2022-2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：銳角三角函數(shù)

第1頁/共1頁2022-2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編銳角三角函數(shù)一、單選題1．（2024北京和平街第一中學(xué)初二下期中）如圖，設(shè)計一張折疊型方桌子，若，，將桌子放平后，要使距離地面的高為，則兩條桌腿需要叉開的為（

）

A． B． C． D．二、填空題2．（2022北京陳經(jīng)綸中學(xué)初二下期中）如圖，ΔABC中，，，點在邊上運動（不與點，重合），以為邊作正方形，使點在正方形內(nèi)，連接，則下列結(jié)論：①；②當(dāng)時，；③點到直線的距離為；④面積的最大值是．其中正確的結(jié)論是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）三、解答題3．（2022北京西城初二下期中）已知正方形，若一個等邊三角形的三個頂點均在正方形的內(nèi)部或邊上，則稱這個等邊三角形為正方形的內(nèi)等邊三角形．(1)若正方形的邊長為10，點E在邊上，是正方形的內(nèi)等邊三角形．①如圖1，當(dāng)點E為邊的中點時，線段的長度為__________；②當(dāng)點E為邊上任意一點時，連接，則線段的最小值是________，線段的取值范圍是________．(2)和都是正方形的內(nèi)等邊三角形，當(dāng)?shù)拈L最大時，畫出和（點A，M，N按逆時針方向排序），連接．圖中與線段相等的所有線段（不添加字母）有______．4．（2022北京海淀初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行四邊形OABC的原點A在x軸正半軸上，．點C在第一象限，點C的縱坐標(biāo)是1，動點D從點O出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿平行四邊形OABC的邊逆時針運動，動點P同時從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿平行四邊形OABC的順時針運動．(1)畫出平行四邊形OABC，(2)當(dāng)運動時間為3秒時，點P的坐標(biāo)是．(3)當(dāng)運動時間為2022秒時，求線段DP的長．(4)設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)時，直接寫出當(dāng)時，D，P兩點和O，A，B，C中的某兩點構(gòu)成平行四邊形．5．（2022北京鐵路二中初二下期中）我國是世界上最早發(fā)明歷法的國家之一．《周禮》中記載：壘土為主，立木為表，測日影，正地中，意四時．如圖1，圭是地面上一根水平標(biāo)尺，指向正北，表是一根垂直于地面的桿，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根據(jù)表影的長度可以測定節(jié)氣．在一次數(shù)學(xué)活動課上，要制作一個圭表模型．如圖2，地面上放置一根長的桿，向正北方向畫一條射線，在上取點D，測得．（1）判斷：這個模型中與是否垂直．答：_________（填“是”或“否”）；

你的理由是：________________________________________________．（2）某地部分節(jié)氣正午時分太陽光線與地面夾角的值，如下表：節(jié)氣夏至秋分冬至太陽光線與地面夾角①記夏至和冬至?xí)r表影分別為和，利用上表數(shù)據(jù)，在射線上標(biāo)出點M和點N的位置；②記秋分時的表影為，推測點P位于（

）A．線段中點左側(cè)

B．線段中點處

C．線段中點右側(cè)

參考答案1．B【分析】作于，根據(jù)題意，得在中，，，由此可以推出，接著可以求出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出的度數(shù)．【詳解】解：作于．

，，∴，，，．故選：B．【點睛】此題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．作出輔助線得到是解題的關(guān)鍵．2．②③④【分析】過點F作FH⊥AB于點H，過點E作EG⊥CA延長線于點G，根據(jù)題意可得在△BCD與△ECD中有BD=ED，CD=CD，但無法得到BC=EC或∠EDC=∠BDC，故△BCD與△ECD不一定全等，故①錯誤；先推出∠ACB=30°，再由此得出AC=a，再根據(jù)CD=2AD，即可得出tan∠ADB=，可得∠ADB=60°，由此即可得出∠ADE=30°，故②正確；先證明△FHB≌△BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FH=a，故③正確；先證明△EGD≌△DAB，設(shè)CD=x，用含x的代數(shù)式表達S△CDE，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得△CDE面積最大值是a2，故④正確．【詳解】如圖所示，過點F作FH⊥AB于點H，過點E作EG⊥CA延長線于點G，∵四邊形BDEF為正方形，∴BD=DE=EF=BF，∠FBD=∠BDE=∠BFE=90°，在△BCD與△ECD中有BD=ED，CD=CD，而無法得到BC=EC或∠EDC=∠BDC，∴△BCD與△ECD不一定全等，故①錯誤；∵∠BAC=90°，AB=BC=a，sin∠ACB===，即∠ACB=30°，tan∠ACB=tan30°===，∴AC=a，又CD=2AD，∴AD=(AD+CD)=AC=a，∴tan∠ADB===，∴∠ADB=60°，又∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°，∴∠ADE=90°-∠ADB=90°-60°=30°，故②正確；∵FH⊥AB，∴∠FHB=90°，∠HFB+∠HBF=90°，又∠FBD=∠HBF+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠HFB，在△FHB與△BAD中有：，∴△FHB≌△BAD(AAS)，∴FH=BA=a，∴F到直線AB的距離為FH=a，故③正確；∵EG⊥CA，∠EGD=90°，∴S△CDE=CD×EG，∵∠BDE=∠ADB+∠GDE=90°，∠GED+∠GDE=90°，∴∠GED=∠ADB，在△EGD與△DAB中有：，∴△EGD≌△DAB(AAS)，∴EG=AD，∴AC=AD+CD=EG+CD===a，∴AD=EG=a-CD，設(shè)CD=x，則AD=EG=a-x，S△CDE=x(a-x)=x2+ax=(x2-ax)=(x-a)2+a2∴關(guān)于x的二次函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)x=CD=a時S△CDE取最大值為a2，∴△CDE面積最大值是a2，故④正確；∴其中正確的結(jié)論是②③④，故答案為：②③④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題關(guān)鍵．3．(1)①；②5，；(2)與線段NP相等的線段有BN，DM．【分析】（1）①連接DF，過點E作EG⊥DF，垂足為G，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得∠AFE=∠AEF=60°，AE=EF，根據(jù)中點性質(zhì)可推導(dǎo)出，由外角性質(zhì)可得∠DEF=120°，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，，在Rt△DGE中，解直角三角形即可求解；②由題意可得點F在與AD成60°的直線AF上移動，則當(dāng)BF⊥AF時，BF有最小值，當(dāng)DF⊥AF時，DF有最小值，當(dāng)點E與點D重合時，DF有最大值，最大值為10，即可求解；（2）根據(jù)題意畫出圖形，分別證明Rt△ADM≌Rt△ABN，△ADM≌△APN，進而即可求解．【詳解】（1）①如圖所示，連接DF，過點E作EG⊥DF，垂足為G，∵△AEF是內(nèi)等邊三角形∴∠AFE=∠AEF=60°，AE=EF，∵點E為邊的中點時，又正方形的邊長為10，∴，∴，∵∠DEF是△AEF的外角，∴∠DEF=120°，∵EG⊥DF，∴，，，在Rt△DGE中，，，∴，∴，∴，故答案為：；②∵△AEF是等邊三角形，∴∠EAF＝60°，∴點F在與AD成60°的直線AF上移動，∴當(dāng)BF⊥AF時，BF有最小值，此時，∵∠FAB＝∠DAB?∠EAF＝30°，∴BF＝AB＝5，∴BF的最小值為5，當(dāng)DF⊥AF時，DF有最小值，此時，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝5，，當(dāng)點E與點D重合時，DF有最大值，最大值為10，∴線段DF長的取值范圍為，故答案為：5，；（2）△ADP和△AMN，如圖所示：∵△AMN是等邊三角形，∴AM＝AN＝MN，∠MAN＝60°，∵邊AM的長最大，∴點M在DC上，點N在BC上，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，∴Rt△ADM≌Rt△ABN（HL），∴BN=DM，∵△ADP和△AMN是等邊三角形，∴AD=AP，AM=AN，∠DAP=∠MAN=60°，∴∠DAM=∠PAN，∴△ADM≌△APN（SAS），∴DM=PN，∴NP=DM=BN，即：與線段NP相等的線段有BN，DM．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確畫出圖形．4．(1)答案見詳解(2)(3)線段DP的長為2(4)當(dāng)時，D，P兩點和O，A，B，C中的某兩點可構(gòu)成平行四邊形【詳解】（1）解：如圖，由題意得A(3,0)，過點C作軸，垂足為E，，，，又（2）解：當(dāng)時，點P運動到BC邊上，如圖，在中，，（3）解：，當(dāng)時，此時點P與點C重合了，當(dāng)時，此時點D運動到CB邊上，如圖在中，，故此時線段DP的長為2；（4）①如圖，D，P兩點和O，A兩點（或B，C兩點）構(gòu)成平行四邊形時，此時，，，解得②如圖，D，P兩點和O，C兩點（或B，A兩點）構(gòu)成平行四邊形時，此時，，，解得故當(dāng)時，D，P兩點和O，A，B，C中的某兩點構(gòu)成平行四邊形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)和平面直角坐標(biāo)系等知識點，牢固掌握以上知識點并能分情況畫圖進行討論是做出本題的關(guān)鍵．5．（1）是，答案見解析；（2）①作圖見解析；②A．【分析】（1）活用勾股定理的逆定理判斷即可；（2）①根據(jù)它們距離表的遠近和角度的大小來確定；②根據(jù)夾角的大小計算判斷【詳解】（1）是，理由：由測量結(jié)果可知，由勾股定理的逆定理可知．故答案是：是；，由勾股定理的逆定理可知．（2）①如圖，∵tan∠ADB=＞