浙江省溫州市十校聯(lián)合體2025屆高三高考適應性月考（二）數學試題（含解析）

浙江省溫州市十校聯(lián)合體2025屆高三高考適應性月考（二）數學試題

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知變量的幾組取值如下表：

X1234

y2.44.35.37

若y與x線性相關，且于=0.8%+。，則實數（）

711913

A.B.—C.-D.—

4444

1a,+a.

2.各項都是正數的等比數列｛%｝的公比qW1,且生,彳。3，%成等差數列，貝!1\的值為（)

1—A/5出+1

A.B.

22

Mi非+］或逐T

C.D.

22-2

丫2

3.已知耳,心是雙曲線C:1的兩個焦點，過點耳且垂直于x軸的直線與。相交于兩點，若

a~

\AB\=42,則AAB8的內切圓半徑為（）

A.也B.2C.述D.空

3333

4.正三棱柱ABC—A與G中，的=后AB，。是6C的中點，則異面直線AD與4。所成的角為（）

71

ABcD.—

-i-7-i2

5.如圖，棱長為1的正方體ABCD-A4G。中，P為線段A4的中點，分別為線段AG和棱4a上任意

一點，則2PAi+J5A/N的最小值為（）

V2

?----B.V2C.V3D.2

2

6.已知AABC是邊長為1的等邊三角形，點。，E分別是邊A6,6c的中點，連接DE并延長到點尸，使得

DE=2石尸，則衣.配的值為（）

D.

8

7.設命題p:Al,/〉211,則—?p為（）

A.Vn>l,?2>2"B.3n<l,n2<2"

C.V?>l,n2<2"D.3n>l,?2<2"

8.設/(九)=?,點0(0,0),4(0,1),4(",/(〃))，n^N-

,設NA。4n=dn對一切neN*都有不等式

半+*+苧+……+嚕—立,則正整數，的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

9.已知橢圓C：[+馬=1（。〉6〉0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,點P（玉Q（—冷—%）在橢圓。上，其

ab

中不＞0,M〉0,若|P0=2|O閭，容2乎，則橢圓c的離心率的取值范圍為（）

0,且、

A.B.(0,76-2]

C.,73-1D.(0,73-1]

2020

10.著名的斐波那契數列｛4｝：1,1,2,3,5,8,滿足％=為=1，?！?2=4+1+?！?，”CN*,若4=Z4,1，

n=\

貝！I左=（）

A.2020B.4038C.4039D.4040

11.要排出高三某班一天中，語文、數學、英語各2節(jié)，自習課1節(jié)的功課表，其中上午5節(jié)，下午2節(jié)，若要求2節(jié)

語文課必須相鄰且2節(jié)數學課也必須相鄰（注意：上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法種數是（）

A.84B.54C.42D.18

f0<2x+y<6

12.若羽y滿足約束條件4。,則z=x+2y的最大值為（)

3<x-y<6,

A.10B.8C.5D.3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2x-y+2<0

13.若變量x,y滿足：x+2y—420,且滿足（f+l）x+?—1）y+r+l=。，則參數f的取值范圍為.

x-3y+ll>0

22

14.已知點尸是橢圓「+==1（?！?〉0）上一點，過點尸的一條直線與圓/+/=/+后相交于43兩點，若存

ab

在點P,使得|?|「31=/—〃，則橢圓的離心率取值范圍為.

15.已知集合A=?Vl,xeZ｝,5=｛川0?%?2｝，則A^\B=.

16.AABC中，角A,瓦C的對邊分別為“,仇c,且A,B,C成等差數列，若b=#>,c=l,則AABC的面積為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）已知橢圓2y+*=1（。〉萬〉0）,上、下頂點分別是4、B,上、下焦點分別是月、工，焦距為2,

點（，11在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若Q為橢圓上異于4、3的動點，過A作與X軸平行的直線/,直線Q3與/交于點S,直線&S與直線A。交

于點P,判斷NSPQ是否為定值，說明理由.

18.（12分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為菱形，物，底面ABC。，ZBAD=60°,AB=PA=4,E是

E4的中點，AG3。交于點O.

p

(1)求證：OE〃平面P3C；

(2)求三棱錐E-PBD的體積.

19.(12分)已知函數=+a---(aeR),g(x)=---.

(1)當。為何值時，X軸為曲線y=/(x)的切線；

⑵用max{ni,〃}表示M、〃中的最大值，設函數/2(x)=max{4(x),xg(x)}(x>0),當0<°<3時，討論網％)

零點的個數.

20.(12分)已知函數/(x)=(x-l)?+ox-alnx

(I)若a2—2討論了⑺的單調性;

(II)若a>0,且對于函數/(x)的圖象上兩點6(%,/(王)),￡(//(%))(%<9)，存在九0?%，%2)，使得函數

Ax)的圖象在x=x0處的切線///《￡.求證：/〈號強.

21.(12分)已知函數/(x)=111(%+1)+曰必.

(1)當a=—1時，求/(%)的單調區(qū)間；

Y+2

⑵若函數/(%)有兩個極值點%，/，且占<%,/(%)為/(%)的導函數，設根=/(々)+」丁?1(為+1),

O

求加的取值范圍，并求加取到最小值時所對應的。的值.

22.(10分)已知設沅=(2cosx,sinx+cosx),n=(A/3sinx,sinx-cosx),記函數/(x)="〃.

(1)求函數/(九)取最小值時x的取值范圍；

(2)設AA3C的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若/(C)=2,c=G，求△ABC的面積S的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

求出H,把坐標(%,y)代入方程可求得a.

【詳解】

_1s—1IQ10511

據題意，得x=w(l+2+3+4)=Q,y=z(2.4+4.3+5.3+7)=1,所以］=0.8xQ+a,所以

故選：B.

本題考查線性回歸直線方程，由性質線性回歸直線一定過中心點丘,亍)可計算參數值.

2.C

【解析】

分析：解決該題的關鍵是求得等比數列的公比，利用題中所給的條件，建立項之間的關系，從而得到公比q所滿足的

等量關系式，解方程即可得結果.

詳解：根據題意有出+囚=2?1/，即如―q—1=0,因為數列各項都是正數，所以“*，而

女士包=工=^^=叵4，故選C.

&+%q1+V52

1

點睛：該題應用題的條件可以求得等比數列的公比心而待求量就是一，代入即可得結果.

q

3.B

【解析】

首先由|AB|=求得雙曲線的方程，進而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長乘以內切圓的半徑即可求

解.

【詳解】

由題意匕=1將X=-C代入雙曲線。的方程，得y=土工則2=&,a=0,0=石,由

aa

|班|明卜忸閶-忸周=2a=2攻，得AAB月的周長為

\AF2\+\BF2\+\AB\=2a+\AF1\+2a+\BFl\+\AB\=4a+2\AB\=6夜，

設AABE,的內切圓的半徑為r,則l_x6、歷r=^x2有xJ5,r=3,

223

本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查三角形的內心的概念，考查了轉化的思想，屬于中檔題.

4.C

【解析】

取用G中點E，連接A￡，CE,根據正棱柱的結構性質，得出A￡〃AD，則NCAE即為異面直線與AC所成

CE

角,求出tan/CAE：4^即可得出結果.

【詳解】

解：如圖，取用G中點￡,連接AE,CE,

由于正三棱柱ABC-A與G，則BBI1底面A與G，

而AEu底面4與。]，所以BB]_LAE，

由正三棱柱的性質可知，』4G為等邊三角形，

所以且AEn3iG=E,

所以平面5與GC,

而ECU平面BBgC,則\ELEC,

則AE〃AD，N4EC=90°,

.?.NCAE即為異面直線AD與4c所成角,

設AB=2,則明=20,AE=BCE=3,

CE3/-

則tan/LCA^E—---—『—>/3,

7F

：.AC\E=-.

故選：C.

本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計算能力.

5.D

【解析】

取AC中點E,過M作板，面AgG。]，可得△/WFN為等腰直角三角形，由AAPMMAAEM，可得PM=EM,

歷

當A/N，5]G時，MN最小，由MF=JMN，故

2

2PM+42MN=2PM+—MN=2（EM+MF）>2AA=2,即可求解.

2l

IJ

【詳解】

取AC中點E，過M作面A/1G2，如圖:

則AAPMMAAEM，故PM=EM，

而對固定的點"，當用￡時，MN最小.

此時由叱，面可知AMFN為等腰直角三角形，MF=-MN，

2

故2PM+6MN=2PM+—MN=2(EM+=2.

I2J

故選：D

本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.

6.D

【解析】

設麗=￡，BC=b>作為一個基底，表示向量詼=L恁=!伍_力，DF=-DE^-(b-a),

22V>24,，

AF=AD+DF=--a+-(^-a)=--a+-b,然后再用數量積公式求解.

24、>44

【詳解】

設BA=a，BC=b，

所以瓦=，恁=工傷—￡),DF^-DE^-(b-a),AF=AD+DF^--a+-(b-a]^--a+-b,

22、,24、，24、,44

__53]

所以赤?反=——ab+-b-b^-.

448

故選：D

本題主要考查平面向量的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

7.C

【解析】

根據命題的否定，可以寫出一P：Vn>l,H2<2\所以選C.

8.A

【解析】

先求得理其=^^=工-——,再求得左邊的范圍，只需產-2f-221,利用單調性解得t的范圍.

nn+nnn+1

【詳解】

.sin28=1J_1

由題意知sinn

7rl+nn2n2+nnn+1

.sin^sin^sin^,sin&,1111111,1^4小品一工，品一

H-----——1----1-------1------F...H----------1------,隨n的土旨大而土白大,

I22232n222334nn+1n+1

-<1------<1,

2n+1

At2-2t-2>l,即產—2，—1>0,又f(t)二產一2"1在G1上單增，f(2)=-l<0,f(3)=2>0,

正整數f的最小值為3.

本題考查了數列的通項及求和問題，考查了數列的單調性及不等式的解法，考查了轉化思想，屬于中檔題.

9.C

【解析】

根據|PQ|=2Q可可得四邊形PFQF2為矩形，設PK=幾，PF?二=根,根據橢圓的定義以及勾股定理可得

4c2mnmn-4c2473

c/22\=+，再分析/=一+一的取值范圍，進而求得2<c/2。再求離心率的范圍即可.

2^a--cjnmnm2a-/)3

【詳解】

設P耳=n,PF2=帆,由玉>0,%〉0,知切<〃，

因為P(4yJ,Q(—七,—yj在橢圓C上,戶。|=2|0尸|=2|06|,

所以四邊形鳥為矩形,。耳=尸工；

由陶可得且<‘<1,

毆33n

由橢圓的定義可得m+〃=2。，加之十幾2=402①，

平方相減可得mn=2(?2-C2)②，

4c2m2+n2mn

由①②得“2，、==+；

2[a—c)mnnm

mn

令A”一+一,

nm

m

令人v=—w—J1,

n|_3)

所以/=丫+丫€12,§:

4c2/473

即2〈(22\Wa，

2(〃-c\3

所以a2—02</<半卜2—/),

所以1—e2<e2<乎(l—e2),

所以!<e2<4-2瓜

2

解得也＜eW百-1.

2

故選：C

本題主要考查了橢圓的定義運用以及構造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.

10.D

【解析】

計算囚+4=。4，代入等式，根據4+2=4+1+?！被喌玫酱鸢?

【詳解】

ai=1,%=2,%=3,故q+%=%，

2020

〃

^2n-l=/+%+…+4039—。4++。7+???+〃4039—〃6+^7+???+〃4039—,*'—"4040，

n=l

故左=4040.

故選：D.

本題考查了斐波那契數列，意在考查學生的計算能力和應用能力.

11.C

【解析】

根據題意，分兩種情況進行討論：①語文和數學都安排在上午；②語文和數學一個安排在上午，一個安排在下午.分別

求出每一種情況的安排方法數目，由分類加法計數原理可得答案.

【詳解】

根據題意，分兩種情況進行討論：

①語文和數學都安排在上午,要求2節(jié)語文課必須相鄰且2節(jié)數學課也必須相鄰，將2節(jié)語文課和2節(jié)數學課分別捆綁,

然后在剩余3節(jié)課中選1節(jié)到上午，由于2節(jié)英語課不加以區(qū)分，此時，排法種數為=18種;

②語文和數學都一個安排在上午，一個安排在下午.

語文和數學一個安排在上午，一個安排在下午，但2節(jié)語文課不加以區(qū)分，2節(jié)數學課不加以區(qū)分，2節(jié)英語課也不

加以區(qū)分，此時，排法種數為=24種.

4

綜上所述，共有18+24=42種不同的排法.

故選：c.

本題考查排列、組合的應用，涉及分類計數原理的應用，屬于中等題.

12.D

【解析】

121

畫出可行域，將Z=x+2y化為y=—萬工+萬,通過平移y=-/X即可判斷出最優(yōu)解，代入到目標函數，即可求出最值.

【詳解】

0<2x+y<6

解:由約束條件4.，作出可行域如圖，

3<x-y<6

|z

化目標函數z=x+2y為直線方程的斜截式,y=-]X+j.由圖可知

1z

當直線y=-QX+/過4(3,0)時,直線在y軸上的截距最大,z有最大值為3.

故選:D

本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域，然后將目標函數轉化為y=ax+bz的形式，在可行域內通過平移

y=ox找到最優(yōu)解，將最優(yōu)解帶回到目標函數即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.—,2

【解析】

2%-y+2Vo

根據變量無，y滿足：卜+2y—420,畫出可行域，由(f+l)x+(f—l)y+f+l=。，解得直線過定點A(—1,0),直

x-3y+ll>0

線繞定點旋轉與可行域有交點即可，再結合圖象利用斜率求解.

【詳解】

2x-y+2<0

由變量龍，y滿足：x+2y-4>0,畫出可行域如圖所示陰影部分,

x-3y+ll>0

由+-l)y+/+l=0,整理得(x+y+l)/+jv—y+l=0,

x+y+l=0

由<解得％=—1,y=0,

x-y+l=0

所以直線?+1）%+?-1）丁+，+1=0過定點4（—1,0）,

2%—y+2<0/、

由</「C，解得。(1,4),

x-3y+ll>0'7

x+2y—4>0,、

由</「八，解得6(—2,3),

x-3y+ll>0'7

要使“+l)x+“—l)y+f+l=0,則與可行域有交點,

當『=1時，滿足條件,

當/W1時，直線得斜率應該不小于AC,而不大于A3,

+1cZ+1C

即---22或----<—3,

1-t1-t

解得—<%<2,且，wl,

3

綜上：參數，的取值范圍為；,2.

故答案為：；,2

本題主要考查線性規(guī)劃的應用，還考查了轉化運算求解的能力，屬于中檔題.

【解析】

設P（%,%），設出直線AB的參數方程，利用參數的幾何意義可得|1>4||尸5匕[/,口,由題意得到/.2尸，據此求

得離心率的取值范圍.

【詳解】

/、x=+tcosa

設尸（七,%）,直線AB的參數方程為.，“為參數）

[y=yQ+tsma

代入圓x2+y2=a2+Z?2,

121

化簡得：t+2（x0cosa++-a-b=0,

.■?IPAWP5|=*=k；+yo-a2-b2\=a2+b2-（君+?）,

?.?焉+y：e[Z?2,a2],

:.\PA\\PB\e\_b~,a2~\,

???存在點尸,使得|巳4|?|尸例=。2—〃，

a2-b2..b2,BPa2..2b2,

a2,,2c2,

.21

..c...—,

2

V2

.1——<e<1，

2

故答案為：,1

本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解，考查直線、圓與橢圓的綜合運用，考查直線參數方程的運用，屬于中檔

題.

15.{0,1}

【解析】

直接根據集合A和集合B求交集即可.

【詳解】

解：A=1x|x<l,xeZ},

B=1x|0<2},

所以4「3={0,1}.

故答案為:{0,1}

本題考查集合的交集運算，是基礎題.

V3

1b.----.

2

【解析】

jr

由4B,C成等差數列得出2=60。，利用正弦定理得。進而得A=一代入三角形的面積公式即可得出.

2

【詳解】

VA,B,C成等差數列，.?.A+C=2B,

又A+8+C=180°,.?.38=180°,8=60°.

ch|jr...71

故由正弦定理——=——.sinC=—*:c<b.\C=—,故A=一

sinCsinB262

所以S^ABC=—be=，

22

故答案為：走

2

本題考查了等差數列的性質，三角形的面積公式，考查正弦定理的應用，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.(1)匕+土=1；(2)/SPQ=上,理由見解析.

432

【解析】

(1)求出橢圓的上、下焦點坐標，利用橢圓的定義求得。的值，進而可求得b的值，由此可得出橢圓的方程；

(2)設點。的坐標為(%,%)(%0/0)，求出直線的方程，求出點S的坐標，由此計算出直線AQ和工5的斜率,

可計算出心°次做的值，進而可求得NSPQ的值，即可得出結論.

【詳解】

(1)由題意可知，橢圓的上焦點為耳(0,1)、K(0,-1),

由橢圓的定義可得2a=+0*=4>可得。=2，:.b=y/a2—1=y/3,

因此，所求橢圓的方程為乙+二=1；

43

22A2

(2)設點。的坐標為(%,%)(%*0)，則,+甘=1，得q=4—十，

1八

______\，4S/

y+2y+2

直線BQ的斜率為凝。二川n一,所以，直線BQ的方程為＞—nx-2,

聯(lián)立<%+20，解得〈為+2,即點S-^-,2,

>=丁'一21%+2J

IAo1》一/

y-2k=2+1=3(%+2)

直線AQ的斜率為做°=7一,直線KS的斜率為雁4/4%

xo

所以，“U一23(%+2)_3(需-4)「才x3...A?！猄,

71

因此，ZSPQ=-.

2

本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中定值問題的求解，考查計算能力，屬于中等題.

18.(1)證明見解析(2)逑

3

【解析】

(1)連接OE,利用三角形中位線定理得到OE〃PC,即可證出?！辍ㄆ矫鍼8C；

⑵由E是孫的中點，叫6廣3—3一9求出S3,即可求解.

【詳解】

(1)證明：如圖所示：

?..點。，E分別是AC,9的中點，

0E是△B4c的中位線,：.OE//PC,

又,/OE<Z平面PBC,PCu平面PBC,

.?.0E〃平面PBC；

(2)解：\"PA=AB=4,：.AE=2,

,底面A3C。為菱形，ZBAD^6Q°,

/?5AABD=—x4x4xsin60°=4^/3,

2

三棱錐E-PB。的體積

本題考查空間線、面位置關系，證明直線與平面平行以及求三棱錐的體積，注意等體積法的應用，考查邏輯推理、數

學計算能力，屬于基礎題.

3

19.(1)?=-；(2)見解析.

4

【解析】

/(xo)

(1)設切點坐標為(/，°)，然后根據《可解得實數。的值;

(2)令工(x)=#(x)=——,gr(x)=xg(%)=In%(%>0),然后對實數。進行分類討論，結合工|卜口

工(1)的符號來確定函數y=h(x)的零點個數.

【詳解】

(1)f(尤)=—x~+a———,/'(x)=—2.x+—~~-

/(Xo)=0

設曲線y=/(x)與x軸相切于點(為,。)，貝卜

1

-XQ+〃----=0

:七,解得<

即《

3

-2、。+裔=°Cl———

4

3

所以，當a=a時，X軸為曲線y=/(x)的切線;

(2)令力(％)=#(%)=一丁+以一；，g1(x)=xg(x)=lnx(x>0),

則/i(x)=max{工(%),.(%)},f\x)=-3x2+a,由<'(x)=0,得無fa

3

當xeajfj時，＜此時，函數y=＜(])為增函數；當xebg+s時，＜'(%)＜0,此時,函數y=＜(x)

為減函數.

\-0<a<3,0<Jy<1.

3

①當工,即當0＜。＜一時,函數y=/z(x)有一個零點;

4

3

②當工,即當a=z時，函數y=〃(x)有兩個零點;

3s

,即當工＜。＜1時，函數y=〃(x)有三個零點;

工⑴<0

工

④當《即當。=:時，函數y=/z(x)有兩個零點;

,即當*<時,

a<3函數y=/i(x)只有一個零點.

4

35

綜上所述，當0＜。＜/或]＜a＜3時，函數y=〃(x)只有一個零點;

35

當a=Z或4=^時，函數y=〃(x)有兩個零點；

35

當Z＜a＜Z時，函數y=〃(另有三個零點?

本題考查了利用導數的幾何意義研究切線方程和利用導數研究函數的單調性與極值，關鍵是分類討論思想的應用，屬

難題.

20.（1）見解析⑵見證明

【解析】

（1）對函數/（%）求導，分別討論。之0,—2<。<0以及a=—2,即可得出結果；

（2）根據題意，由導數幾何意義得到

---------------------------IAj十％2—2

x2-x1-----------------------------x2+x2----------------------

轉化為證明In?>2即可,再令/=個，設g?）=ln/-坐J?〉D，用導數方法判斷出g（。的單調性,

進而可得出結論成立.

【詳解】

⑴解：易得,函數/（九）的定義域為（0,+8）,

r（x）=2（x—1）+/=巨-1）吐“）,

XX

令/'（尤）=。,得X=1或X=_：.

①當。之0時，0<%<1時，r（x）<。，函數/（九）單調遞減；

%>1時,r（x）>o,函數〃無）單調遞增.

此時，/（尤）的減區(qū)間為（0,1）,增區(qū)間為（1,+8）.

②當—2<a<0時，—￡<X<1時，/,（%）<0,函數八%）單調遞減;

0<x<-^|或％>1時，/,（x）>0,函數〃4）單調遞增.

此時，/（%）的減區(qū)間為，增區(qū)間為［。,一舁（1,+8）.

③當a=—2時，x>0時，/'（x）=2（x-1）>0,函數/（%）單調遞增;

此時，/（尤）的減區(qū)間為（0,+8）.

綜上，當aNO時，/（可的減區(qū)間為（0,1）,增區(qū)間為（1,+8）：

當—2<a<0時，〃尤）的減區(qū)間為—■!」，增區(qū)間為0,-￡.（1,+8）；

當a=—2時，”尤）增區(qū)間為（0,+8）.

（2）證明：由題意及導數的幾何意義，得了（%）;左砧二八"八"

X?一玉

22

-1）+但一。依2-(%1-1)+axx-cAwcx

tzln—

二（石+%2-2）+aH--------

X?~I-%2

由（1）中/'（X）得%々］=&+々—2）+a一一

易知，導函數/'（x）=2（x—l）+a—4（a>0）在（0,+8）上為增函數,

所以，要證/<后三，只要證土產;

aln強%2、2億一玉）

即占2a,即證In-->----------

------<一玉玉+%2

x2一石x1+x2

因為馬〉王〉0,不妨令/=三，則g(f)=ln-2a1)?>1).

X1t+l

，/\14"1)2

所以----^-=-----^->0?>1)，

t(r+1)(+1)~

所以g(。在，e(l,+8)上為增函數，

所以g(1)>g(l)=0,即Inf—2(’；)〉0，

所以心智口口In%2

即——>——

t—1%+1

即In三>2(5％).

X[X[+%

田士X，

故有％<1+cX一（得證）.

2

本題主要考查導數的應用，通常需要對函數求導，利用導數的方法研究函數的單調性以及函數極值等即可，屬于?？?/p>

題型.

21.(1)單調遞增區(qū)間為1—1,與人］單調遞減區(qū)間為［老二,+8(2)機的取值范圍是1+ln|,l-ln2^|;對

應的。的值為3.

3

【解析】

(1)當a=—1時，求/'(X)的導數可得函數的單調區(qū)間；(2)若函數f(x)有兩個極值點再，x2,且不<々，利用導函

數-(無)=—匚+辦=竺士竺土1,可得。的范圍，再表達加=/(9)+中.尸(％+1),構造新函數可求加的取值范圍，

x+1x+\8

從而可求加取到最小值時所對應的〃的值.

【詳解】

(1)函數/(X)=/〃(％+1)+￡%2

由條件得函數的定義域：{x|x>-l},

當Q=—1時，/(x)=ln(x+l)-^x2,

1—f—y1

所以：f\x)=--—X=%E,

X+lX+1

尸(?=。時，x=

2

當尤時，f'(x)>0,當xw速三,+8)時，/(x)<0,

則函數了(無)的單調增區(qū)間為：(-1,與人)，單調遞減區(qū)間為：(存+8)；

ar+ar+b

(2)由條件得：x>-l,f\x)=—+ax=,

x+1x+\

由條件得/0)=4+ax+l=o有兩根：％,X2,滿足一1<%<九2，

△>0,可得：avO或。>4；

由〃?0(-1)>。，可得：a>0.

:,a>4,

,??函數9(%)的對稱軸為x=,-1<%<九2，

所以：x2￡(一(，0);

?<,avf+a