函數(shù)值域的求法（7大壓軸考法）解析版-2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)壓軸題攻略

專題n函數(shù)值域的求法

目錄

解題知識必備......................................

壓軸題型講練........................................................3

題型一、直接法................................................................3

題型二、配方法................................................................4

題型三、換元法................................................................5

題型四、分離常數(shù)法............................................................6

題型五、基本不等式法.........................................................8

題型六、單調(diào)性法.............................................................11

題型七、判別式法.............................................................13

壓軸能力測評(6題)...............................................16

??解題知識必備”

一、定義域優(yōu)先

函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采用什么方法求函數(shù)的值域，都要考慮定義域，函數(shù)的問題必

須遵循“定義域優(yōu)先”的原則。

二、常見函數(shù)的值域

(1)一次函數(shù)丁=日+5(左的值域為R.

4ac—1)2)

(2)二次函數(shù)y=依?+bx+c(a。0),當(dāng)Q>0時的值域為----,+°°，當(dāng)。<。時的值域為

_4〃7

’4ac-b2

一0°，―；------?，

(4(2

(3)反比例函數(shù)y=—(kw0)的值域為{yGR\yw0}.

(4)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>。且a豐1)的值域為卜2>o}.

(5)對數(shù)函數(shù)y=log。x(a>。且aw1)的值域為R.

(6)正，余弦函數(shù)的值域為[-1,1],正切函數(shù)的值域為R.

(7)對勾函數(shù)：對勾函數(shù)：y=ax+—(^a>0,b>0^值域：卜應(yīng)―2j茄]12，石,+oo

三、求函數(shù)值域的常見方法

1、直接法：對于簡單函數(shù)的值域問題，可通過基本初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)直接求解；

2、配方法：配方法是二次型函數(shù)值域的基本方法，即形如"y=ax*+/?x+c(a/0)”或

“y=4/(x)]2+W)+c(aw0)”的函數(shù)均可用配方法求值域；

3、換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為易求值域的函數(shù)，常用的換元有

(1)y=真”-或y=立"+”的結(jié)構(gòu),可用“Jcx+d=/”換元;

y/cx+dax+b

(2)y=ax+b±y/ex+d(a,Z?,c,d均為常數(shù)，QW0,CW0),可用“Jex+d=%”換元;

(3)y=bx±yja2-x2型的函數(shù)，可用“x=acos0(0G[0,?])”或"％=asin8(8￡換元；

4、分離常數(shù)法：形如y=竺史(acH0)的函數(shù)，應(yīng)用分離常數(shù)法求值域，即y=竺吆=3+2叱,

cx+dc%+dc。2(1+4)

c

然后求值域；

b

5、基本不等式法：形如y=a%+—(ab>0)的函數(shù)，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函數(shù)

x

的值域時，要注意條件“一正、二定、三相等"，即利用a+入22J法求函數(shù)的值域(或最值)時，應(yīng)滿足

三個條件：①。>08>0；②a+b(或ah)為定值；③取等號的條件為a=〃，三個條件缺一不可；

6、函數(shù)單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)值域(或最值)

(1)形如y=ax+b-\Jcx+d(ac<0)的函數(shù)可用函數(shù)單調(diào)性求值域；

b

(2)形如y=a%+—的函數(shù)，當(dāng)時，若利用基本不等式等號不能成立時，可考慮利用對勾函數(shù)求解；

x

b

當(dāng)次7V0時，y=Q%+—在(-8,0)和(0,+8)上為單調(diào)函數(shù)，可直接利用單調(diào)性求解。

X

7、判別式法：形如y+&x+C2@a,。0)或y=Ax+By/ax~+bx+c(ABa豐0)的函數(shù)求值域，可

一

將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于龍的方程尸(％y)=0,利用二次項系數(shù)不為0,判別式A20或二次項系數(shù)為0,一次方

程有解得出函數(shù)的值域。

X壓軸題型講練2

【題型一直接法】

一、單選題

1.（23-24高一上?廣東廣州?期中）下列函數(shù)定義域和值域不同的是（）

A.〃x）=5x+lB./（x）=x2+1C./（x）=—D./（元）=?

【答案】B

【分析】求解各函數(shù)的定義域和值域，即可判斷各選項.

【詳解】對于A,〃x）=5x+l的定義域和值域都是R,A錯；

對于B,〃力=f+1的定義域為口，值域為[1,+8）,B對；

對于C,/（尤）=-的定義域和值域都是（口,。）（。，"），C錯；

對于D,f（x）=?的定義域和值域都是[0,E）,D錯.

故選：B.

二、填空題

2.（23-24高一?江蘇?假期作業(yè)）函數(shù)/（尤）=尤+1,xe{-1,0,1}的值域為,函數(shù)g（無）=x+l,xe[-l,l]

的值域為.

【答案】{0,1,2）[0,2]

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式及定義域直接求解.

【詳解】???”-1）=0,/（0）=1,/（1）=2,二函數(shù)1勸的值域為{0,1,2}.

???—IWXVI,...OWx+lWZ,.?.函數(shù)g（x）的值域為[0,2].

故答案為：{。，1，2},[0,2].

2

3.（23-24高一上?云南麗江?階段練習(xí)）函數(shù)〃司='在[1,2）的值域為.

【答案】（1,2]

【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)運算求解即可.

【詳解】因為xe[l,2）,則！,可得

所以“X）=:在[L2）的值域為（1,2].

故答案為：。,2].

【題型二配方法】

一、單選題

1.（22-23高一上?湖北咸寧?自主招生）某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平面為工軸，出水

點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線y=（單位：米）的一部分，則水

C.2米D.1米

【分析】根據(jù)題意，求出y=-f+4x的最大值，即為結(jié)果.

【詳解】y=-x2+4x=-（x-2）2+4<4,故水噴出的最大高度是4米.

故選：A.

二、填空題

2.（23-24高一上?湖南長沙?期中）函數(shù)〃x）=。1二的值域為______.

x-x+2

【答案】

【分析】先求出分母的范圍，然后根據(jù)倒數(shù)關(guān)系即可得=的值域.

x-x+2

【詳解】因為二次函數(shù)y=+2=的值域為

所以/（x）=,1°的定義域是R,值域為（。上.

x-x+217J

故答案為：.

三、解答題

3.(24-25高一上?上海?假期作業(yè))求值域：

(1)y=x2-2x+2,尤cR

(2)y=x2-2x+2,xe[-2,3]

【答案】⑴[1,+8)

⑵u,io]

【分析】(1)通過配方，由二次函數(shù)的值域即可求解；

(2)根據(jù)題意，由二次函數(shù)的性質(zhì)，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)因為y=d-2x+2=(無一1)Z+121,

所以函數(shù)的值域為[L+8).

(2)因為y=/-2x+2,其中對稱軸為》=1,且xe[-2,3],

則x=l時，函數(shù)有最小值為％n=l，

當(dāng)x=-2時，函數(shù)有最大值為八叫=10，

所以函數(shù)值域為[1,10].

【題型三換元法】

一、填空題

1.(23-24高一上?上海?階段練習(xí))函數(shù)>=無+2?的值域為

【答案】[0,+e)

【分析】設(shè)?=/,求出新函數(shù)的定義域即可求出值域.

【詳解】設(shè)6=f,小。+8),所以冊)=產(chǎn)+2/,

由圖象易知值域為。+8).

2.(23-24高一上.四川內(nèi)江?階段練習(xí))函數(shù)y=l+的值域為

【答案】［-^1

【分析】利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】設(shè)=貝!kNO,x=

2

1—戶1q1

所以了=1+匚_.=__1/_/+士=_?+1)2+2,

2222

因為，＞0,y=-萬"+1)2+2在［0,+oo)上單調(diào)遞減，

所以所以函數(shù)y=i+x-Q^的值域為［s］.

故答案為：,雙'!?

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)y=2x-3-^^五的值域為，8彳,則實數(shù)。的值為

【答案】13

【分析】令&-4x=d20),貝Uy=-g-f+_|-3,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意可得。-4x20可得xvf,

4

_____22

令&-4x=(止0),貝！|2X=￥"y=-y-r+-|-3,

.?.當(dāng)1=-1時取得最大值，

但由于/20,故當(dāng)『=0即x時，y=-|-3=|,解得a=13.

故答案為：13.

【題型四分離常數(shù)法】

一、填空題

1.(24-25高一上?全國?單元測試)函數(shù)y==的值域是______

x+1

【答案】(F,"(1,y)

【分析】分離常數(shù)，求得值域.

%+2x+1+1

【詳解】y==1+—

x+1x+1x+1

因為，^0,所以1+：X1,所以值域為(y,1)51,+8).

-XI1I_L

故答案為：(-<%),l)u(l,+(?).

2.（2024高三.全國?專題練習(xí)）函數(shù)了=三3r+12的值域為

X-Y

【答案】（一8,3）"3,+8）

【分析】利用反比例函數(shù)的定義域和值域都是（-8,0）^（0,+8）,來求分式函數(shù)的值域.

【詳解】因為尸主：32：5-3+\又因為所以3+工/3,

x—1x—1x—1x-1x-1

所以函數(shù)y=W的值域為（-8,3）口（3,+8）.

X~1

故答案為：（-8,3）口（3,+8）.

3.（23-24高一下?廣東廣州?階段練習(xí)）函數(shù)/（元）=在[-2,-1]上的值域是_______

2x4-5

【答案】-6,-|

【分析】將函數(shù)變形為/"）=：+二',再由x的取值范圍及不等式的性質(zhì)計算可得.

乙IJ.\J

j_z?sx_13

【詳解】因為二x—4二八—-1T3,

八尸2%+5—2x+5~24X+10

又xe[-所以4x+10e[2,6],所以7

4x+10|_62_

所以孩-173而€「卜1了3「彳13-（

所以〃x）e-6,-1.

故答案為：

二、單選題

4J/、

4.（2024?北京懷柔?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃月=蠟1，則對任意實數(shù)無，函數(shù)的值域是（

A.（0,2）B.（0,2]C.[0,2）D.[0,2]

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)求出函數(shù)值域得解.

【詳解】依題意，〃尤）=2（2-"）2=2_

2x+12x+1

22

顯然2f+i之1,則°＜左丁2,于是。卬左于2,

所以函數(shù)“X）的值域是［0,2）.

故選：C

5.（23-24高一上.四川宜賓?期中）函數(shù)y=lT+,的值域是（）

1+X+X

A.1,3B.1,ljd,3]C.(0,3]D.[fg33,+“)

【答案】A

【分析】對函數(shù)y=>x+x：分離常數(shù),借助基本不等式，分三種情況討論即可.

1+X+X

[詳解]結(jié)合題意：y=1+x：=(l+x+x2)：2x=]_2x

1+x+1+%+x1+x+x"

當(dāng)X=O時，y=l,

12%?2、12I

v=]--------------=l--------------2l---------------=—I

當(dāng)%>0時，l+x+x2-+x+l9/I13,當(dāng)且僅當(dāng)一=X,

LA—'X+1x

XVX

即x=l,原式取得最小值g；

2x2xBP1<y<1；

另一方面，因為x＞0,>。,所以y=i-<1,

1+X+/1+x+x2.

y=l--J=l-l2=i+22

<1+=3

當(dāng)x＜0時,l+x+x-l

+x++(T)T?(-x)-l

X

當(dāng)且僅當(dāng)-工=T,即尸-1,原式取得最大值3;

另一方面因為x＜0,

2x

令〃z=l+x+d,貝!lA=12-4<0,所以*1+…2＞。，所以…＜。,

2x

所以k1一一＞|'即1＜一;

的值域是，

綜上所述：函數(shù)，g3.

故選：A.

【題型五基本不等式法】

一、單選題

(x+2)2

1.（23-24高一上.廣東佛山?期中）函數(shù)/（%）=xwO的值域為（）

x

A.（—co,O]B.[8,+oo）C.（—co,O]o[8,+co）D.[0,8]

【答案】C

【分析】分別在x>0和尤<0的情況下，結(jié)合基本不等式可求得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)x>0時，/（x）=-r+4x+4=x+-+4>2./Z^+4=8（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號）；

XXVX

當(dāng)x<0時，=七?±4=+4w-2卜x）W+4=0（當(dāng)且僅當(dāng)彳=-2時取等號）;

綜上所述：〃尤）的值域為（十四可&y）.

故選：C.

二、填空題

25

2.（23-24高一上,江蘇連云港.期中）若%>0,函數(shù)y=x+—的值域為.

x

【答案】[10,y）

【分析】根據(jù)題意利用基本不等式運算求解.

【詳解】因為x>0,則>=工+至N2][^=10,

xVx

當(dāng)且僅當(dāng)X=225,即x=5時，等號成立，

X

所以函數(shù)〉=工+子的值域為[10收）.

故答案為：[10,"）.

3.（23-24高一上?上海?期中）當(dāng)尤<0時，函數(shù)=的值域為.

【答案】（-%-2]

【分析】根據(jù)題意可得-/（x）=（-x）+-L,結(jié)合基本不等式運算求解.

—X

【詳解】因為x<0,貝！|-x>0,

則一〃尤）=一=（T）+L2J（T），=2，可得〃x）W—2,

x-xV-x

當(dāng)且僅當(dāng)-尤=工，即x=—l時，等號成立，

-X

所以函數(shù)“X）=3式的值域為

故答案為：

4.（22-23高一下?河南洛陽?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃*）=3/+不了，則函數(shù)〃x）的最小值為.

【答案】2

【分析】利用換元法，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)求解即可.

【詳解】令/=1+尤2,此1,則原函數(shù)化為函數(shù)

2

y=3（r-l）+y,（f>l）

由對勾函數(shù)性質(zhì)得y在[I,+8）上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)r=l時，函數(shù)取最小值“X）1111n=2

故答案為：2

三、解答題

￥—?丫主4

5.（23-24高一上.河北邯鄲?期中）（1）求當(dāng)x>0時，y=-——--的值域.

X

（2）已知x>l,求函數(shù)（x）=-+7x+10的最小值.

''x-1

【答案】⑴[2,+s）（2）6a+9

4

【分析】（1）根據(jù)題意化簡得y=XH---2,結(jié)合基本不等式，即可得到結(jié)果；

X

（2）根據(jù)題意，將函數(shù)化簡變形為g（尤）=（尤-1）+」1\Q+9,再結(jié)合基本不等式，即可得到結(jié)果.

X~1

【詳解】⑴20-2=2,

J=^Z￡±￡=X+1_2>2

XX\X

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時等號成立，則函數(shù)值域為[2,+8）.

（2）因為x>l,⑺/+7*+[0=（1）2+9（1）+18+至+9

17x-1x-117x-1

>2L-l）-^-+9=6V2+9,當(dāng)且僅當(dāng)（彳-1）=—時，即x=l+3&時，等號成立,

Vx-1x-l

所以函數(shù)的最小值為6五+9，此時尤=1+3&.

【題型六單調(diào)性法】

一、單選題

1.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）函數(shù)/'（尤）=尤+6，xe[0,4]的值域為（）

A.[0,3]B.[1,4]

C.[0,6]D.[0,4]

【答案】C

【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)的值域.

【詳解】因為>和、=?在[0,4]上遞增，

所以〃x）=x+?在[0,4]上遞增，

所以/Wwin=/（0）=0,/（x）^=/（4）=4+2=6,

所以函數(shù)的值域為[0,6].

故選：C

二、填空題

2.（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）函數(shù)丫=而1在區(qū)間[0,3]上的值域為.

【答案】[L2]

【分析】運用換元法求值域即可.

【詳解】令』+1,xe[0,3],.-.^[1,4],

則、=〃，問1,4],

.y="在[1,4]上單調(diào)遞增，

則當(dāng)/=1時，Vmin=&=1，當(dāng)f=4時，=4=2,

即y=^/^^T在區(qū)間[0,3]上的值域為[1,2].

故答案為：[1,2].

3.（2024高一.全國.專題練習(xí)）函數(shù)〃同=-丁]+/的定義域是[（）,2],則其值域為

~1Q-

【答案】-2,y

【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求得函數(shù)最小值以及最大值，即得答案.

【詳解】由題意知函數(shù)y=-京,y=V均在［0,2］上單調(diào)遞增，

故/(x)在定義域［0,2］上為增函數(shù)，

91Q

所以1m?=〃0)=-2+0=—2,〃尤)皿,=〃2)=+4=不，

~1Q-

即“X)的值域為-2,y,

-1R-

故答案為：-2,二

三、解答題

2

4.(23-24高一下?全國?課堂例題)已知函數(shù)〃到=二，xe(O,y).

(D判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并利用定義證明；

⑵求〃尤)在［3,7］上的值域

【答案】⑴/⑺在(0,+8)上單調(diào)遞減；證明見解析

-ir

⑵

【分析】(1)根據(jù)條件，利用單調(diào)性的定義即可證明結(jié)果；

(2)利用單調(diào)性求最值，即可得到值域.

【詳解】⑴〃x)在(0,+功上單調(diào)遞減，證明如下:

任取。＜再＜%,

%+1%+1(玉+1)(*2+1)

因為。＜Xi＜X2,所以％2-工1＞。，玉+1＞0,x2+1＞0,

所以〃玉)-/伍)＞。，即1/■&)＞〃/),

故/'(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

(2)〃力在(0,+8)上單調(diào)遞減,所以

o1

當(dāng)x=7時，取得最小值/(7)=而="

71

當(dāng)x=3時，取得最大值/(3)=擠=/

故值域為［，［.

5.（23-24高一上.廣西桂林.期末）已知函數(shù)/（勸=無-！.

X

⑴判斷了（無）在（0,+8）上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明;

⑵求/（無）在［2,3］上的值域

【答案】（1）/。）在（。,+8）上單調(diào)遞增，證明見解析；

【分析】（1）利用定義法取值、作差、變形再判斷符號即可;

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得到其值域.

【詳解】（1）/（無）在（0,+8）上單調(diào)遞增.

證明：任取司,々e（0,+8）,且為<々，

（1<11>

/（再）-〃％）=無——1-尤2------=（西-尤2）+-----------

1%"IXl）I尤2\）

=（xl-x^+-―—=（XX-x2）1+，-］,

I卒2）

X.,X2G（0,+00）,且玉</，??工1一工2<0,1------>。，

x{x2

，/（%）一/（當(dāng)）<0,即馬）,

.?./（X）在（0,+功上單調(diào)遞增.

（2）由（1）可知/（無）在［2,3］上單調(diào)遞增,

3S

.?"(尤)血n="2)=-,/(x)max=〃3)=-,

所以/(無)在［2,3］上的值域為.

【題型七判別式法】

一、單選題

1.（22-23高一上?陜西西安?期末）已知正實數(shù)滿足肛=/+y_12,則x+y的最大值是（）

A.24B.12C.473D.

【答案】C

【分析】設(shè)x+V=f,則v=r-龍，代入已知等式，化為關(guān)于x的方程，由判別式非負(fù)，解得f的最大值.

【詳解】設(shè)x+y=/,則尸/一尤，

因為肛=爐+y2-12,

所以尤2+Q—x)-—xQ—x)—12=0,即：3x?—3fct+-一12=0,

所以A=9/-12(r-12)=-3r2+144>0,

解得：-45/3</<4A/3,

又因為尤，丁為正實數(shù)，

所以0</W4白，

所以x+y的最大值為4VL

故選：C.

2.(23-24高一下?遼寧撫順?階段練習(xí))已知y=―-4療”+3蘇-2/n/+5〃2-4〃+l,/n,〃eR,則V的最小值

為()

A.1B.V17C.V10D.0

【答案】D

【分析】將已知轉(zhuǎn)化為關(guān)于"的二次方程，根據(jù)A>0,可求得最值.

【詳解】根據(jù)題意5/+(-4療—2〃z—4)〃+機4+3m2+1—y=0,

若方程有解，貝!1△=4(2m2+m+2)2-20(m4+3m2+l-y)>0,

即4m4+m2+4+4m3+4m+8m2-5m4-15m2-5+5y>0,

所以5y2m4—4m3+6m2—4m+1=(m—l)4>0,

當(dāng)機=1時，y=0,此時5/-10"+5=0,即a=l,

也就是說當(dāng)且僅當(dāng)〃z=〃=1時，%一。.

故選：D

二、填空題

3.(22-23高一下?上海嘉定?開學(xué)考試)已知函數(shù)>=式1的值域為[-L4],則常數(shù)a+b=

【答案】7或-1

【詳解】因為>=空邛，所以尤2y_ox+y_6=0,

An/_4y(y-Z?)20,gp4y2-Aby-a1<0,

因為函數(shù)y=豈1的值域為[T4],

所以必=T，%=4是方程4/一4勿一。2=0的兩個根，

2

所以—1+4=6，—1x4=——,

解得〃=4,〃=3或。=一4,〃=3,所以。+萬=7或一1.

故答案為：7或-1.

X—1

4.（23-24高一上?浙江寧波?期中）函數(shù)丫二十7-x>0的值域為___________

x-6x+7

【答案】卜雙一

【分析】由題意分析可得關(guān)于x的方程江-（6y+l）x+7y+l=0有正根，分y=0和尸。兩種情況，結(jié)合二

次函數(shù)分析求解.

【詳解】因為廠"7,整理得討-回+1戶+7尹1=。,

可知關(guān)于x的方程城-（6y+l）x+7y+l=0有正根,

若y=0,貝[|_%+1=0,解得％=1,符合題意;

若yw0,貝(|%2_(6H—|x+7H—=0,

y)y

6+-6+-

340二＞0

可得2或＜2

A=[6+1]一4]7+；4o

7+-＜0

y

解得,<-7或0-4且貝!I一［<y<0或y>o或yv一

yyy7-4

綜上所述：>>-；或,<一與^,

即函數(shù)y=1、，彳>0的值域為「8,-理工

x-ox+714\IJ

三、解答題

5.（23-24高一上?浙江?期中）已知函數(shù)〃同=矍1,其中。>0.

⑴當(dāng)a=2,求函數(shù)/（x）的值域；

⑵g（x）=任+2尤）?/（尤），求g（x）區(qū)間［-2,2］上的最小值.

【答案】⑴

4〃-2,〃J0,一

14」

⑵g(X)min=

1f1

----,4￡—,十。

4〃(4

【分析】（1）利用判別式法求值域;

（2）求得g（x）=ox2+x,對。分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

0y_L10y_1-1

【詳解】⑴"2時，"上不,即好工,整理得y—卜』。，

當(dāng)y=0時，x=-1,

當(dāng)尸。時，由A=4_4y(2y—1)20,得2/-y-lV0,

解得一且尸0,

綜上，-（4”1,則〃尤）的值域是」

(2)^(%)=+2x^-/(%)=ax2+x=dixH---------，工后［-2,2］且a>0,

二當(dāng)一,4一2時，即。/0二時,

2aI4一

函數(shù)V=g（尤）在區(qū)間［-2,2］上單調(diào)遞增，此時g（x）1111n=g（-2）=4。-2；

當(dāng)-2<---<20^,即a/；,+oo］時,

2a14J

函數(shù)y=g（M在區(qū)間-2,-4］上單調(diào)遞減，在區(qū)間-4,2上單調(diào)遞增,

4a-2,ae(0,一

，-,綜上所述：g（X）min=I4j

此時g(x)=g

1n1(1

一二一,ae|-,+<?

4a14

X壓軸能力測評2

一、單選題

1.（25-26高一上?全國裸后作業(yè)）設(shè)%wR,用國表示不超過元的最大整數(shù)，則＞=［可稱為高斯函數(shù)，例

如：[—2』=一3,[3』=3.己知函數(shù)/")=皆與-;，則函數(shù)>=[/(尤)]的值域是()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2)

【答案】C

【分析】求得"0)=1當(dāng)XW0時，將函數(shù)化簡變形得人"=I十二I,令f=x+L然后分x>0和尤<0

2%+—x

x

兩種情況結(jié)合基本不等式可求出f的取值范圍，從而可求出了(X)的值域，再由高斯函數(shù)的定義求出

>="(切的值域.

【詳解】顯然，/(o)=1.

/（x+l）21_2（無+1）--（無2+1）_J+4》+1_]2

當(dāng)時，個）=芋?-5=2（/+1）=干可7+口.

^t=x+—,當(dāng)X>0時，t=x+—>l]x'—=29當(dāng)且僅當(dāng)尤=1時等號成立,

xx\x

t22yJ222

當(dāng)％<0時，t=x+—<-2-=-2,當(dāng)且僅當(dāng)尤=-1時等號成立,

xx

i3

綜上所述，/(%)的值域為-5；

所以根據(jù)高斯函數(shù)的定義，函數(shù)y=[/(%)]的值域是{-1,0,1},

故選：c.

二、填空題

Y21

2.(23-24高一上?河北?階段練習(xí))%>0時，y=-一武+—；的值域為_______.

(x+1)x+1

【答案】|,1]

【分析】利用換元法，令f=—結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解.

X+1

【詳解】因為x>0,令仁義武?！?，貝!Jx」一1,

X+1''t

則y=JJ+/=產(chǎn)—+1,re(O,l),

G-1+1J

i3

可知y=%+i開口向上，對稱軸為/=且yLo=yki=Lyli=彳,

2t=34

所以y=〃—+l在(0,1)內(nèi)的值域為jl],

即>=高產(chǎn)+［在（0,+8）內(nèi)的值域為：』）.

故答案為：

3.（23-24高一上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（X）=7171+5/2^1,則函數(shù)的定義域為，值域為.

【答案】［-1,2］［V3,V6］

【分析】第一空：利用偶次根式被開方數(shù)非負(fù)即可得解；第二空，對/（X）平方，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可

得解.

【詳解】因為/（」）=&+1+,2-％,

所以，;［：；；，解得-14x42,即外力的定義域為［T2］；

易知〃x）20.

3^（%）=尤+1+2+1）（2-%）+2-x=3+2J-/+X+2,

對于丁=-f+%+2,其開口向下，對稱軸為x=］,

19

所以％=5時，>=一次2+工+2有最大值I，

當(dāng)％=-1或%=2時，y=-x2+%+2有最小值0,

o

所以當(dāng)1,2］時，y=_%2+x+2的值域為0,-,

則f（X）的值域為［3,6］,故求“X）的值域為［6,.

故答案為：［道,而］.

解答題

4.（24-25高一上?全國?課堂例題）求下列函數(shù)的值域:

（l）y=2x+l,%w{1,2,3,4,5}；

⑵y=?+1；

(3)y=x2-4x+6,XG[1,5]；

3x+2

(4)y=

x-1

【答案】⑴{3,5,7,9,11}；

(2)[l,+°°)；

(3)[2,11]；

(4)(-oo,3)u(3,+oo).

【分析】(1)根據(jù)給定的自變量值求出函數(shù)值即可.

(2)利用二次根式的意義求出值域.

(3)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域.

(4)利用分式函數(shù)，結(jié)合分離常數(shù)的思想求出值域.

【詳解】(1)y=2尤+1,且xe{l,2,3,4,5},則ye{3,5,7,9,11}.

所以函數(shù)的值域為{3,5,7,9,11}.

(2)函數(shù)y=6+1的定義域為[。,+⑹，由得6+121,

所以y=?+l的值域為[1,+s).

(3)函數(shù)y=f-4x+6圖象的對稱軸為x=2,而xe[l,5],

當(dāng)尤=2時，ymin=2,當(dāng)x=5時，%=11,

所以函數(shù)的值域為⑵11].

(4)函數(shù)尸三3%+一2的定義域為{%￡R|"1},

x-1

3x+23(%—1)+5c5c

y=-----=----------=3-1-----w3,

x—1x—1x—1

所以函數(shù)的值域為(-8,3)1(3,+8).

5.