東北三省2025屆高三年級(jí)上冊(cè)9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

東北三省精準(zhǔn)教學(xué)2025屆高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4={%|2X<4},B=卜>—lj,則4ClB=()

A.(0,2)B.(-oo,2)C.(-oo,3)D.0

525

2.已知(2%+l)=a0+a1x+a2x+…+a5x,則a2=()

A.10B.20C.40D.80

n

3.已知{aj是無窮數(shù)列,ax=3,則''對(duì)任意的m,ne3*,都有=am+an是“{%J是等差數(shù)列”

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.攢尖式屋頂是中國(guó)古代傳統(tǒng)建筑的一種屋頂樣式，如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個(gè)圓

錐，己知該圓錐的底面直徑為8爪，高為36，則該屋頂?shù)拿娣e約為()

A.ISnm2B.207nri?C.24;rm2D.30irm2

5.已知拋物線C:y2=2p%(p>0)的焦點(diǎn)為F,若拋物線上一點(diǎn)M滿足|MF|=2,^OFM=60°,貝！Jp=()

A.3B.4C.6D.8

6.如圖，Z(%|)是函數(shù)y=sin(%Y)圖象上的一點(diǎn)，則tan(2a+1)=()

24

AB與

A?一萬c「A□A

7.已知函數(shù)/(%),對(duì)任意的%,yeR都有/(%+y)=2x/(y)+2y/(%),且/⑴=2,則下列說法不亞礁I的

是()

A./(O)=0B.等是奇函數(shù)

C.y=/(x)是R上的增函數(shù)D./(n)=n-2n(n6N*)

8.已知直線ax-y+5=0與直線G：久+ay—a+4=0(aeR)的交點(diǎn)為P,貝！1點(diǎn)P到直線2:y=x-3距

離的取值范圍是()

A.[372,7/2]B.(3/2,7/2]C.[2/2,672]D.(272,6/2]

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知向量為=(1,2),b=(2,-1),則下列判斷正確的是()

A..a+b=(3,1)B.a-/?=(2,—2)C.albD.|a|=||

io.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y,z的幾組數(shù)據(jù)，如下表所示：

變量123n平均數(shù)方差

X%2%3%九X而

Y10x10x域

110%210久3ny

Zz湍

Z1Z2Z3Zn

并對(duì)它們進(jìn)行相關(guān)性分析，得到Z=61X+ai，Z與X的相關(guān)系數(shù)是q,Z=b2Y+a2,Z與丫的相關(guān)系數(shù)是

上，則下列判斷正確的是()

附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程產(chǎn)=bx+Q中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為6=嗎產(chǎn):嗎嚴(yán),n=y-bx,

相關(guān)系數(shù)r=

[￡之的-鑄心陶(兀-刃2

A.y=10%B.贊=10o/C.瓦=10b2D.r2=q

IL如圖，直四棱柱ZBC?！校酌鎆BCO是菱形，其所在平面為a,且4員4。=60。，AB=

2441=2.。是4C,8。的交點(diǎn)，P是平面a內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(圖中未畫出).則下列說法正確的是()

C

a

A.若C/=2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為27r

B.若NOC1P=90。，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線

c.若OP=GP,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線

D.若動(dòng)點(diǎn)P到直線。的的距離為1,貝UP4+PC為定值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部為2,且義為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z=

13.已知雙曲線C:/一丫2=9,點(diǎn)N的坐標(biāo)為0,71),其中€{1,2,3},存在過點(diǎn)N的直線與雙曲線C相交

于4,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)N為弦AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)是.(寫出一個(gè)符合條件的答案即可)

14.已知a>0且x>0時(shí)，不等式ae2x-ln(x+m)++>0恒成立，則正數(shù)6的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(x)=2%3—3ax2+1.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若久=0是函數(shù)/(久)的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

16.(本小題12分)

某市為了解車主用車的能源類型與對(duì)該市交通擁堵感受的關(guān)系，共調(diào)查了100名車主，并得到如下的2x2

列聯(lián)表：

覺得交通擁堵覺得交通不擁堵合計(jì)

燃油車車主302050

新能源車車主252550

合計(jì)5545100

(1)將頻率估計(jì)為概率，從該市燃油車和新能源車車主中隨機(jī)抽取1名，記“抽取到燃油車車主”為事件

“抽取到新能源車車主”為事件4，“抽取到的車主覺得交通擁堵”為事件當(dāng)，“抽取到的車主覺得

交通不擁堵”為事件殳，計(jì)算P(Bi&)，比較它們的大小，并說明其意義；

(2)是否有90%的把握認(rèn)為該市車主用車的能源類型與對(duì)該市交通擁堵的感受有關(guān)？將分析結(jié)果與(1)中結(jié)

論進(jìn)行比較，并作出解釋.

附表及公式：

a0.1000.0100.001

xa2.7066.63510.828

2n(czd-bc)2...,

X=(???」、,n=a+b7+c+d,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

17.(本小題12分)

如圖，已知斜三棱柱力BC-&B1Q中，側(cè)面BBiGC1側(cè)面?zhèn)让鍮BiQC是矩形，側(cè)面44//是

菱形，ABAA1=60°,AB=2BC=2,點(diǎn)E是棱的中點(diǎn).

(1)證明：BE1平面BBiGC；

(2)求二面角4-B]C-E的余弦值.

18.(本小題12分)

已知直線=2經(jīng)過橢圓C:捻+，=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)F且被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為2瓶.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過點(diǎn)P(4,0)的動(dòng)直線m與橢圓C相交于4,B兩點(diǎn)，且直線2上的點(diǎn)M滿足前〃就，求證：直線MB過

定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

19.(本小題12分)

二進(jìn)制是在數(shù)學(xué)和數(shù)字電路中以2為基數(shù)的記數(shù)系統(tǒng)，在這一系統(tǒng)中，通常用兩個(gè)不同的符號(hào)0,1來表示

kfc-1

數(shù).如果十進(jìn)制中的整數(shù)n=ak-2+afe_1-2+???+^-2+a0(a；G{0,1},i=0,1,…,k),則這個(gè)數(shù)在二

進(jìn)制下記為耿耿_1…的劭，即0)1()=(耿耿_1…的劭}.記十進(jìn)制下的整數(shù)n在二進(jìn)制表示下的各位數(shù)字之

和為R(n),即w(n)=劭+的+—I-ak.

(1)計(jì)算9(7)；

(2)證明:<p(4n+3)=(p(2n+1)+1；

(3)求數(shù)列2(3?2n-1)}的前n項(xiàng)和Sn.

參考答案

1.71

2.C

3.2

4.B

5.4

6.D

7.C

8.D

9.ACD

10.ACD

U.BCD

12.2-41##-4i+2

13.(1,2)(或(1,3),(2,3))

14.(0,e]

15.【小問1詳解】

(1)當(dāng)a=1時(shí),/(x)=2K3—3久2+1,

f'(x)=6x2—6x—6x(x—1),

由f'(%)<。解得0<久<1,

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

【小問2詳解】

fr(x)=6x(x—a),/'(x)—0時(shí)，x=0或x=a.

①若a<0,

當(dāng)久<a或x>0時(shí)，f'(x)>0,

當(dāng)a<x<0時(shí),f'(x)<0,

因此x=0時(shí)，函數(shù)/(x)取極小值；

②若a=0,

當(dāng)x<0或x>0時(shí)，f'(x)>0,

因此x=。不是函數(shù)/(久)的極值點(diǎn)；

③若a>0,

當(dāng)％<0或%>a時(shí)，/'(%)>0,

當(dāng)0<%<a時(shí)，/'(%)<0,

因此％=。時(shí)，函數(shù)/(%)取極大值.

綜上，a的取值范圍是(一8,0).

16.【小問1詳解】

由題意得

P(B1M2)=1,

P(B1\A1)>P(B1\A2),

說明從抽樣情況來看，燃油車車主覺得交通擁堵的比例比新能源車車主覺得交通擁堵的比例更高

【小問2詳解】

2_100x(30x25-20x25)2_100_100

/—55x45x50x50-11x9一朝<，，

因此沒有90%的把握認(rèn)為該市車主用車的能源類型與是否覺得該市交通擁堵有關(guān)，

說明調(diào)查人數(shù)太少，(1)中的結(jié)論不具有說服力，需要調(diào)查更多車主.

17.【小問1詳解】

證明：因?yàn)閭?cè)面BB1QC是矩形，所以

又因?yàn)閭?cè)面881cle1側(cè)面A4181B,平面BBiG。=BB「

所以BCJ_平面AA/iB,

因?yàn)锽Eu平面所以BC1BE.

菱形44/iB中，NB44i=60。，所以團(tuán)44/是等邊三角形，

又E是的中點(diǎn)，所以8E1A4],得

又BB]CBC=B,BB「BCu平面幽的。，

所以BE1平面BBiGC.

【小問2詳解】

解：由(1),如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BE,BBrBC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)閆B=2BC=2,所以BE=ZBsin60。=<3,

因此81(0,2,0),&(V3,i,o),E(V3,O,O),C(OA1)，

所以布=(0,—2,1),庠=(0,-2,0),^7=(0,—1,0),

設(shè)平面E/C的法向量為沆=

由記1BrC,得—2yi+Zi=0,

由沆1BrE,得-2yl=0,令yi=1,得沆=(得三1,2)

設(shè)平面AB1c的法向量為元=(%2，y2，Z2)，

由元1B1d,得一2y2+z2=0,

由元1瓦W，得，^%2—丫2=。，令，2=1，得道=(?,1,2),

9

一一m-n_w+1+4_17B

cos（m,汨=|沆卜同=一國(guó)屋一76

q3q3

所以二面角4-B]C-E的余弦值為"泮.

18.【小問1詳解】

由題意得c=2,

將x=c代入橢圓方程，可以求到兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,±1}

,2_

所以一=yj~2,因此M—V-2a—4=0,

a

解得Q=2V~^或a=-V~2（舍去），b=2,

即橢圓方程為4+4=1.

o4

【小問2詳解】

當(dāng)直線6的斜率為0時(shí)，直線MB的方程為y=0,此時(shí)祠〃麗;

當(dāng)直線m的斜率不為0時(shí)，可設(shè)直線m的方程為％=b+4,

代入橢圓方程，得到?2+2)y2+8ty+8=0,

由/>0,得至肛<