立體幾何中的截面問題-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（解析版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展25立體幾何中的截面問題(精講+精練)

、知識(shí)點(diǎn)梳理

一、截面問題的理論依據(jù)

(1)確定平面的條件

①不在同一平面的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②兩條平行線確定一個(gè)平面

(2)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過此點(diǎn)的一條直線

(3)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)

(4)如果一條直線平行于一個(gè)平面，且經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行

(5)如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行

二、截面問題的基本思路

1.定義相關(guān)要素

①用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個(gè)幾何體的截面.

②此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線.

③此平面與幾何體的棱(或面)的交集(交點(diǎn))叫做實(shí)截點(diǎn).

④此平面與幾何體的棱(或面)的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)叫做虛截點(diǎn).

⑤截面中能夠確定的一部分平面叫做截小面.

2.作截面的基本邏輯：找截點(diǎn)一連截線一圍截面

3.作截面的具體步驟

(1)找截點(diǎn)：方式1：延長(zhǎng)截小面上的一條直線，與幾何體的棱、面(或其延長(zhǎng)部分)相交，交點(diǎn)即截點(diǎn)

方式2：過一截點(diǎn)作另外兩截點(diǎn)連線的平行線，交幾何體的棱于截點(diǎn)

(2)連截線：連接同一平面內(nèi)的兩個(gè)截點(diǎn)，成截線

(3)圍截面：將各截線首尾相連，圍成截面

三、作截面的幾種方法

(1)直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找交

線的過程。

(2)延長(zhǎng)線法：同一個(gè)平面有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長(zhǎng)至與其他平面相交找到交點(diǎn)。

(3)平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，拖直線所在的面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線

的平行線找到幾何體的截面的交線。

模型演練：如下圖E、F是幾等分點(diǎn)，不影響作圖?？梢韵饶J(rèn)為中點(diǎn)，等完全理解了，再改成任意等分點(diǎn)

方法：兩點(diǎn)成線相交法或者平行法

特征：1.三點(diǎn)中，有兩點(diǎn)連線在表面上.本題如下圖是EF(這類型的關(guān)鍵)；

2.“第三點(diǎn)”是在外棱上，如Ci,注意：此時(shí)合格Ci點(diǎn)特殊，在于它是幾何體頂點(diǎn)，實(shí)際上無論它在何處,

只要在棱上就可以.

方法二：平行線法，做法如下圖.

四、正方體中的基本截面類型

0?6^00

銳角三角形等腰三角形等邊三角形梯形平行四邊形

(1)(2)(3)

006100

二、題型精講精練

【典例1】用一個(gè)平面去截正方體，所得截面不可能是（）

A.直角三角形B.直角梯形C.正五邊形D.正六邊形

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個(gè)平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一與四個(gè)答

案中的圖形進(jìn)行比照，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】

當(dāng)截面為三角形時(shí)，可能出現(xiàn)正三角形，但不可能出現(xiàn)直角三角形；

截面為四邊形時(shí)，可能出現(xiàn)矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現(xiàn)直角梯形；

當(dāng)截面為五邊形時(shí)，不可能出現(xiàn)正五邊形；

截面為六邊形時(shí)，可能出現(xiàn)正六邊形，

故選：ABC.

【典例2】己知正四棱柱A8CD-A4GR中，BE=^BBt=2,4AB=3AAt,則該四棱柱被過點(diǎn)C,E

的平面截得的截面面積為.

【答案】12M

【分析】在。2上取點(diǎn)尸，使得，尸=2,連接則四邊形AEC廠是平行四邊形，

由勾股定理可得A2CE,AC,再結(jié)合余弦定理與面積公式即可求解

【詳解】由題意，正四棱柱ABCD-agGR中，BE=：BBi=2,4AB=3AAt,

可得441=84=。6=8,8￡=2,在。2上取點(diǎn)尸，使得。尸=2,連接ARCP,則有A尸=CE,A尸//CE,

所以四邊形4ECF是平行四邊形，由勾股定理可得

AE=V62+62=6近,CE=V22+62=2A/10,=762+62+82=2A，

212

匚匕I、I/廠廠A￡,+CE—AC72+40—136A/5.195nn5TlyA77^77曰b

所以cosAAAfiC=丘二1—=----『——7==——-，所以sinZA.EC=-一，所以四邊形AECF是平

2A石xCE2x6V2x2V1010"10

行四邊形的面積為4ExECxsin/AEC=6后x2Vi?x券=12加，故答案為：12M

【典例3］如圖，在正方體4BCO-A4GQ中，AB=4,E為棱BC的中點(diǎn)，尸為棱44的四等分點(diǎn)(靠

近點(diǎn)2),過點(diǎn)AE,尸作該正方體的截面，則該截面的周長(zhǎng)是

［答案］9、+25+2亞

3

【分析】首先根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理作出過點(diǎn)AE，尸的正方體的截面，從而求截面的周長(zhǎng).

【詳解】如圖，取G2的中點(diǎn)a,取CG上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)G,

連接AE,EG,GH,HF,FA,易證AE〃止,A尸〃EG,則五邊形AEGHF為所求截面.

84

因?yàn)锳B=4,所以BE=CE=QH=［fl=2,AF=3,DF=1,CG=m,QG=~

則AE=2岔,EG=:，GH=冬43,m=&AF=5,故該截面的周長(zhǎng)是

33

人廠+25+2J13戰(zhàn)死小49y+25+2J13

AE+EG+GH+HF+AF=------------------?故答案為：—-----------

33

【典例4】已知三棱錐A-BCD的所有棱長(zhǎng)均相等，四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，平面。經(jīng)過棱AB,AC,

S

AD的中點(diǎn)，若平面。截三棱錐A-bCD和球。所得的截面面積分別為耳，52,則肅=（）

A.巫B.至C.—D.—

8萬16萬87r64萬

【答案】B

【分析】根據(jù)平面截三棱錐A-BCD所得三角形為正三角，即可求出三角形面積及外接圓面積，即可求解.

【詳解】設(shè)平面a截三棱錐A-3CD所得正三角邊長(zhǎng)為a,截面圓的半徑為r,則

由正弦定理可得=王a,."2=W2=當(dāng)十病’故選：B

sin60033

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

1.截面形狀問題

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）用一平面去截一長(zhǎng)方體，則截面的形狀不可能是（）

A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形

【答案】D

【分析】用平面去截正方體時(shí)最多和六個(gè)面相交得六邊形.

如圖，用平面去截正方體時(shí)最多和六個(gè)面相交得六邊形，

因此截面的形狀可能有：三角形、四邊形、五邊形、六邊形,

不可能為七邊形，

故選:D.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知在正方體ABCD-AAGA中，E,F,G分別是AB,BBt,8c的中

點(diǎn)，則過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【分析】利用平行畫出截面，進(jìn)而判斷出正確答案.

【詳解】分別取QG、RD、的中點(diǎn)以、M.N,連接G”、HM、MN,

??,在正方體中，E,F,G分別是AB,BBt,Bg的中點(diǎn),

:.HG//EN,HMIIEF,FG//MN,

；.六邊形EFGHMN是過E,F,G這三點(diǎn)的截面圖,

過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是六邊形.

故選:D

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知在長(zhǎng)方體ABC。-$耳GR中，AB=BB1=2BC,點(diǎn)、P,Q,T分別在棱

BBi，CG和A3上，且耳尸=3族，CQ=3GQ,BT=3AT,則平面PQT截長(zhǎng)方體所得的截面形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】C

【分析】連接QP并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)連接ET并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)S,

過點(diǎn)S作SR//EQ交于點(diǎn)R,連接RQ,即可得到截面圖形，從而得解.

【詳解】如圖連接0P并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接ET并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)S,

過點(diǎn)S作SR//EQ交。2于點(diǎn)R,連接EQ,

則五邊形PQRST即為平面PQT截該長(zhǎng)方體所得的截面多邊形.

其中因?yàn)椤鯞IP=3BP,CQ=3ClQ,BT=3AT,

EBBP11

所以AEBPSWCQ,貝1!萬=方=>所以E3=48C,

ECCQ32

又ASATSAEBT,所以豈=絲=1，所以SA=!匹=4A。，

EBTB336

則SD=9AD,

6

顯然ASDRSAECQ,貝！］蹊=笠，所以。R=:QC=1；CG=3DR.

“91212

故選：C

4.（2023秋?江蘇南京?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在正方體ABCD-A與GR中，過點(diǎn)8的平面a與直線A。垂直，

則a截該正方體所得截面的形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】A

【分析】作出輔助線，證明出即，平面相C，所以即，4C,同理可證明BC」AC,得到4C_L平面BCQ,

故平面a即為平面BG。，得到截面的形狀.

【詳解】連接B28G，G2AC,

因?yàn)锳A]J_平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以AA

又四邊形A3CZ）為正方形，所以AC_LB￡>,

又A41nAe=A,A4，ACu平面AAC，

所以BO,平面AAG，

因?yàn)锳Cu平面AAXC,

所以BO_LAC,

同理可證明8GAC,

因?yàn)?8G，8。u平面BCQ,

故AC，平面BCQ,

故平面。即為平面BCQ,

則a截該正方體所得截面的形狀為三角形.

5.（2023?河南?模擬預(yù)測(cè)）在正方體A8CO-中，M,N分別為A。，GQ的中點(diǎn)，過M,N,與三

點(diǎn)的平面截正方體ABC。-&與GA所得的截面形狀為（）

A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形

【答案】B

【分析】在A8上取點(diǎn)Q,且BQ=3AQ,取C。中點(diǎn)為P,在上取點(diǎn)R,且，R=3".通過AQAMSAPCB,

可得NAQM=N3PC,進(jìn)而得出NABP=NAQM,〃BP.通過證明耳N〃BP,得出4N〃QM.同理得

出NR〃瓦Q,即可得出正方體的截面圖形.

在上取點(diǎn)。，且8Q=3AQ,取CD中點(diǎn)為P,連接用0.

在。2上取點(diǎn)R,且RR=3OR,連結(jié)NR,MR.

因?yàn)橛?AM=2/QAM=NPCB,

BC2

所以AQU/SAPCB,所以NAQW=/BPC.

又AB"CD,斫以ZABP=ZBPC,所以ZABP=ZAQW,

所以，。河〃BP.

因?yàn)镸P分別為GA，8的中點(diǎn)，所以PN〃cq,且PN=CG.

根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知BBl〃CG,且BBi=eg,

所以，PN//BB},且PN=BB],

所以，四邊形BPNq是平行四邊形，

所以，B.N//BP,所以4N〃QM.

同理可得，NR〃BQ.

所以，五邊形QMRN用即為所求正方體的截面.

故選：B.

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在如圖所示的棱長(zhǎng)為20的正方體ABCD-ABGR中，點(diǎn)/為的中點(diǎn),

點(diǎn)尸在側(cè)面ADQA上，且到4。的距離為6,到AA的距離為5,則過點(diǎn)尸且與AM垂直的正方體截面的形

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】B

【分析】根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，以及正方體的截面的性質(zhì)、平面的基本性質(zhì)，即可求解.

【詳解】如圖所示，過點(diǎn)P作匹〃AR分別交斜,。。于點(diǎn)E尸，因?yàn)锳LUA。，可得E/FA。，

在正方體ABC。-4月6。中，平面ADR4,所以EF上CD

又cr>nao=o,所以EF1平面MD\,AD1平面MD\，所以AQ，所

過尸作交于AA點(diǎn)K,則尸K=6,設(shè)KF=x

,FKKPx6

則AE=4憶所以三丁=即仁=79，則x=6

%A^EAiEA/

所以4f=4長(zhǎng)+什=5+6=11

在正方形4BCA中，取CQ的中點(diǎn)叫，連接町明，4陷

則VA]M12與VD1GN,則ZDlAlMl=ND￡

所以NNDM+=NNDM+=90。,即A.M,±DXN

取4G的中點(diǎn)N,過F作FH//D]N交B?于點(diǎn)H,連接"N,則人”|，制

又MM,1平面42c2，所以MMi，F(xiàn)”,由腦%cAM=M

所以ML平面所以五H，A/

又EFcFH=F,所以4M_L平面EFH

連接BG，過H作“G//BCi,由BCJ/AQ,則3。"/產(chǎn)七，所以HG//FE（且HGrFE）

連接EG,則四邊形EfHG為梯形，所以4加，平面EFHG

所以截面的形狀為四邊形邊形ETHG.

故選:B.

7.（2023?上海?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，長(zhǎng)方

形ABC。為底面，則四邊形EFGH的形狀為（）

A.梯形B.平行四邊形

C.可能是梯形也可能是平行四邊形D.不確定

【答案】B

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，結(jié)合面面平行的性質(zhì)有"G//EEE"〃尸G,即知EFG”的形狀.

【詳解】由長(zhǎng)方體的性質(zhì)：各對(duì)面平行，易知HG//EF,EHUFG,

E尸GH為平行四邊形.

故選：B

2.求截面的面積

一、單選題

1.（2022春?山西朔州?高一?？茧A段練習(xí)）在正方體ABCD-4耳CQ中，棱長(zhǎng)為3,E為棱B耳上靠近耳的

三等分點(diǎn)，則平面AE2截正方體的截面面積為（）

A.2vHB.4A/TTC.2叵D.4A/22

【答案】C

【分析】根據(jù)題意運(yùn)用基本事實(shí)作出截面，根據(jù)截面的幾何特征求其面積即可.

【詳解】延長(zhǎng)AE,44交于點(diǎn)尸，連接2尸交耳￡于點(diǎn)G,如圖，

在正方體ABCD-A耳6,中，面ADDN面BCCR,

?.?面AFDt0面ADD,4=AD,,面AFD}口面BCG瓦=EG

:ADJ/GE,又?,2=3&,GE=0

，四邊形AEGDI是梯形，且為平面AER截正方體ABCD-A耳6。的截面.

又?:RG=AE=屈,在等腰梯形AEGR中，過G作

GH=J〃好-'爐=而

.?.S=1.（AD1+EG）-GH=1.（V2+3A/2）.^T=2A/22.

故選：C.

2.（2022秋.安徽合肥.高三統(tǒng)考期末）已知正方體ABC。-$耳C.的棱長(zhǎng)為2,M、N分別為A再、4G的

中點(diǎn)，過M,N的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（）

C3710一9

A.2A/2B.2A/5D.-

,22

【答案】D

【分析】畫出圖形,可得最大面積的截面四邊形為等腰梯形MNCA，根據(jù)梯形的面積公式求解即可.

【詳解】如圖所示,最大面積的截面四邊形為等腰梯形MNC4,

其中MN=Ji,AC=26,,AM=CN=5高為九=

故面積為gx（&+2&b半=|

故選:D.

3.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考一模）如圖，正方體ABC。-ABIGP的一個(gè)截面經(jīng)過頂點(diǎn)AC及棱4耳上一點(diǎn)K,

截面將正方體分成體積比為2:1的兩部分，則英的值為（）

AJDJ

n3-V5

C.LJ,--------------

3222

【答案】C

【分析】畫出截面,得到截面把正方體分為三棱臺(tái)ABC-KB.M和另一幾何體,根據(jù)棱臺(tái)體積公式求出KB1,

進(jìn)而求出的值.

【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,KBL，

如圖所示，該截面把正方體分為幾何體A8C-K與M和另一幾何體,

由面面平行的性質(zhì)可知：KMHAC,

延長(zhǎng)A&CM,相交于點(diǎn)。，則Oe平面A陰A，且Oe平面8CC4,

又平面ABB.AP平面BCCXBX=BBt,

所以。在直線B片上，即AK,CM,2與三線共點(diǎn)，

所以幾何體為三棱臺(tái)，

其中三棱臺(tái)ABC-K耳M上底面積是1一，下底面積為高等于1,

所以丫=]?石才文14解得：戶”，

75-1_3-754K_3-若275-1

所以AK=1-%51-

22'g-22

故選：C

4.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）已知三棱錐P-ABC的所有棱長(zhǎng)均為3,球。與棱B4,PB,PC都相切,

且平面ABC被球。截得的截面面積為2兀，則球。的半徑為（）.

A.1B.72C.20D.6,或2垃

【答案】B

【分析】過點(diǎn)P向底面ABC作垂線，垂足為。1,連接A。，由球O截平面ABC所得的截面面積為2兀，

得截面圓的半徑為0,設(shè)球o的半徑為R,得=i,過O作PA的垂線，垂足為D,得△尸A。1

POODL

sMOD,可得37=777，進(jìn)而求得衣=應(yīng).

jr/l/1CX）

【詳解】過點(diǎn)P向底面ABC作垂線，垂足為。一連接AQ,則球心O在線段PQ或其延長(zhǎng)線上，

。1為正&4BC的中心，貝!IAQ=：*#48=百，PQ=彩狀-AO；=底.

設(shè)球O的半徑為R,因?yàn)榍騉截平面ABC所得的截面面積為2兀,

所以截面圓的半徑為所以一2,7?>V2.

過O作PA的垂線，垂足為D,則00=7?,

POOP

△FA。s^PQD,所以TT為.

①當(dāng)點(diǎn)O在線段pq上時(shí)，"”一2=4即飛代一2=底一圓，

貝!IR2-3揚(yáng)?+4=0，且后-而?20,解得R=0;

②當(dāng)點(diǎn)在線段尸《的延長(zhǎng)線上時(shí)，#+收-

O2=4即依_2=?_瓜

貝（I-3'$/^/?+4=0，-0.\/37?—\/6>0,解得R=或R=,

當(dāng)尺=行時(shí)，點(diǎn)O,。1重合，此時(shí)點(diǎn)O不在線段PQ的延長(zhǎng)線上，故舍去；當(dāng)R=20時(shí)，切點(diǎn)D不在棱

綜合①②可知，R=0,

故選:B.

5.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若球。是正三棱錐A-3CD的外接球,

3。=3,42=2百，點(diǎn)￡在線段及1上，BA=3BE,過點(diǎn)E作球。的截面，則所得的截面中面積最小的截面

的面積為（）

,8兀4兀

A.——B.2KC.—D.兀

33

【答案】A

【分析】設(shè)。是球心，O'是等邊三角形BCD的中心，在三角形O。。'中，^OO'-+DO'~=OD2,可求得

R=OD=2,再利用廠2=R2-O?2可得過后且垂直O(jiān)E的截面圓最小即可.

如圖所示，其中。是球心，O'是等邊三角形BCD的中心，

可得OB=（7D=FBC=6,AO=JAB。-OB。=3,

設(shè)球的半徑為R,在三角形0D。'中，由OO=+￡>O"=。￡）2,

即（3-尺）2+（右）2=屋，解得尺=2,即AO=2,

所以O(shè)N=3。。，

因?yàn)樵谌算@。'中，O'A=3O'O,BA=3BE,

所以，OE//O'B,OE=-O'B=^~,

33

由題知，截面中面積最小時(shí)，截面圓與0E垂直，

AO

設(shè)過E且垂直0E的截面圓的半徑為小貝!］一=代一。片=4一三=|,

所以，最小的截面面積為無一=與.

故選：A

6.（2023?四川內(nèi)江?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知球。是正三棱錐A-BCD（底面是正三角形，

頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=6=點(diǎn)E是線段8c的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球。的

截面，則所得截面面積的最小值是（）

【答案】A

【分析】如圖，。］是A在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，當(dāng)截面垂直于0E時(shí)

截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.

【詳解】如圖：

。1是A在底面的射影’由正弦定理得‘△BCD的外接圓半徑「二磊=L

由勾股定理得棱錐的高|AQ|=萬萬=1設(shè)球。的半徑為R,

貝1]R2=(I—R『+I,解得R=I,

所以1。。卜0,即2與。重合,

所以當(dāng)過點(diǎn)E作球O的截面垂直于0E時(shí)，截面面積最小，

此時(shí)截面半徑為怛閔=心，截面面積為子.故選：A.

1124

7.（2023秋?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-中，M,N

分別為棱AR,OR的中點(diǎn)，過MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（）

【答案】C

【分析】易得正方體外接球的球心在其中心點(diǎn)。處，要使過的平面截該球得到的截面面積最小，則截

面圓的圓心為線段的中點(diǎn)。求解.

【詳解】解：如圖，

正方體外接球的球心在其中心點(diǎn)。處，球的半徑R」?+12+F=

22

要使過的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段MN的中點(diǎn)

連接。M,ON,則OM=ON=MN=顯,

2

所以O(shè)Q==當(dāng)，

此時(shí)截面圓的半徑r=^R2-OQ2=當(dāng)，

此時(shí)，截面面積的最小值5=兀，=gTT.

O

故選：C.

8.(2023?四川成都?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在三棱錐V—ABC中，平面E4C,VA=1,AB=AC=W

COSNW1C=變，點(diǎn)/為棱AV上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作三棱錐V-ASC的截面，使截面平行于直線VB和AC,當(dāng)

2

該截面面積取得最大值時(shí)，b=()

A.叵B..

32

rVnD.叵

43

【答案】B

【分析】通過作平行線作出題中的截面，并結(jié)合線面平行以及線面垂直說明其為矩形，利用三角形相似表

示出矩形的兩邊長(zhǎng)，并求得其面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定截面面積取得最大值時(shí)參數(shù)的值，解直

角三角形即可求得答案.

【詳解】根據(jù)題意，在平面VAC內(nèi)，過點(diǎn)F作所〃4C,交VC于點(diǎn)E；

在平面VBC內(nèi)，過點(diǎn)E作EQ〃VB,交BC于點(diǎn)Q；

在平面VAB內(nèi)，過點(diǎn)F作ED〃VB,交AB于點(diǎn)D,連接DQ,如圖所示，

E

C

因?yàn)椤闒〃AC,貝（J△VC4s△VE77,設(shè)其相似比為k,即歹7='^=77^二女，

VAVziCx

則EF=瓜;

又因?yàn)閂44=l,AC=y/2）cosZVAC=?

2

由余弦定理得，VC=Jl+2-2xlxV2x^=l,貝！|代2+憶Y=AC2,BPVC1W1.

又3V_L平面L4C,VC,VAu平面儂C,所以3V_LVC,BVLVA.

又AB=金,則3y=1,BC=V2.

A//A。FD

因?yàn)镕D//VB,則/\AFDs/\AVB,則--=——-=---，

AVABVB

同理可得QE=1-左，即。E=FD,

因?yàn)镋Q〃VB,FD//VB,則EQ〃ED,

故四邊形EFDQ為平行四邊形；而EQu平面EFDQ,VBz平面EFQQ,

故VB〃平面EQ,同理AC〃平面EFDQ,

即四邊形E/*Q為截面圖形；

又平面E4C,￡Fu平面VAC,則BV_LEF,

又FD/NB,所以FD_L￡F.

故平行四邊形EH?Q為矩形，則S矩形￡住=口?ED=?-(1-Z)=-4i\k

所以當(dāng)4=5時(shí)，S矩形EF02有最大值，則VTruAVAu/,

在RtATVF中，CF=y/CV2+VF2=Jl+1=^,

故選：B

9.(2023?安徽合肥?統(tǒng)考一模)已知正方體ABCD-A4G。的棱長(zhǎng)為4,M,N分別是側(cè)面CR和側(cè)面BQ的

中心，過點(diǎn)"的平面a與直線ND垂直，平面a截正方體AC】所得的截面記為S,則S的面積為()

A.5A/3B.4A/6C.I屈D.9面

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量確定截面形狀，再計(jì)算截面面積作答.

【詳解】正方體A8CD-AAGA的棱長(zhǎng)為4,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

側(cè)面CDj的中心”(0,2,2),側(cè)面BG的中心N(2,4,2),而￡>(0,0,0),有兩=(2,4,2),

顯然點(diǎn)M在平面。與平面CDDG的交線上，設(shè)尸(0,3為)為這條交線上任意一點(diǎn)，

用=(0,乂-2,4—2),而ND,平面a,則赤?兩=4(必一2)+2(4—2)=0,

即2%+馬=6,令z=0,得點(diǎn)尸(0,3,0),令4=4,得點(diǎn)G(0,l,4),連FG,

平面。與平面ABCD必相交，設(shè)Q(x,y,O)為這條交線上任意一點(diǎn)，而=(x,y-3,0),

由苑-兩=2尤+4(y-3)=0,即尤+2y=6,令x=4,得點(diǎn)"(4,1,0),連FE,

因?yàn)槠矫?月￡2〃平面ABCD,則平面a與平面4月GR的交線過點(diǎn)G,與直線FE平行，

過G作曲//莊交AA于8(/,4),GH=a,-l,0),FE=(4,-2,0),

由曲//厚得f=2,即"(2,0,4),顯然平面a與平面A84A，ADRA都相交，

則平面a與直線A4相交，令交點(diǎn)為K(4,0,〃2),EK=(0,-l,m),由麗.而=-4+2"=0得K(4,0,2),

連接EK,HK得截面五邊形EFGHK,即截面S為五邊形EFGHK,

EF=FG=2EGH=EK=&HK=2貶,取斯中點(diǎn)工(2,2,0),連接GL,EH,則3乙=￡”=萬，

龍心口“小”燈〃EK2+HK2-EH2屈.”打〃V15

在△石HK中，cosZEKH=---------------=--------,smZEKH=----,

2EKHK55

△EHK的面積S^EHK=EKHKsinZEKH=；xj^x2jlx^=76,

女”7小…GF2+LF2-GI}1./「E276

在ArG￡中,cosAGFL=---------------------=—,sinZGFL=-------,

2GFLF55

△FGL邊包上的高/z=PG?sinNGFL=坐,

梯形面積SEQH=L（G"+EE>/7=L（6+26）X半=6#,

22v5

所以S的面積為5=S.EHK+SEFGH=.

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾

何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)

中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.

10.（2023?遼寧沈陽?東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，

AB=BC=CD=DA=2A/2,ZADC=ZABC=90",平面ABC」平面ACD,三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在

球0的球面上，E,F分別在線段OB,CD上運(yùn)動(dòng)（端點(diǎn)除外）,BE=0CF.當(dāng)三棱錐E-ACF的體積最大時(shí)，

過點(diǎn)尸作球。的截面，則截面面積的最小值為（）

L3

A.兀B.C.-7iD.2兀

2

【答案】C

【分析】取AC的中點(diǎn)0,證得。為球心，利用二次函數(shù)求出三棱錐E-Ab的體積最大時(shí)x的取值，當(dāng)紛

垂直于截面時(shí)，截面圓的面積最小，求得截面圓的半徑.

【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)。，連接OF,OB,OD,

因?yàn)?AT)C=NASC=90。，所以O(shè)4=O2=OC=O￡>=1AC,即。為球心,

則球。的半徑R=2,又AB=3C,所以

又平面ABC」平面ACQ,平面ABCc平面AC。=AC,03u平面ABC.

所以QB_L平面ACD,

設(shè)Cb=x,貝！18￡=也尤＜2,所以0cxe近，

所以三棱錐E-Ab的體積

/I—\2

V=-SxOE=-x-CFxADxOE=----242(2-y/2x)=-(y/2x-x2)=--x-—+-.

3sArF32323、'3^2J3

當(dāng)x=YI時(shí),V取得最大值〈，

23

由于。4=O3=OC=OD,在ACOF中，由余弦定理得：

22

OF=VOC+CF-2OC-CFcosZACF=A4+--2x2x^lx^l=眄.

V2222

根據(jù)球的性質(zhì)可知，當(dāng)/垂直于截面時(shí)，截面圓的面積最小,

設(shè)此時(shí)截面圓的半徑為,，所以廠=J/?2一。歹2=

則截面面積的最小值為仃2

故選:C.

11.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為20,SC的中點(diǎn)為￡,

過點(diǎn)E做與SC垂直的平面a,則平面a截正四棱錐S-ABCD所得的截面面積為（）

A.述B.辿C苫D.|

33

【答案】A

【分析】根據(jù)題意垂直關(guān)系可得平面。截正四棱錐S-ABCD所得的截面面為四邊形AMEN,結(jié)合根據(jù)相似

求長(zhǎng)度，進(jìn)而根據(jù)面積公式即可求解.

【詳解】連接ACAE,

由題意可得：SA=SC=AC=2y/2,即ASAC為等邊三角形,

且E為SC的中點(diǎn)，可得AE_LSC,AE=#,

故AEu平面a,

連接80,設(shè)BDcAC=O,連接SO,

可得AC_LBDSO_L平面ABCD,

且班）U平面ABC。，貝

AC^\SO=O,AC,SOu平面&4C,所以班）1平面5AC,

AEu平面SAC,則

在直線SB取一點(diǎn)M,連接AM,ME,使得MELSC,

SB2+SC2-BC28+8-43

在ASBC中，cosZBSC

2SBSC2x20x204

_SEV2_472

因?yàn)镸ELSC,可得cosNBSC一。一3

故5M=2MB,

同理在棱SC取一點(diǎn)N,使得SV=2NC,連接NE,AN,MN,則AELSC,

故平面a截正四棱錐S-ABCD所得的截面面為四邊形AMEN,

—=—=2,則MN//BD,MN=2BD=@^,

MBNC33

由可得上WLAE,

所以四邊形AMEN的面積工=生”

2233

故選：A.

12.（2023春?湖北武漢?高一武漢市第H^一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正四棱錐尸-ABCD的體積為36,底面

ABCD的面積為18,點(diǎn)E、F分別為巴4、PC的中點(diǎn)，點(diǎn)G為尸3的靠近點(diǎn)3的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)E、F、G

的平面將該四棱錐分成上、下兩部分，截面形狀為四邊形，則該四邊形的面積為（）

TB.吁C苧.器

【答案】C

【分析】連接AC、BD,設(shè)ACn3D=O,連接尸。，連接GO】并延長(zhǎng)交尸。于點(diǎn)a,連接GE、GF、HE、

HF,在△尸5￡＞中，過點(diǎn)B作BM//GH交PD于點(diǎn)M,交尸。于點(diǎn)■，過點(diǎn)加作上加，血＞交于點(diǎn)N,

證明出防，G”,計(jì)算出麻、G"的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得截面四邊形的面積.

【詳解】連接AC、BD,設(shè)ACnBD=O,連接P。，

易知尸。為正四棱錐P-ABCD的高，連接E尸交尸。于點(diǎn)Oj.

因?yàn)辄c(diǎn)E、尸分別為E4、PC的中點(diǎn)，則可7/AC,

因?yàn)樗?尸0=9,所以，。為尸。的中點(diǎn).

連接G。并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H,連接GE、GF、HE、HF,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，則AC13。，

因?yàn)镻01平面ABC。，ACu平面ABCD,所以，ACLPO,

因?yàn)槭?rl8。=。，P0、皮）u平面P8D,所以，ACI5??PBD,

因?yàn)镚〃i平面尸&D,所以，ACLGH,則EFJ_G",

四邊形GEHF為所求的截面四邊形，如圖1.

圖1

因?yàn)檎睦忮F尸-45co的體積為36,底面ABC。的面積為18,

所以底面A3CO是邊長(zhǎng)為3亞的正方形，則AC=8。=6,

由匕”cD=gSwc。?尸O=gxl8xPO=36,可得尸0=6,

在△尸的中，過點(diǎn)B作BM//GH交PD于點(diǎn)M,交PO于點(diǎn)。

過點(diǎn)M作MNLBD交BD于點(diǎn)、N,如圖2.

,GHP0.PG2

因?yàn)锽MUGH,則癡廠屜=方=鼠

139

又。I為P0的中點(diǎn)，。為5。的中點(diǎn)，所以尸a=]PO=3,PO2=-PO=-9

93

OO.=PO-PO.=6——=—,OB=OD=3,

22

MNPO6八…MNOO311

所以tanNMDN="=U=?=2,tanZMBD=-----=—2—=—x—=—

DNOD3BNOB232

貝1]=BN=2MN,所以BD=BN+DN=2MN+LMN=，MN=6,

222

故MN=g,所以8N=V，則BM=J-N?+MN2=

35

故四邊形GEHF的面積為SmaEHF=-EF-GH=-x3x^=”好，

四見形2255

故選：c.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個(gè)幾何體的截面，利用平面的

性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問題的關(guān)鍵.

(1)平面的四個(gè)公理及推論；

(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì)；

(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)；

(4)球的截面的性質(zhì).

二、填空題

13.(2023春?河北保定?高一定州一中?？茧A段練習(xí))在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-ABiG。中，若E為棱B片

的中點(diǎn)，則平面AEG截正方體ABCD-4片64的截面面積為.

【答案】2瓜

【分析】作出截面截面AEC/,/為。2的中點(diǎn)，則可得截面AEC/是邊長(zhǎng)為正的菱形，求出其面積即

可.

【詳解】如圖，在正方體ABCD-A用GA中，

平面&DQAII平面B￡CB,

平面AEQ與平面A.D.DA的交線必過A且平行于QE,

故平面AEG經(jīng)過OQ的中點(diǎn)下，連接"，得截面AEC/,

易知截面AEC/是邊長(zhǎng)為正的菱形，其對(duì)角線EE=80=2亞,

AQ=2瓜截面面積S=；A￡xEF=；x2夜x26=2技

故答案為：2器.

AB

D}G

14.(2022?廣西桂林?校聯(lián)考二模)在三棱錐ABC。中，對(duì)棱A3=CO=君，AD=BC=屈,AC=BD=M,

當(dāng)平面a與三棱錐ABCD的某組對(duì)棱均平行時(shí)，則三棱錐ABCD被平面a所截得的截面面積最大值

為.

【答案】3

【分析】每組對(duì)棱棱長(zhǎng)相等，所以可以把三棱錐ABCD放入長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為x,y,z,求出x，V，z,

由線面平行得線線平行，證明當(dāng)瓦RG,〃是所在棱中點(diǎn)時(shí)面積最大，按截面與哪對(duì)棱平行分類討論求得截

面面積的最大值.

【詳解】因?yàn)槊拷M對(duì)棱棱長(zhǎng)相等，所以可以把三棱錐ABCD放入長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為x,y,z,則

舊+y2="&+z?=+z?=屈,貝!]x=l,y=2,z=3.

當(dāng)平面a與三棱錐ABCD的對(duì)棱AB,CD均平行時(shí),截而為四邊形EFGH,ABIIFG〃EH,CD//EF//HG,

AFEFAE

設(shè)二同理￡"=(1T)A&/(或其補(bǔ)角)是異面直線AB,8

ACCDAC

所成的角，

SEFGH=EFEHsinZHEF=t(l-t)AB-CDsinZHEF,其中AB.CDsinZHEF為定值，

111

t(l-t)=-t2+t=-(t-^)2+-^,時(shí)，*1T)取得最大值，即截面跳GH面積最大，此時(shí)E,￡G,"是所

在棱中點(diǎn)，

由長(zhǎng)方體性知最大面積為長(zhǎng)方體上下底面面積的一半g孫=1,