2025年高考數學專項復習訓練：平面向量的數量積及其應用【八大題型】原卷版+解析版

專題5.3平面向量的數量積及其應用【八大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1平面向量數量積的運算】..................................................................4

【題型2平面向量的夾角問題】....................................................................5

【題型3平面向量的模長】........................................................................5

【題型4平面向量的垂直問題】....................................................................5

【題型5平面向量的投影】........................................................................6

【題型6坐標法解決向量問題】....................................................................6

【題型7平面向量的實際應用】....................................................................7

【題型8向量數量積與解三角形綜合】.............................................................8

?考情分析

1、平面向量的數量積及其應用

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

⑴理解平面向量數量積

的含義及其幾何意義2022年新高考全國II卷：第4

⑵了解平面向量的數量題，5分平面向量的數量積是高考的熱點內

積與投影向量的關系2023年新高考I卷：第3題，容.從近幾年的高考情況來看，試題往往

⑶掌握數量積的坐標表5分以選擇題、填空題的形式呈現，主要考

達式，會進行平面向量數2023年新高考H卷:第13題，查向量的數量積、夾角、模與垂直條件

量積的運算5分等知識，難度中等，有時會與三角函數、

(4)能運用數量積表示兩2023年北京卷：第3題，5分平面幾何等相結合命題.學生在高考一

個向量的夾角，會用數量2024年新高考I卷：第3題，輪復習中應注意加強訓練，要能靈活運

積判斷兩個平面向量的垂5分用定義法、坐標法和基底法解決常見的

直關系2024年新高考H卷：第3題，數量積有關問題.

⑸會用向量的方法解決5分

某些簡單的平面幾何問題

?知識梳理

【知識點1向量數量積的性質和常用結論】

1.向量數量積的性質和運算律

(1)向量數量積的性質

設。，b是非零向量，它們的夾角是e是與b方向相同的單位向量，則

①a'e=e-a=同cos0.

②QJ_ba-6=0.

-?->|->I]—I->-?->->I-?I[—1

③當a與l同向時，。口=同同；當〃與務反向時，a-b=-|Z)|.

特別地,Q-Q=Q2=|Q|之或同=JQ.q

④|a-"《同當且僅當向量a,6共線，即a〃b時，等號成立.

@0086>=-^^7

(2)向量數量積的運算律

由向量數量積的定義，可以發(fā)現下列運算律成立：

對于向量"b,1和實數，有

①交換律：a-b=b-a；

■->->->->->->

②數乘結合律：(A<2)-b=X(a-b)=a-(26)；

③分酉己律：(a+b)~c=a?c+b'c.

2.向量數量積的常用結論

/->-?\2［今->|2|4|2->一|4|2->?->今->7

⑴±=,土.=|。|±2a?方+問=a^2a-b+b；

(2)藍一/=6+1)傘_刀=向2_阿

⑶6+獷+(1獷=2(問2+葉)；

-2~2今->

(4)a+b=0a=b=0；

⑸?向—阿歸口+司+同+網,當且僅當】與」同向共線時右邊等號成立,:與I反向共線時左邊等

號成立.

以上結論可作為公式使用.

【知識點2平面向量數量積的解題方法】

1.平面向量數量積的兩種運算方法

(1)基底法：當已知向量的模和夾角。時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數量積的有關

計算問題；

(2)坐標法：當平面圖形易建系求出各點坐標時，可利用坐標法求解.

【知識點3數量積的兩大應用】

1.夾角與垂直

-?->

a?b->->->->

根據平面向量數量積的性質：若4,6為非零向量，則cos，=(夾角公式),alb-a-b=0等,

可知平面向量的數量積可以用來解決有關角度、垂直問題.

2.向量的模的求解思路：

(1)坐標法：當向量有坐標或適合建坐標系時，可用模的計算公式；

(2)公式法：利用同=H及G±與2=同2±2〉5+網2,把向量的模的運算轉化為數量積運算;

(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利

用余弦定理等方法求解.

【知識點4向量數量積綜合應用的方法和思想】

1.向量數量積綜合應用的三大解題方法

(1)坐標法：把幾何圖形放在適當的坐標系中，就賦予了有關點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應

的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決.

(2)基向量法：適當選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構造關于設定未知量的方程來

進行求解.

(3)利用向量運算進行轉化，化歸為三角函數的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以

向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應用.

【知識點5極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

|a+S|2+|a-S|2=2(|a|2+|S|2).

證明：不妨設方=2,而=加貝!)工=2+幾DB=a-b,

阿=ER+H=@+2鼠1+配①》

網2=加=R_.@_27B+卑②,

①②兩式相加得:

⑵極化恒等式:

上面兩式相減，得：之二=；］(a+q2_R_q〔-------極化恒等式

平行四邊形模式：a-b=^AC^-\DB^.

(3)幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的

4

【方法技巧與總結】

I.平面向量數量積運算的常用公式

(l)(a+6)?(a—6)=/一片；

->2-?->->2

(2)p±獷=Q±2q?6+b.

2.有關向量夾角的兩個結論

->->->->->—>->->

（1）若a與6的夾角為銳角，則a-6>0；若。?6>0,則a與6的夾角為銳角或0.

->->->->->->->->

（2）若。與6的夾角為鈍角，則a-6<0；若。-bO,則a與6的夾角為鈍角或兀

__>__>a?bb

3.向量a在向量6上的投影向量為

?舉一反三

【題型1平面向量數量積的運算】

【例1】（2024?江西宜春?模擬預測）在中，已知AB=AC=2,BD=2DC,若小?麗=2,則荏?無

=()

A.-1B.1C.2D.-2

【變式1?1】（2024?陜西安康?模擬預測）已知向量五=81,2）了=（71,-1）（幾>0）,〈標）=與，a-b=0,且

|c|=V3,若石則（五+B）?工=（）

A3口-2機B_在c302灰口地

?2?T?2?-2-

【變式1?2】（2023?山東日照?一模）已知正六邊形45CZ）跖的邊長為2,尸是正六邊形45cQEF邊上任意

一點，則同?麗的最大值為（）

A.13B.12C.8D.2V3

【變式1-3］（2024?北京?三模）已知點N在邊長為2的正八邊形414,…4的邊上，點M在邊4遇2上，貝U

乖?布的取值范圍是（）

A.[-4-2V2,2V2]B.[-4,4+2V2]

C.[-272,4+2V2]D.[-272,4]

【題型2平面向量的夾角問題】

【例2】（2024?江蘇揚州?模擬預測）已知單位向量落加滿足力（22+勵=2,貝皈與茄勺夾角等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【變式2-1］（2024?江西新余?二模）已知2=（但2遍），h=（-V3,A）,若2+1與書的夾角為與，則1=

（）

A.-1B.1C.±1D.±2

【變式2-2】（2024?湖北?二模）已知平面向量五=（1一%,—%—3）,6=（1+%,2）,a-b=-4,則五+2石與石的

夾角為（）

TI71-2n—3n

A.弓B.4c-TD-T

【變式2-3］（2024?河北?模擬預測）平面四邊形28CD中，點E、F分別為4D,BC的中點，|CD|=2|4B|=8,|EF|

=5,則cos（屈，反）=（）

A.令B.C.—萼D.—金

1664840

【題型3平面向量的模長】

【例3】（2024?河北?三模）已知非零向量附夾角為去a=\a-b\=l,則|五+引=（）

A.1B.C.V2D.V3

【變式3-1］（2024?山東煙臺?三模）已知向量-B滿足同=4,右在方方向上的投影向量為浜，且

（2五一勵，則|花+目的值為（）

A.4B.4V3C.16D.48

【變式3-2］（2024?湖南長沙?三模）在平行四邊形A8CD中，AC=2BO=4,點P為該平行四邊形所在平面

內的任意一點，貝?刀，+|而『+|玩『+|而『的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

【變式3-3］（2024?湖南永州?三模）在△ABC中，乙4cB=120。，|而|=3,|而|=4,DC-DB=0,則|方+而|

的最小值為（）

A.6V^—2B.2,19—4C.3v1D.719—2

【題型4平面向量的垂直問題】

【例4】（2024?西藏林芝?模擬預測）已知向量五=（居3）石=（2,久+5）,若五10—3）,則久=（）

A.2或3B.-2或一3C.1或一6D.一1或6

a+kb}1(a—kb卜的

【變式4-1]（2024?遼寧沈陽?二模）已知向量1=（2,4）%=（3-1），則濃=魚"是f

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【變式4-2]（2024?陜西?模擬預測）已知兩個向量五=（2,-1）%=（點m）,且。+石），0-母,則血的值為

)

A.±1B.±V2C.±2D.±2V3

【變式4-3]（2023?全國?高考真題）已知向量3=（1,1）3=（1,—1）,若（五+需），（五+〃石）,則（）

A.a+〃=1B.a+〃=—1

C.A/i=1D.A/i=-1

【題型5平面向量的投影】

【例5】（2024?浙江紹興?三模）若非零向量出石滿足同=國=|2+同，貝皈+23在后方向上的投影向量為

)

A.2bB.C.bD.我

【變式5-11（2024?山東青島?二模）已知向量方=（—1,2）,3=（—3,1）,貝收在3上的投影向量為（）

A.（一為B.（4，1）C（一卷等）D.（—富，黑）

【變式5-2]（2024?江蘇?模擬預測）已知兩個非零向量蜃石滿足忖+同=忖—川，貝皈—3在辦上的投影向量

為（）

A.bB.—bC.—bD.一5b

【變式5-3]（2024?湖北武漢?二模）已知xCR,向量2=（%,2）3=（2,—1）,且方1幾則d+3在2上的投影

向量為（）

A.V5B.5C.（1,2）D.（2,-1）

【題型6坐標法解決向量問題】

【例6】（2024?江蘇揚州?模擬預測）已知菱形4BCD的邊長為2,乙4BC=60。，動點尸在BC邊上（包括端

點），則而?而的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[—1,2]C.[—2,2]D.[—1,1]

【變式6-1]（2024?四川綿陽?模擬預測）如下圖所示，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,

邊83c3上有1。個不同的點Pi，。2,…’Pio，記弧=A%,/匕(i=1,2,…,10),則Mi+時2+…+Mio=

C.-18D.-180

【變式6-2]（2024?陜西安康?模擬預測）如圖，已知45是圓。的直徑，C是圓。上一點，元=而，點「是

線段上的動點，且△248的面積記為品，圓。的面積記為S2，當麗?麗取得最大值時，（）

【變式6-3]（2024?貴州貴陽?一模）如圖，在邊長為2的正方形2BCD中.以C為圓心，1為半徑的圓分別

交CD,BC于點、E,F.當點P在劣弧EF上運動時，麗?麗的取值范圍為（）

A.[1—2V2,—i]B.[1-2vx—1]

C.[―1,1—V2]D.[1-2V2.1-V2]

【題型7平面向量的實際應用】

【例7】（2024?吉林長春?一模）長江流域內某地南北兩岸平行，如圖所示已知游船在靜水中的航行速度也

的大小|也|=10km/h,水流的速度。2的大小W2I=4km/h,設3和也所成角為火0<9<兀）,若游船要從4

航行到正北方向上位于北岸的碼頭8處，則cos8等于（）

B

A

河流兩岸示意圖

a-Tb--tc--1d-T

【變式7-1］（2024?浙江溫州?二模）物理學中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段

位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：W=F-S（其中”是功，F是力，3是位移）一物體

在力K=（2,4）和豆=（-5,3）的作用下，由點2（1,0）移動到點B（2,4）,在這個過程中這兩個力的合力對物體

所作的功等于（）

A.25B.5C.-5D.-25

【變式7-2］（2024?山東濰坊?二模）如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態(tài).已知兩條

繩上的拉力分別是瓦，無，且瓦，瓦與水平夾角均為45。，兩=兩=10魚此則物體的重力大小為N,

【變式7-3］（2024?全國?模擬預測）如圖，某物體作用于同一點。的三個力Fi，F2,F3使物體處于平衡狀

態(tài)，已知Fi=lN,尸2=2N,%與F2的夾角為120°,則B的大小為.（牛頓N是物理的力學單位）

【題型8向量數量積與解三角形綜合】

【例8】（2024?江西?三模）已知鈍角△ABC的面積為3,48=4,AC=2,則布?前的值是（）

A.-6B.-2V7C.2J7或一2bD.-6或6

【變式8-1］（2024?貴州畢節(jié)?三模）在△48C中，內角B,C所對的邊分別為a,b,c,X=—,若點D

滿足而?方=0,且同=如+冠，貝哈=（）

1

AB.2C.D.4

-I4

【變式8-2](2024?山東荷澤?模擬預測)在△4BC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知瓦?前-瓦？?麗=4

—>2

AB

(1)若4=1,判斷△ABC的形狀；

(2)若4=今求tan(B-4)的最大值.

【變式8-3](2023?江蘇蘇州?模擬預測)如圖，兩射線人、L均與直線/垂直，垂足分別為。、E且DE=1.

點/在直線/上，點8、C在射線上.

⑴若廠為線段3c的中點(未畫出)，求赤?前的最小值;

(2)若△4BC為等邊三角形，求△ABC面積的范圍.

?過關測試

一、單選題

1.(2024,黑龍江?模擬預測)已知向量悶=3,|2-3|=同+2力，則|五+山=()

A.V3B.2C.V5D.3

2.(2024,江西吉安?模擬預測)若方=(1,%)工=(短-2),且|五+引=|五_引,則％=()

A.V2B.-V2C.--D.乎

3.（2024?遼寧?模擬預測）若心方是夾角為60°的兩個單位向量，疝+石與刀一石垂直，則4=（）

C.-1D.-2

4.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預測）己知向量獲滿足同=2了=（3,0）,|五-同則向量H在向量后方向

上的投影向量為（）

D.(1,0)

5.（2024?陜西安康?模擬預測）若平面向量日石滿足同=VX揚|=1,|方+引=遮，則向量2,B夾角的余弦值

為（）

A.g

（2024?寧夏石嘴山?三模）已知向量五=（一3,1）,6=（2,1）,則以下說法正確的是（

A.—可=V5

C.向量降向量讓的投影為孚D.若/=（浮一管），貝呢1個

7.（2024?四川綿陽?模擬預測）某公園設計的一個圓形健身區(qū)域如圖所示，其中心部分為一個等邊三角形

廣場，分別以等邊三角形的三條邊作為正方形的一條邊構造三個正方形區(qū)域用于放置健身器材，其中每個

正方形有兩個頂點恰好在圓上.若4B=2a,則說?次=（）

A.-4（2+B.-2（2+V^）Q2C.-2（3+V^）a?D.-2（1+

8.（2024?四川成都?三模）在矩形4BCD中，AB=5,4。=4,點E滿足2荏=3而，在平面4BCD中，動點

P滿足無?麗=0,則而?加的最大值為（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2V13-6

9.（2024?山東?模擬預測）已知向量3=（1,8）,6=（-2,0）,則下列說法正確的是（

A.a-b=2B.2與b的夾角為石

C.a1(a+2b)D.2+石在3上的投影向量為超

10.(2023?山東濰坊?模擬預測)已知非零向量五43,口=1,對任意tCR,恒有同一比|N|H—磯，則

()

A.3在3上的投影的數量為1B.|a+e|>|a-2e|

C.a1(a—e)D.e1(a—e)

11.(2024?河北保定?一模)已知P為△力8c所在平面內一點，則下列正確的是()

A.若腐+3方+2同=0,則點P在的中位線上

B,若西+而+定=0,貝UP為△4BC的重心

C.若荏?前>0,則△力BC為銳角三角形

D.若/=冠+|前，則△ABC與△ABP的面積比為3:2

三、填空題

12.(2024?陜西安康?模擬預測)已知向量五=(一2比一3),B=(k,k—2),且五_1刃，則卜=.

13.(2024?上海?模擬預測)已知向量五,b,工滿足|司=歷|=1,|c|=V2,Ma+&+c=O,則cos(五一胡-工)

14.(2024?天津河西?二模)如圖，直角梯形N8CD中，AB||CD,ABLAD,AB2CD=2AD=2,在等

腰直角三角形CDE中，ZC=9O°,則向量荏在向量方上的投影向量的模為；若M,N分別為線段

BC,CE上的動點，且箱?前=玄則而?麗的最小值為.

15.(2024?天津河北?模擬預測)已知向量五=(3,4),9=(l,x),c=(l,2).

(1)若五_L刃,求同的值；

(2)若工II(a-2b),求向量與2的夾角的余弦值.

16.(23-24高一下?北京東城?期中)已知向量獲的夾角為卓且同=2,由=4,求:

⑴展反

⑵忖-況

(3)五與五一石夾角的余弦值.

17.(2024?湖南邵陽?一模)在△4BC中，內角4滿足gsin24-cos24=2.

(1)求角力的大??；

⑵若反=2而，求需的最大值.

18.(2024?湖南衡陽?模擬預測)在△48C中，內角4,B,C所對的邊分別為a,6,c,已知向量范云滿足方=

(2a,—V6),n=(V2sinB,fo),且為1n.

⑴求角力；

(2)若△NBC是銳角三角形，且a=3,求△ABC周長的取值范圍.

19.(23-24高一下?浙江寧波?期末)在直角梯形2BCD中，AB//CD,^DAB=90°,AB=2AD=2DC=4,

點尸是BC邊上的中點.

(1)若點E滿足而=2近，且前=2刀+〃而，求2+〃的值；

(2)若點P是線段4尸上的動點(含端點)，求麗?麗的取值范圍.

專題5.3平面向量的數量積及其應用【八大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1平面向量數量積的運算】..................................................................4

【題型2平面向量的夾角問題】....................................................................7

【題型3平面向量的模長】........................................................................9

【題型4平面向量的垂直問題】...................................................................11

【題型5平面向量的投影】.......................................................................12

【題型6坐標法解決向量問題】...................................................................13

【題型7平面向量的實際應用】...................................................................16

【題型8向量數量積與解三角形綜合】............................................................18

?考情分析

1、平面向量的數量積及其應用

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

⑴理解平面向量數量積

的含義及其幾何意義2022年新高考全國II卷：第4

⑵了解平面向量的數量題，5分平面向量的數量積是高考的熱點內

積與投影向量的關系2023年新高考I卷：第3題，容.從近幾年的高考情況來看，試題往往

⑶掌握數量積的坐標表5分以選擇題、填空題的形式呈現，主要考

達式，會進行平面向量數2023年新高考H卷:第13題，查向量的數量積、夾角、模與垂直條件

量積的運算5分等知識，難度中等，有時會與三角函數、

(4)能運用數量積表示兩2023年北京卷：第3題，5分平面幾何等相結合命題.學生在高考一

個向量的夾角，會用數量2024年新高考I卷：第3題，輪復習中應注意加強訓練，要能靈活運

積判斷兩個平面向量的垂5分用定義法、坐標法和基底法解決常見的

直關系2024年新高考H卷：第3題，數量積有關問題.

⑸會用向量的方法解決5分

某些簡單的平面幾何問題

?知識梳理

【知識點1向量數量積的性質和常用結論】

1.向量數量積的性質和運算律

(1)向量數量積的性質

設。，b是非零向量，它們的夾角是e是與b方向相同的單位向量，則

①a'e=e-a=同cos0.

②QJ_ba-6=0.

-?->|->I]—I->-?->->I-?I[—1

③當a與l同向時，?？?同同；當〃與務反向時，a-b=-|Z)|.

特別地,Q-Q=Q2=|Q|之或同=JQ.q

④|a-"《同當且僅當向量a,6共線，即a〃b時，等號成立.

@0086>=-^^7

(2)向量數量積的運算律

由向量數量積的定義，可以發(fā)現下列運算律成立：

對于向量"b,1和實數，有

①交換律：a-b=b-a；

■->->->->->->

②數乘結合律：(A<2)-b=X(a-b)=a-(26)；

③分酉己律：(a+b)~c=a?c+b'c.

2.向量數量積的常用結論

/->-?\2［今->|2|4|2->一|4|2->?->今->7

⑴±=,土.=|。|±2a?方+問=a^2a-b+b；

(2)藍一/=6+1)傘_刀=向2_阿

⑶6+獷+(1獷=2(問2+葉)；

-2~2今->

(4)a+b=0a=b=0；

⑸?向—阿歸口+司+同+網,當且僅當】與」同向共線時右邊等號成立,:與I反向共線時左邊等

號成立.

以上結論可作為公式使用.

【知識點2平面向量數量積的解題方法】

1.平面向量數量積的兩種運算方法

(1)基底法：當已知向量的模和夾角。時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數量積的有關

計算問題；

(2)坐標法：當平面圖形易建系求出各點坐標時，可利用坐標法求解.

【知識點3數量積的兩大應用】

1.夾角與垂直

-?->

a?b->->->->

根據平面向量數量積的性質：若4,6為非零向量，則cos，=(夾角公式),alb-a-b=0等,

可知平面向量的數量積可以用來解決有關角度、垂直問題.

2.向量的模的求解思路：

(1)坐標法：當向量有坐標或適合建坐標系時，可用模的計算公式；

(2)公式法：利用同=H及G±與2=同2±2〉5+網2,把向量的模的運算轉化為數量積運算;

(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利

用余弦定理等方法求解.

【知識點4向量數量積綜合應用的方法和思想】

1.向量數量積綜合應用的三大解題方法

(1)坐標法：把幾何圖形放在適當的坐標系中，就賦予了有關點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應

的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決.

(2)基向量法：適當選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構造關于設定未知量的方程來

進行求解.

(3)利用向量運算進行轉化，化歸為三角函數的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以

向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應用.

【知識點5極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

|a+S|2+|a-S|2=2(|a|2+|S|2).

證明：不妨設方=2,而=加貝!)工=2+幾DB=a-b,

阿=ER+H=@+2鼠1+配①》

網2=加=R_.@_27B+卑②,

①②兩式相加得:

⑵極化恒等式:

上面兩式相減，得：之二=；］(a+q2_R_q〔-------極化恒等式

平行四邊形模式：a-b=^AC^-\DB^.

(3)幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的

4

【方法技巧與總結】

I.平面向量數量積運算的常用公式

(l)(a+6)?(a—6)=/一片；

->2-?->->2

(2)p±獷=Q±2q?6+b.

2.有關向量夾角的兩個結論

->->->->->—>->->

(1)若a與6的夾角為銳角，則a-6>0；若。?6>0,則a與6的夾角為銳角或0.

->->->->->->->->

(2)若。與6的夾角為鈍角，則a-6<0；若。-bO,則a與6的夾角為鈍角或兀

->->->

->今77?77

3.向量。在向量6上的投影向量為需?備.

?舉一反三

【題型1平面向量數量積的運算】

【例1】(2024?江西宜春?模擬預測)在ZkAeC中，已知A8=4C=2,BD=2DC,若麗?近=2,則前?前

=()

A.-1B.1C.2D.-2

【解題思路】將前和反轉化成前和左來表示，再結合而?BC=2求得NB4C即可求解.

【解答過程】由題意。為BC邊靠近C點的三等分點，

所以而=AC-DC=AC-^BC=AC-^^AC-AB')=河+癡，

所以AD-BC=[^AC+?yAC-AB)=|XC-^AB-AC-^AB

=~^cos(AB,4C)=g-gcos/B力C=2,

所以ABAC=拳

所以前AC=\AB\\AC\cosABAC=2X2x(-|)=-2.

故選：D.

【變式1-1](2024?陜西安康?模擬預測)已知向量2=0,2)了=0，-1)5>0),〈為3)=事，a-b-0,且

|c|=V3,若石々=乎，則(五+刃),才=()

A3H2顯B_返C3心+2前D3V6

?2~?2?2

【解題思路】根據數量積的坐標表示得到=2,再確定01),由=挈即可求出m從而得到小的值，

最后根據數量積的定義及運算律計算可得.

【解答過程】因為2?石=0,所以@動=5且五?石=血相一2=0,所以77171=2,

又1.2=挈>0,且(赭=與,所以屈)=亨一今=也

所以石?c=|h|?\c\cos(b,c)=Vn2+1xV3x曰=呼，解得九=±1,

又n>0,所以幾=1,則m=2,

所以五=(2,2),則同=V22+22=2企，

所以(五+6)-c=a-c+6-c=|H|?\c\cos(a,c)+b-c

=2V2XV3X(-1)+^=^V6.

故選：A.

【變式1-2](2023?山東日照?一模)已知正六邊形4BCDE尸的邊長為2,尸是正六邊形4BCDE尸邊上任意

一點，則刀?麗的最大值為()

A.13B.12C.8D.2V3

【解題思路】以正六邊形/3CDE/中心。為原點建立平面直角坐標系如圖所示，由向量數量積的坐標表示

研究最值.

以正六邊形4BCDE尸中心。為原點建立平面直角坐標系如圖所示，48、DE交y軸于G、H,

WJC(2,0),F(-2,0)M(-l-V3),B(1-V3),G(0,-每E(—1,何。(1,何W(0,V3),

設P(x,y),PA=(-l-x,-V3-y),PB=(l-x-V3-y),~PA-PB^x2+y2+2何+2,由正六邊形對稱性,

不妨只研究y軸左半部分，

(1)當P在上時，貝!Ue[—1,0],y=?則瓦？?麗=/+11w12；

(2)當尸在/G上時，貝1,0],y=-V3,則談?麗=/一1<0；

(3)當P在即上時，則令尸：y=V3(x+2),%G[-2,-1],則麗?麗=4%2+18x+26=4(%+?2+與

<12；

(4)當P在/尸上時，則UF：y=-V3(x+2),xe[-2,-1],則麗?麗=4尤2+6x+2=4(x+

<6.

綜上，所求最大值為12.

故選：B.

【變式1-3](2024?北京?三模)已知點N在邊長為2的正八邊形4/2,…，45的邊上，點M在邊&&上，則

病?嬴的取值范圍是()

A.[-4-2V2,2V2]B.[-4,4+2V2]

C.[—2A/^',4+2A/2^]D.[—2>/^,4]

【解題思路】以公為原點，建立平面直角坐標系，表示出點M、N的坐標，計算&MS1N即可.

【解答過程】以公為原點，&&為久軸，4遇6為y軸建立平面直角坐標系,

設N則41M==（亞,%）,

所以41用-4/=打％2，

由于正八邊形的每個外角都為今

則刀26[O,2],X16[-V2,2+V2],

所以-A±N=6[-2V2,4+2V2].

故選：C.

【題型2平面向量的夾角問題】

【例2】（2024?江蘇揚州?模擬預測）已知單位向量口加滿足大（2五+石）=2,則2與茄勺夾角等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解題思路】根據數量積的運算律求出ai,再由夾角公式計算可得.

【解答過程】因為3,（2五+1）=工+辦=2,BP2a-b+I2=2,解得五?9=g,

設己與茄勺夾角為仇貝。（：058=瀚=今又0。38式180。，所以8=60。，

即H與刃的夾角等于60。.

故選：B.

【變式2-1】（2024?江西新余?二模）已知2=（8,2遮），b=（-V3,A）,若為+石與石的夾角為與，貝壯=

（）

A.-1B.1C.±1D.±2

【解題思路】利用向量積的運算律計算Q+丹i,再利用向量數量積的定義計算（五+為不，列出相關等式

可得4的值.

【解答過程】因為Z=（但28），b=（-V3.2）,

所以a,b=X（―V3^）+2V^A=—3+2V3A,

a+b^（V3,2V3）+（-V3.A）=（0,2遮+A）,

|a+fo|=J（2A/3+A）2=|2V3+A|,

因為（五+￡））,/?=2,b+b=—3+2y[^入+3+Q=%+2^/^九

又（五+b）-h=|a+b\\b\co^-=|2A/3+A|XV34-A2x

所以M+2V3A=|2V3+A|xV3TI2x（-1）,

解得a=1或a=-1,

因為2g+awo,所以N+2后<0,

解得—2V^<A<0,

所以％=-1.

故選：A.

【變式2-2］（2024?湖北?二模）已知平面向量2=（1-%一久一3）,3=（1+久,2）,a-b=-4,貝皈+2）與［的

夾角為（）

A謂B.JC.亨D.空

【解題思路】根據題意，由平面向量數量積的坐標運算可得刀=-1,再由平面向量的夾角公式代入計算，即

可得到結果.

【解答過程】a-b=-4=>(1—x)(l+%)—2(%+3)=—4=>x=—l=>a=(2,—2),

b=(0,2尸五+2b=(2,2),

)—*—?(1+21)$_0+4_y/2

???cos(a+2b,b)

\a+2b\\b\一2V2x2~~

(a+2港)6[0,ii],.?.(a+2b,b)=

故選：B.

【變式2-3］（2024?河北?模擬預測）平面四邊形ZBCD中，點E、F分別為AQBC的中點，|CD|=2|人用=8叫網

=5,則cos（同，反）=（）

A.磊B.C.--D.4

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【解題思路】由向量的加法法則可得2而=而+瓦^兩邊同時平方可得瓦?希=10,由平面向量的夾角

公式求解即可.

【解答過程】因為平面四邊形力BCD中，點E、尸分別為4D,8c的中點，

所以而=TC+~CD+1）E=~FB+~BA+AE,

所以2而=而+而+而+而+0+福=而+或，

由|CD|=2|力切=8可得：\CD\=8,\AB\=4i

兩邊同時平方可得：4F￡2=（3+BA）2=而？++23-瓦

----?2----->2,>-----?----?

所以4X25=CD+BA+2CD-BX=64+16+2CD-BA,

解得：DC-AB=10,所以cos（福友）=瑞倚=瞪=看

故選：A.

【題型3平面向量的模長】

【例3】（2024?河北?三模）已知非零向量心麗夾角為去a=\a-b\=l,則憶+書|=（）

A.1B.C.V2D.V3

【解題思路】分析可知同=1,向量落2-石的夾角為3根據為+刃=2H-Q-勵結合數量積的運算求解.

【解答過程】因為五=（一孚3）,則同=1,

且非零向量區(qū)茄勺夾角為3艮-同=1,可知向量落3-3的夾角為？

則2-(a-S)=lxlx|=|,

所以B+川=|2a—（a—b）|=J4a2—4a-（a—b）+（a-b）2=V3.

故選：D.

【變式3-1]（2024?山東煙臺?三模）已知向量五，石滿足同=4,9在五方向上的投影向量為晶且31

（2a-b）,則|五+引的值為（）

A.4B.4V3C.16D.48

【解題思路】根據題意結合投影向量可得五%=8,再根據垂直關系可得同=4,進而可求模長.

【解答過程】由題意可知：同=4,即五

因為了在五方向上的投影向量為（居上=（照/=浜，可得/%=8,

又因為b（2五一匕）,則刃?（2石—石）=22,石―1=16—b=0,可得國=4,

貝加之+b|2=a2+2a?B+片=48,所以憶+b\=4V3.

故選：B.

【變式3-2]（2024?湖南長沙?三模）在平