10極坐標(biāo)與參數(shù)方程

10極坐標(biāo)與參數(shù)方程1．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）且曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求的極坐標(biāo)方程；(2)點極坐標(biāo)為為上的一點，且滿足，求．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先根據(jù)參數(shù)方程消去參數(shù)得到普通方程，再利用化為極坐標(biāo)的公式可得極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)出的坐標(biāo)，利用余弦定理可求出答案.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)后得，的普通方程為，由曲線過原點且得；故的普通方程為，把，代入得的極坐標(biāo)方程為．（2）由題意，在極坐標(biāo)系中，點在曲線上，設(shè)．在中，由余弦定理有，即，化簡得．故或．2．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）在直角坐標(biāo)系中，曲線M的方程為，曲線N的方程為，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線M，N的極坐標(biāo)方程；(2)若射線與曲線M交于點A（異于極點），與曲線N交于點B，且，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求解曲線和的極坐標(biāo)方程；（2）將代入曲線和的方程，求得和，結(jié)合題意求得，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，即，又由，可得，所以曲線M的極坐標(biāo)方程為．由，可得，即，即曲線N的極坐標(biāo)方程為.（2）解：將代入，可得，將代入，可得，則，因為，所以，又因為，所以．3．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┰谥苯亲鴺?biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，常數(shù)，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的方程為.(1)寫出的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線和相交于兩點，以為直徑的圓與直線相切，求的值.【答案】(1)的極坐標(biāo)方程為，，的直角坐標(biāo)方程為(2)【分析】（1）消去參數(shù)得到的普通方程，再利用公式得到極坐標(biāo)方程，注意定義域，再求出的直角坐標(biāo)方程；（2）將代入的極坐標(biāo)方程，求出的坐標(biāo)，得到為直徑的圓的圓心和半徑，根據(jù)相切關(guān)系得到方程，求出答案.【詳解】（1）將曲線的參數(shù)方程消去，得的普通方程為，且因為，所以，將，，代入，得，即，，即為的極坐標(biāo)方程，由直線的方程化簡得，化簡得，即為的直角坐標(biāo)方程.（2）將直線代入，得，即.故以為直徑的圓圓心為，半徑.圓心到直線的距離，由已知得，解得.4．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，其中.(1)求的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(2)直線與曲線交于A，兩點，且A，兩點對應(yīng)的極角分別為，，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)果；（2）先將的極坐標(biāo)方程寫出，再與聯(lián)立解方程，由圖象分析即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由得，消去得為的普通方程；由，得，令，，得為直線的直角坐標(biāo)方程.（2）在中，令，，所以，即為的極坐標(biāo)方程，聯(lián)立得，所以，所以，又，所以，所以或或或，解得或或或，由圖可知，兩交點位于第一、四象限，所以或，所以.5．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線及曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點在曲線上，點在曲線上，求的最小值.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由曲線的參數(shù)方程通過將兩個式子兩邊分別平方再相減可消去參數(shù)，得到曲線的普通方程；對于曲線先化為，再利用公式直接化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）根據(jù)曲線是以為圓心，的圓，則，設(shè)，利用兩點距離公式建立，令，從而利用二次函數(shù)即可求得最小值.【詳解】（1）由變形得，則有曲線的直角坐標(biāo)方程為，，即，由代入得，，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）由（1）得曲線是以為圓心，的圓，設(shè)，則，設(shè)，當(dāng)時，，.6．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點，曲線與相交于兩點，求.【答案】(1)曲線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為(2)【分析】（1）根據(jù)曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)求得曲線的普通方程，再由曲線的極坐標(biāo)方程，結(jié)合直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式，求得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）把直線的參數(shù)方程化簡為標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程（為參數(shù)），代入曲線，結(jié)合參數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】（1）解：由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)得；又由曲線的極坐標(biāo)方程為，即根據(jù)，可得曲線直角坐標(biāo)方程為.（2）解：曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），即（為參數(shù)），代入，整理得，所以，.故.7．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程，曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點，曲線，的交點為A，，求的值.【答案】(1)詳見解析；(2)5【分析】（1）利用參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化規(guī)則求得曲線的普通方程；利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化規(guī)則求得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）先利用點M求得曲線的參數(shù)方程，再利用參數(shù)t的幾何意義和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可求得的值.【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則曲線的普通方程為；曲線的極坐標(biāo)方程為，即，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，整理得；（2）曲線的普通方程為，點在曲線上，則曲線的一個參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，整理得，A，對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，則.8．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考三模）已知點在曲線上．(1)求動點的軌跡C的參數(shù)方程，并化為直角坐標(biāo)方程；(2)過原點的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點，且，求直線l的斜率．【答案】(1)參數(shù)方程為，為參數(shù)；直角坐標(biāo)方程為(2)【分析】（1）先將曲線化為參數(shù)方程，可得到動點，從而得到點M的軌跡C的參數(shù)方程，再轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）先設(shè)l的參數(shù)方程，再代入曲線C的方程得，再結(jié)合韋達(dá)定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可．【詳解】（1）由題意，曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，則，再設(shè)，則，為參數(shù)，消去參數(shù)，得到，故點M的軌跡C的方程為．（2）設(shè)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），且，代入曲線C的方程得，設(shè)A，B兩點對應(yīng)得參數(shù)分別為，，則，所以，則，即直線l的斜率為．9．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)已知點是曲線上的任意一點，求點到直線的距離的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）消去參數(shù)，即可到曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，再將曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程；（2）將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求圓心到直線的距離，判斷直線與圓的位置關(guān)系，再求點到直線的距離的最小值．【詳解】（1）由，可得，將兩式平方相加可得，，所以的普通方程為，即所以曲線以為圓心，半徑為2的圓，由，，可得可化為，所以曲線的極坐標(biāo)為．（2）直線的極坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為，因為圓的半徑為2，且圓心到直線的距離，因為，所以圓與直線相離，所以圓上的點到直線的距離的最小值為．10．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┰谥苯亲鴺?biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)已知直線l與x軸的交點為P，l與C交于A，B兩點，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去即可；由l的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為，再將，代入求解；（2）由點P的坐標(biāo)為，可設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入C的普通方程，利用直線參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】（1）解：由題得，C：，故C的普通方程為．l的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為，即將，代入l的直角坐標(biāo)方程為．（2）可知點P的坐標(biāo)為，故可設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,代入C的普通方程得：，整理得，，設(shè)點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，故．11．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在直線坐標(biāo)系中國，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)且），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；(2)若直線與曲線有公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；，(2)【分析】（1）應(yīng)用參數(shù)方程和普通方程及極坐標(biāo)方程和普通方程間的互化可得；（2）根據(jù)直線和拋物線有公共點求參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）且，得，，∴，即，∴直線的直角坐標(biāo)方程為；由得，則，又，∴曲線的普通方程為，.（2）將代入，整理得，，，則，∴實數(shù)的取值范圍為.12．（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)、分別為曲線和直線上的任意一點，求的最小值.【答案】(1)曲線的普通方程為或，直線的直角坐標(biāo)方程為(2)【分析】（1）在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得出曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出直線的普通方程；（2）設(shè)是曲線上任一點，利用點到直線的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】（1）解：由，消去，得或.由，得，將，代入，得.故曲線的普通方程為或，直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）解：設(shè)是曲線上任一點，則點到直線的距離為，所以當(dāng)，即時，點到直線的距離最小，即取得最小值為.13．（2023·江西九江·瑞昌市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，，以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為，?為的左?右焦點，過點的直線與曲線相交于A，兩點.(1)當(dāng)時，求的參數(shù)方程；(2)求的取值范圍.【答案】(1)（為參數(shù)）(2)【分析】（1）利用，代入曲線的極坐標(biāo)方程可得其直角坐標(biāo)方程可得、、的坐標(biāo)，求出直線的斜率、傾斜角，在上任取一點，設(shè)有向線段的長為可得直線的參數(shù)方程；（2）將的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，根據(jù)的值可得答案.【詳解】（1），，曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，，，，直線的斜率：，時，直線的傾斜角為，在上任取一點，設(shè)有向線段的長為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）將的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，即，設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，故,因為，所以，則，故，所以.14．（2023·河南周口·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，動點到定點的距離為，記動點的軌跡為曲線.(1)求直線的普通方程，曲線的直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點，且直線與曲線交于，兩點，求的值.【答案】(1)；；.(2)6【分析】（1）根據(jù)直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，可得普通方程；根據(jù)動點到定點的距離為，可得曲線的直角坐標(biāo)方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可得其極坐標(biāo)方程.（2）求出直線l的參數(shù)方程，聯(lián)立曲線的直角坐標(biāo)方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，表示出，進行化簡求值，可得答案.【詳解】（1）因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，所以消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為.點N的直角坐標(biāo)為，由題意知,設(shè)，則即，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為,因為，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為.（2）由題意可知，點在直線l上，直線l的參數(shù)方程為，(s為參數(shù))，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中得，化簡得，設(shè)兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以.15．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，且），為曲線上任意一點，若將點繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，點的軌跡為曲線．(1)以原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)已知點，直線與曲線交于，兩點，求的值．【答案】(1)，其中(2)【分析】（1）將的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，再轉(zhuǎn)化為基座不服從，設(shè)點的極坐標(biāo)，表示點的極坐標(biāo)，代入的極坐標(biāo)方程，化簡；（2）根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義直接求值.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)，且）可知的普通方程為，，曲線是以為圓心，為半徑的圓在軸及上方的部分．故曲線的極坐標(biāo)方程：，，又因為點為曲線上任意一點，將點繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，設(shè)點，則點，代入曲線得到，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，其中；（2）由（1）的極坐標(biāo)方程為，，得其直角坐標(biāo)方程為，，因為直線經(jīng)過點，故設(shè)過的直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），代入曲線的普通方程得：，此方程的兩個根，為，兩點對應(yīng)的參數(shù)，且，，所以，，所以．16．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l的普通方程為．(1)將C的極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程；(2)設(shè)點A的直角坐標(biāo)為，M為C上的動點，點P滿足，寫出P的軌跡的參數(shù)方程并判斷與l的位置關(guān)系．【答案】(1)其中為參數(shù)(2)其中為參數(shù),與l相離．【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程再轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程即可；（2）根據(jù)參數(shù)方程和向量的坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)化關(guān)系，以及參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程和直線與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】（1）因為，所以，所以，整理得，曲線C的直角坐標(biāo)方程為，所以其中為參數(shù)．則對應(yīng)的參數(shù)方程為其中為參數(shù)．（2）由（1）參數(shù)方程可設(shè)，則由，得其中為參數(shù)．對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為，圓心到l距離，則與l相離．17．（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）“太極圖”是關(guān)于太極思想的圖示，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽魚太極圖”．在平面直角坐標(biāo)系中，“太極圖”是一個圓心為坐標(biāo)原點，半徑為的圓，其中黑、白區(qū)域分界線，為兩個圓心在軸上的半圓，在太極圖內(nèi)，以坐標(biāo)原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求點的一個極坐標(biāo)和分界線的極坐標(biāo)方程；(2)過原點的直線與分界線，分別交于，兩點，求面積的最大值．【答案】(1)，：(2)【分析】（1）由直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式轉(zhuǎn)化即可；（2）由圖形對稱性知，，在極坐標(biāo)系中，求，并求其最大值即可.【詳解】（1）設(shè)點的一個極坐標(biāo)為，，，則，，∵點在第三象限，∴，∴點的一個極坐標(biāo)為.∵“太極圖”是一個圓心為坐標(biāo)原點，半徑為的圓，∴分界線的圓心直角坐標(biāo)為，半徑為，∴的直角坐標(biāo)方程為（），即（），將，，代入上式，得，，化簡，得分界線的極坐標(biāo)方程為，.（2）∵在上，∴設(shè)點的極坐標(biāo)為，則，，∴的面積∵，∴，∴當(dāng)，即時，的面積的最大值為.∵直線過原點分別與，交于點，，∴由圖形的對稱性易知，，∴面積，∴面積的最大值為.18．（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若射線（其中，且，）與曲線在軸上方交于點，與直線交于點，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）采用代入消參方法可得直線的普通方程，結(jié)合可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）方法一：分別聯(lián)立射線與曲線C及直線l的極坐標(biāo)方程，得到，即可求得.方法二：分別聯(lián)立射線與曲線C及直線l的直角坐標(biāo)方程，得到M和N的點坐標(biāo)，即可求得【詳解】（1）由，得，即.故直線的普通方程是.由得，代入公式，得，∴，故曲線的直角坐標(biāo)方程是.（2）方法一：由（其中，且，），得，.將射線代入曲線的極坐標(biāo)方程，可得，∴.直線的極坐標(biāo)方程為，將代入直線的極坐標(biāo)方程可得，∴，∴.方法二：由題可得射線（其中，且，）的直角坐標(biāo)方程為.聯(lián)立，解得，則點.聯(lián)立解得，則點.∴.19．（2023·內(nèi)蒙古呼和