1,

f'(x)=6x2—6x—6x(x—1),

由f'(%)<。解得0<久<1,

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

【小問2詳解】

fr(x)=6x(x—a),/'(x)—0時，x=0或x=a.

①若a<0,

當久<a或x>0時，f'(x)>0,

當a<x<0時,f'(x)<0,

因此x=0時，函數(shù)/(x)取極小值；

②若a=0,

當x<0或x>0時，f'(x)>0,

因此x=。不是函數(shù)/(久)的極值點；

③若a>0,

當％<0或%>a時，/'(%)>0,

當0<%<a時，/'(%)<0,

因此％=。時，函數(shù)/(%)取極大值.

綜上，a的取值范圍是(一8,0).

16.【小問1詳解】

由題意得

P(B1M2)=1,

P(B1\A1)>P(B1\A2),

說明從抽樣情況來看，燃油車車主覺得交通擁堵的比例比新能源車車主覺得交通擁堵的比例更高

【小問2詳解】

2_100x(30x25-20x25)2_100_100

/—55x45x50x50-11x9一朝<，，

因此沒有90%的把握認為該市車主用車的能源類型與是否覺得該市交通擁堵有關，

說明調(diào)查人數(shù)太少，(1)中的結(jié)論不具有說服力，需要調(diào)查更多車主.

17.【小問1詳解】

證明：因為側(cè)面BB1QC是矩形，所以

又因為側(cè)面881cle1側(cè)面A4181B,平面BBiG。=BB「

所以BCJ_平面AA/iB,

因為BEu平面所以BC1BE.

菱形44/iB中，NB44i=60。，所以團44/是等邊三角形，

又E是的中點，所以8E1A4],得

又BB]CBC=B,BB「BCu平面幽的。，

所以BE1平面BBiGC.

【小問2詳解】

解：由(1),如圖，以B為坐標原點，BE,BBrBC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.

因為ZB=2BC=2,所以BE=ZBsin60。=<3,

因此81(0,2,0),&(V3,i,o),E(V3,O,O),C(OA1)，

所以布=(0,—2,1),庠=(0,-2,0),^7=(0,—1,0),

設平面E/C的法向量為沆=

由記1BrC,得—2yi+Zi=0,

由沆1BrE,得-2yl=0,令yi=1,得沆=(得三1,2)

設平面AB1c的法向量為元=(%2，y2，Z2)，

由元1B1d,得一2y2+z2=0,

由元1瓦W，得，^%2—丫2=。，令，2=1，得道=(?,1,2),

9

一一m-n_w+1+4_17B

cos（m,汨=|沆卜同=一國屋一76

q3q3

所以二面角4-B]C-E的余弦值為"泮.

18.【小問1詳解】

由題意得c=2,

將x=c代入橢圓方程，可以求到兩交點坐標為（2,±1}

,2_

所以一=yj~2,因此M—V-2a—4=0,

a

解得Q=2V~^或a=-V~2（舍去），b=2,

即橢圓方程為4+4=1.

o4

【小問2詳解】

當直線6的斜率為0時，直線MB的方程為y=0,此時祠〃麗;

當直線m的斜率不為0時，可設直線m的方程為％=b+4,

代入橢圓方程，得到?2+2)y2+8ty+8=0,

由/>0,得至肛<