中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：整式的乘除

專題1.1整式的乘除

典例精析

【典例1】【知識(shí)回顧】有這樣一類題:

代數(shù)式(1久一y+6+3x-5y-1的值與x的取值無關(guān)，求a的值;

通常的解題方法；

把x,y看作字母，?？醋飨禂?shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0,即原

式=(a+3)x-6y+5,所以a+3=0,即a=-3.

b

圖1圖2

【理解應(yīng)用】

(1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式(2m-3)x+2m2-3m的值與x的取值無關(guān)，求m的值；

(2)已知3[(2x+1)(刀-1)一x(l-3y)]+6(-/+無y-1)的值與x無關(guān)，求了的值；

【能力提升】

(3)如圖1,小長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為°、寬為6,有7張圖1中的紙片按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形

/BCD內(nèi)，大長(zhǎng)方形中有兩個(gè)部分(圖中陰影部分)未被覆蓋，設(shè)右上角的面積為Si，左下角的面積為S2,

當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)變化時(shí)，S「S2的值始終保持不變，求。與6的等量關(guān)系.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)含x項(xiàng)的系數(shù)為0建立方程，解方程即可得；

(2)先根據(jù)整式的加減求出34+6B的值，再根據(jù)含x項(xiàng)的系數(shù)為0建立方程，解方程即可得；

(3)設(shè)4B=x,先求出SiS，從而可得S1—S2，再根據(jù)“當(dāng)AB的長(zhǎng)變化時(shí)，S1一S2的值始終保持不變”

可知Si-52的值與x的值無關(guān),由此即可得.

【解題過程】

解：(1)(2%—3)m+2m2-3x=2mx—3m+2m2—3x

=(2m—3)x—3m+2m2,

???關(guān)于x的多項(xiàng)式(2%—3)m+2m2—3x的值與x的取值無關(guān),

2m—3=0,

解得m=

(2)令4=(2x+l)(x-l)-x(l-3y)=2%2-2%+x-l-x+3%y=2x2+3xy-2%-l,

B=—%2+xy—1,

原式=3Z+68=3(2/+3%y—2%—1)+6(—%2+xy-1)

=6x2+9xy—6%—3—6x2+6xy—6

=15xy—6x—9

=(15y—6)x—9,

???34+6B的值與%無關(guān)，

???15y—6=0,

解得y=I；

(3)解：設(shè)48=%,

由圖可知，S1=a(x-3b)=ax—3ab,S2—2b(x—2d)=2bx—4abf

則Si-S2=ax-3ab—(2bx—4ab)

=ax—3ab—2bx+4ab

=(a-2b)x+ab,

???當(dāng)AB的長(zhǎng)變化時(shí)，Si-S2的值始終保持不變，

???Si—S2的值與％的值無關(guān)，

a-2b=0,

ct—2b.

學(xué)霸必刷

1.(2022春?貴州六盤水?七年級(jí)統(tǒng)考期中)已知。1，。2,。3，…，。2022均為負(fù)數(shù)，則M=31+。2+。3+…+

a2021)(a2+a3----卜。2022)，N=(%+。2+a3----卜a2022)(a2+a3----卜。2021)，則”與N的大小關(guān)系是

()

A.M=NB.M>NC.M<ND.無法確定

2.（2022秋?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)x,y為任意有理數(shù)，定義運(yùn)算：x*y=（x+l）（y+1）-1,得到

下列五個(gè)結(jié)論：@X*y=y*X;@x*y+z=x*y+x*z；③（久+1）*（x—1）=X*X—1；@x*0=0;

⑤（比+1）*（久+1）=x*x+2*x+1.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2022春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)x+y+z=2020,且就^=疏齊=就［，則爐+爐+z3一3xyz=

（）

4.（2022春?江蘇南京?七年級(jí)南京市人民中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，長(zhǎng)為y（cm）,寬為x（cm）的大長(zhǎng)方形被

分割為7小塊，除陰影/,3外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形，其較短的邊長(zhǎng)為5cm,下列

說法中正確的是（）

①小長(zhǎng)方形的較長(zhǎng)邊為y-15；

②陰影/的較短邊和陰影8的較短邊之和為x-y+5；

③若x為定值，則陰影N和陰影B的周長(zhǎng)和為定值；

④當(dāng)％=15時(shí)，陰影/和陰影8的面積和為定值.

A.①③B.②④C.①③④D.①④

5.（2022春?浙江杭州?七年級(jí)統(tǒng)考期中）若a=255,b=344,c=433,d=522,則a,b,c,d的大小

（用（號(hào)連接）.

-V）（泊+H

（）的結(jié)果是.

7.（2022春?浙江杭州?七年級(jí)校考期中）如果（久-1）（久-2）（久-3）（久-4）+爪是一個(gè)完全平方式，那么

m—______

8.（2022秋?湖南長(zhǎng)沙?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若。+6+。=0,a3+b3+c3^0,貝U

23

a+b23+c23=.

9.（2022秋?上海?七年級(jí)專題練習(xí)）若a,b,c滿足a+b+c-1,a2+b2+c2—2,a3+b3+c3-3,

則a4+/?4+C4=

10.（2022春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）建黨100周年主題活動(dòng)中，702班潺潺設(shè)計(jì)了如圖1的“紅色徽章”其

設(shè)計(jì)原理是：如圖2,在邊長(zhǎng)為a的正方形EFGH四周分別放置四個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形，構(gòu)造了一個(gè)大正

方形ABCD,并畫出陰影部分圖形，形成了“紅色徽章”的圖標(biāo).現(xiàn)將陰影部分圖形面積記作Si，每一個(gè)邊長(zhǎng)

為匕的小正方形面積記作S2,若SI=6S2,貝吟的值是.

11.（2022秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若（/+3小久-：）（/一3x+幾）的積中不含有乂與爐項(xiàng).

（1）直接寫出小、九的值，即m,n-；

（2）求代數(shù)式（一2n尸+（9mn）2+（3加產(chǎn)14n2016的值.

12.(2020春?浙江杭州?七年級(jí)?？计谥?回答下列問題：

(1)填空：

(a—b)(a+b)—；

(a-b)(a2+ab+b2)=；

(a—b)(a3+a2b+ab2+b3)=.

(2)猜想：

(a-b)(an-1+an-2b++abn~2+bn-1)=.(其中n為正整數(shù)，且九22)；

(3)利用(2)猜想的結(jié)論計(jì)算：

①21°+29+28+27+…+23+22+2；

②210-29+28-27+…-23+22-2.

13.（2022春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+22+...+2202。+22。21的值，采

用以下方法：

設(shè)S=l+2+22+.?.+22020+22021①

貝112s=2+22+.?■+22021+22022②

②一①得，2S—S=S=22°22一1.

請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問題：

（1）2+22+…+220=.

（2）求l+g+表+…++擊=;

（3）求（-2）+（-2）2+…+（-2）1。。的和;（請(qǐng)寫出計(jì)算過程）

（4）求a+2a2+3a3H--Fnan的和（其中a大。且aKl）.（請(qǐng)寫出計(jì)算過程）

14.(2022秋?湖南永州?七年級(jí)?？计谥?規(guī)定兩數(shù)a,b之間的一種運(yùn)算，記作(a,b),如果招=6.我們

叫(a力)為“雅對(duì)”.

例如：因?yàn)?3=8,所以(2,8)=3.我們還可以利用“雅對(duì)”定義說明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立.證明

如下：

設(shè)(3,3)=叱，(3,5)=71,貝歸機(jī)=？，3n=5,故3m?3"=3巾+"=3x5=15,

則(3,15)=m+n,即(3,3)+(3,5)=(3,15).

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(2,4)=；(5,1)=；(3,27)=.

(2)計(jì)算(5,2)+(5,7)=,并說明理由.

(3)利用“雅對(duì)”定義證明:(2幾,3與=(2,3),對(duì)于任意自然數(shù)幾都成立.

15.(2022春?江西撫州?七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))我們學(xué)過單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，那么多項(xiàng)

式除以多項(xiàng)式該怎么計(jì)算呢？我們也可以用豎式進(jìn)行類似演算，即先把被除式、除式按某個(gè)字母的指數(shù)從

大到小依次排列項(xiàng)的順序，并把所缺的次數(shù)項(xiàng)用零補(bǔ)齊，再類似數(shù)的豎式除法求出商式和余式，其中余式

為0或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù).

例：計(jì)算(8/+6x+1)+(2x+1),可依照672+21的計(jì)算方法用豎式進(jìn)行計(jì)算.因此(8爐+6x+1)4-

(2x+1)=4x+1.

422x+l

——0

0

(1)(爐+4/+5x-6)+(x+2)的商是,余式是.

(2)利用上述方法解決：若多項(xiàng)式2/+4x3+ax2+8x-b能被久2-x+1整除，求小值.

(3)已知一個(gè)長(zhǎng)為2),寬為(尤-2)的長(zhǎng)方形若將它的長(zhǎng)增加6,寬增加a就得到一個(gè)新長(zhǎng)方形8,

此時(shí)長(zhǎng)方形3的周長(zhǎng)是/周長(zhǎng)的2倍(如圖).另有長(zhǎng)方形C的一邊長(zhǎng)為(比+10),若長(zhǎng)方形8的面積比C

的面積大76,求長(zhǎng)方形C的另一邊長(zhǎng).

16.(2022春?浙江金華?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以

得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.例如圖1可以得到(4+6)2=a2+2ab+b2,請(qǐng)解答下列問題:

(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；

(2)利用(1)中得到的結(jié)論，解決下面的問題:若a+b+c=15,ab+ac+be-35,則a?+b2+c2=；

(3)小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為。的正方形，y張邊長(zhǎng)為6的正方形，z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙

片拼出一個(gè)面積為(2a+b)(a+2b)長(zhǎng)方形圖形，則x+y+z=.

(4)如圖4所示，將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為。和6的正方形拼在一起，B,C,G三點(diǎn)在同一直線上，連接力G和

GE,若兩正方形的邊長(zhǎng)滿足a+%=12,ab=20,你能求出陰影部分的面積嗎？

17.（2022秋?江蘇常州?七年級(jí)校考期中）已知7張如圖1所示的長(zhǎng)為a,寬為6（a>b）的小長(zhǎng)方形紙片,

按圖2的方式不重疊地放在矩形力BCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個(gè)矩形）用陰影表示.設(shè)左上角與右下角

的陰影部分的面積的差為S.設(shè)BC=t.

（'1）用a、b、t的代數(shù)式表示S=.

（2）當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，如果S始終保持不變，則a、b應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是什么？

（3）在（2）的條件下，用這7張長(zhǎng)為a,寬為b的矩形紙片，再加上比張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片，y張邊

長(zhǎng)為b的正方形紙片（x,y都是正整數(shù)），拼成一個(gè)大的正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），

則當(dāng)x+y的值最小時(shí)，求拼成的大的正方形的邊長(zhǎng)為多少（用含匕的代數(shù)式表示）？并求出此時(shí)的x、y

的值.

18.（2022春?四川達(dá)州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）把圖1的長(zhǎng)方形看成一個(gè)基本圖形，用若干相同的基本圖形進(jìn)行

拼圖（重合處無縫隙）.

圖1圖2圖3圖4

（1）如圖2,將四個(gè)基本圖形進(jìn)行拼圖，得到正方形4BCD和正方形EFG”，用兩種不同的方法計(jì)算圖中

陰影部分的面積（用含。，6的代數(shù)式表示），并寫出一個(gè)等式；

（2）如圖3,將四個(gè)基本圖形進(jìn)行拼圖，得到四邊形MNPQ,求陰影部分的面積（用含0,6的代數(shù)式表示）;

（3）如圖4,將圖3的上面兩個(gè)基本圖形作為整體圖形向左運(yùn)動(dòng)x個(gè)單位，再向上運(yùn)動(dòng)2b個(gè)單位后得到一

個(gè)長(zhǎng)方形圖形，若AB=b,BC把圖中陰影部分分割成兩部分，這兩部分的面積分別記為Si，S2,若m=Si-

52，求證：加與X無關(guān).

19.（2022春?江蘇泰州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，4張長(zhǎng)為x,寬為〉（x>y）的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)邊

長(zhǎng)為（x+y）的正方形48CZX

（1）當(dāng)正方形/BCD的周長(zhǎng)是正方形EFGH周長(zhǎng)的三倍時(shí)，求工的值；

y

（2）當(dāng)空白部分面積是陰影部分面積的二倍時(shí)，求三的值；

y

（3）在（2）的條件下，用題目條件中的4張長(zhǎng)方形紙片，機(jī)張正方形紙片和"張正方形麻HG紙

片（加，〃為正整數(shù)），拼成一個(gè)大的正方形（拼接時(shí)無空隙、無重疊），當(dāng)加，〃為何值時(shí)，拼成的大正

方形的邊長(zhǎng)最小？

20.（2022春?廣東佛山?七年級(jí)統(tǒng)考期末）