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文檔簡介

常系數(shù)線性方程組一階常系數(shù)線性微分方程組:本節(jié)主要討論(5.33)的基解矩陣的求法.一、矩陣指數(shù)expA的定義和求法1expA的定義定義注1:矩陣級數(shù)(5.34)是收斂的.由于而數(shù)項級數(shù)收斂.注2:級數(shù)在t的任何有限區(qū)間上是一致收斂的.由于而數(shù)項級數(shù)收斂.2矩陣指數(shù)的性質由于:絕對收斂級數(shù)的乘法定理由于:3常系數(shù)齊線性微分方程組的基解矩陣(1)定理9矩陣是(5.33)的基解矩陣,且例1如果A是一個對角矩陣例2(2)基解矩陣的一種求法則其中注1:二基解矩陣的計算公式類似第四章4.2.2,尋求形如將(5.43)代入(5.33)得1基解矩陣與其特征值和特征向量的關系方程(5.44)有非零解的充要條件是:結論即例3解的根,解得解得例4解特征方程為為求其對應的特征向量考慮方程組解得2基解矩陣的計算方法---常系數(shù)線性微分方程組的解法(1)矩陣A具有n個線性無關的特征向量時定理10是常系數(shù)線性微分方程組的一個基解矩陣.例5解由例3知由定理10,矩陣就是一個基解矩陣.注:但由于有從而例6

試求例5的實基解矩陣.解由于基解矩陣為故實基解矩陣為例7

求方程組的通解.解因此特征根為它們相的特征向量為故基解矩陣為故通解為(2)矩陣A的特征根有重根時分量是無窮級數(shù)分量表為t的指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)乘積有限項組合的解產(chǎn)生的,由于由(5.49)有由(5.51)有注1:故注2:其中例8

試解初值問題解從例4知,例9

如果解直接計算可得因此由公式(5.53)可得例10

求方程組滿足初始條件解這里系數(shù)矩陣特征根為由(5.48)我們需要考慮下面方程和首先討論這個方程組的解為其次這個方程組的解為解之得

代入上式得到三個線性無關的解,利用這三個解為列,即得(3)非齊線性方程的解下面研究非齊線性微分方程組由于(5.60)對應齊次方程組的基解矩陣為故由常數(shù)

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