云南省大理州賓川縣某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上冊開學(xué)測試 數(shù)學(xué)試題（含答案）

云南省大理州賓川四中2024-2025學(xué)年高二年級上期數(shù)學(xué)開

學(xué)測試題

（考試總分：150分考試時長：120分鐘）

一、單選題（本題共計8小題，總分40分）

］若集合"={x1五＜2卜N={-1,1,2,8)^則Mp|N=(

)

A.{1，2}B.卜I」'？}c.{128}D.{T』，2,8}

2.若Q+i3=2+bi,a,b￡R,貝|4+6=()

A.1B.-1C.2D.-2

,71

,A——,ci=3,6=2

3.記△NBC的內(nèi)角C的對邊分別為。，瓦。，若4,貝ijsin5=()

41V2V2

A.4B.6C.2D.3

4.已知巴僅是兩個不同的平面，/,心是々內(nèi)兩條不同的直線，則“〃左，且加///”是“

a///?”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.把函數(shù)"sin14x+y

的圖象向左平移°（">°）個單位長度后得到函數(shù)gG）的圖象,

/（X）圖象的對稱軸與g（x）圖象的對稱軸重合，貝Ija的值可能為（）

兀兀7T兀

A.6B.12C.4D.§

6.現(xiàn)有7張分別標(biāo)有1，2,3,4,5,6,7的卡片，甲一次性從中隨機抽取5張卡片，抽到的卡片

數(shù)字之和為。，剩下的2張卡片數(shù)字之和為6,則“》36的概率為（）

5243^

A.7B.7c.7D.7

3兀csin（"⑶,

7?+/?=-,tana=..皿?cos（a-尸）-sinasin分（、

/?石r，火!J''V）

A.1B.-1C.2D.-2

“x）={H，0<X4X

8.已知%>°,函數(shù)"22-龍），，<x<22,若關(guān)于x的方程“x）=2至少有2個

不同的實數(shù)解，則2的取值范圍為（）

A.ITB.Qi）C.D.（?！唬?/p>

二、多選題（本題共計3小題，總分18分）

9.若空間幾何體A的頂點數(shù)和空間幾何體B的頂點數(shù)之和為12,則A和8可能分別是

（）

A.三棱錐和四棱柱B.四棱錐和三棱柱

C.四棱錐和四棱柱D.五棱錐和三棱柱

10.拋擲質(zhì)地均勻的骰子兩次，事件/="第一次出現(xiàn)偶數(shù)點“，事件8="第二次出現(xiàn)奇數(shù)

點，，，事件C="兩次都出現(xiàn)偶數(shù)點，，，貝u（）

A./包含CB./與3相互獨立

C.3與C互為對立事件D.3與C互斥但不對立

11.在A/BC中，角48,C的對應(yīng)邊分別為a，6，c.已知

（?+b）（sinA+sinfi）=csinC+asinB,c=6；則下列結(jié)論正確的是（）

C=-

A.3

B.△ZSC外接圓的半徑為2#

C.△NBC面積的最大值為3百

D.若。為△/臺。的中線，則°的最小值為行

三、填空題（本題共計3小題，總分15分）

-\a\=2ia+b\=3,a-b=-后|=

12.若向量落入滿足?12.則II_

13.已知數(shù)據(jù)嘰4,7的極差為6,且80%分位數(shù)為病-20,貝|］優(yōu)=.

14.已知某圓錐的體積為3%側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為

四、解答題（本題共計5小題，總分77分）

15.7月23日，第8屆中國―南亞博覽會暨第28屆中國昆明進出口商品交易會在昆明滇

池國際會展中心隆重開幕.本屆南博會以“團結(jié)協(xié)作、共謀發(fā)展”為主題，會期從23日至28

日，共設(shè)15個展館，展覽面積15萬平方米，吸引82個國家、地區(qū)和國際組織參會，2000

多家企業(yè)進館參展.某機構(gòu)邀請了進館參展的100家企業(yè)對此次展覽進行評分，分值均在

[90」°°]內(nèi)，并將部分?jǐn)?shù)據(jù)整理如下表:

[90,[92,[94,[98,

分?jǐn)?shù)

頻數(shù)10102020

(1)估計這100家企業(yè)評分的中位數(shù)(保留小數(shù)點后一位)；

(2)估計這100家企業(yè)評分的平均數(shù)與方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).

16.在某次投籃比賽中，需要投籃四次.第一次投籃命中得1分，第二次投籃命中得2分，

第三次和第四次投籃命中均得3分，未命中不得分.甲四次投籃命中的概率分別為

j_]_j_j_

a’75'5,且每次投籃能否命中都是相五獨立的.

(1)求甲四次投籃共得0分的概率；

(2)若規(guī)定投籃者四次投籃的總得分不低于7分，則晉級成功.求甲晉級成功的概率.

17.若函數(shù)/(*)和8。)的定義域相同，值域也相同，則稱/(、)和8々)是"同域函數(shù)

⑴判斷函數(shù)k'-2x與y=2-1是否為“同域函數(shù)“，并說明理由；

(2)若函數(shù)""①匕"(一⑶和g(x)=bg.(*+…加＞0,且"1)是"同

域函數(shù)"，求。的值.

18.如圖，甲船在點”處通過雷達(dá)發(fā)現(xiàn)在其南偏東6?！惴较蛳嗑?0海里的N處有一艘貨

船發(fā)出供油補給需求，該貨船正以15海里/時的速度從N處向南偏西60。的方向行駛.甲船

立即通知在其正西方向且相距30百海里的P處的補給船，補給船立刻以25海里/時的速度

與貨船在H處會合.

⑴求PN的長；

(2)試問補給船至少應(yīng)行駛幾小時，才能與貨船會合?

19.如圖，在正三棱柱/8°一44G中，，8=網(wǎng),￡),瓦尸分別為/8L4的中點

(1)若三棱柱/8C—44G的體積為26，求AB的長

(2)證明：DF2平面CDE

(3)若正方形的中心為°,動點M在A8E的邊上，求直線0M與平面COE所成角

的正切值的最小值與最大值.

1.B

【分析】化簡根據(jù)集合的交集運算即可.

［詳解］由題意得河="?。?},N={-1,1,2,8},

所以MCN={T1,2}.

故選：B

2.A

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運算結(jié)合復(fù)數(shù)相等可得“力，則。+6可求.

【詳解】由題意得a+i'="i=2+6i,得。=2,b=-l,所以“+6=1.

故選：A.

3.D

.nb.A

smB=—SUM

【分析】利用正弦定理可得〃，代入計算即可.

ab._b..2.7iV2

-----=------sinn=—SIIL4=—sm—=

【詳解】由正弦定理si必sin5,得a343.

故選：D.

4.C

【分析】由面面平行的判定與性質(zhì)即可判斷.

【詳解】若〃.，加//?，則名分不一定平行(缺少條件/，加相交)；

若all0,l,mua,則〃/尸，且加///7,

故，，〃/相，且加〃力”是的必要不充分條件，

故選：C.

5.C

【分析】先根據(jù)平移得出函數(shù)解析式，再根據(jù)圖像的對稱性求出參數(shù)即可判斷.

g(x)=sin4(x+d)+—=sin4x+4(2+—

【詳解】由題意得L3」I3人與函數(shù)

f(JC)=sin|4x+—|

'I3J對稱軸相同，

貝14a=kjt,kGN+

JciLj__7L

a=——GN,—

得4，所以。的值可能為4.

故選：C.

6.D

【分析】依據(jù)題意，將轉(zhuǎn)化為647,再結(jié)合古典概型公式求解即可.

【詳解】因為1+2+3+4+5+6+7=28,所以0+%=28,

故”28-6,而所以28-心3b,解得狂7,

所以求6=7的概率即可，從7張卡片抽2張，

基本事件有(1，2),(1,3),(1，4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),

(1,7),(2,6),(2,7),(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7)；

共有21個基本事件，且設(shè)647的概率為產(chǎn)，

符合題意的事件有Q2)，(1，4),(1,5),(1,6),

p=2=3

(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),共9種,所以217,故D正確.

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查概率，解題關(guān)鍵是合理消元，轉(zhuǎn)化條件，然后利用古典概

型公式得到所要求的概率即可.

7.B

【分析】由兩角差的正弦、余弦、正切公式展開化簡即可.

(工、tan--tancif

tan/7=tan--a=------------------=3

I4)1+tan上tana

【詳解】由題意得4

則

sin(a-0)sinacos/?-cosasin/7_sinacos/?—cosasin/7_

-----------------；-----；--------；----；—=-------------------=tana-tan。=-1

cos(a-尸)一sinasin夕COS6ZCOS/7+sinasin/-sinasin/3cosacos/3

故選：B

8.A

【分析】由題可知/(X)的圖象關(guān)于直線x=4對稱，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象，分0<4<1和

幾N1兩種情況討論即可求得答案.

【詳解】由題可知/（X）的圖象關(guān)于直線x=%對稱.

若0<彳<1,則/（X）在（°，2）上單調(diào)遞減，在（辦22）上單調(diào)遞增，則

/（x）>/（2）=|ln2|--ln2

由關(guān)于x的方程/。）=2至少有2個不同的實根，

-4<A<1

可知Tn/l<2,解得e-,則e-

/（石]=/（2九--f]=20<^-<22<22--^<22

若花1,則leJIeJ,其中e?且e-，則關(guān)于》的方程

，（x）=2至少有2個不同的實根e2和e2.

Pp+R

綜上所述，力的取值范圍為）.

故選：A.

9.AD

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，由三棱錐的頂點數(shù)為4個，四棱柱的頂點數(shù)為8個，

所以兩個幾何體的頂點數(shù)之和為12個，符合題意；

對于B中，由四棱錐的頂點數(shù)為5個，三棱柱的頂點數(shù)為6個，

所以兩個幾何體的頂點數(shù)之和為11個，不符合題意；

對于C中，由四棱錐的頂點數(shù)為5個，四棱柱的頂點數(shù)為8個，

所以兩個幾何體的頂點數(shù)之和為13個，不符合題意；

對于D中，由五棱錐的頂點數(shù)為6個，三棱柱的頂點數(shù)為6個，

所以兩個幾何體的頂點數(shù)之和為12個，符合題意.

故選：AD.

10.ABD

【分析】先由題得/=B=C=AB,對于A,由包含事件定義即可得

解；對于B,由相互獨立事件的乘法公式去計算尸（,8）和尸⑷尸⑻即可判斷；對于c和

D,由互斥事件和對立事件的定義即可判斷.

【詳解】由題意可知/=疝，B=4BU1B,C=疝，

31尸⑻=|=；P(C)=|x|=1

口尸(4

n.62,62,oo4,

對于A,由上可知/包含C,故A正確;

331111

尸（皿=入工P⑷尸⑶=及丁，故尸（眼＞=尸⑷尸⑻，故B正確;

對于B,

對于C和D,設(shè)事件。=“拋擲質(zhì)地均勻的骰子兩次”，則D=

故由B=/BUM和C=4方知2與c互斥但不對立，故C錯誤，D正確

故選：ABD.

【點睛】思路點睛：先明確與“拋擲質(zhì)地均勻的骰子兩次”有關(guān)的各事件所包含的可能情況,

再根據(jù)包含事件、互斥事件以及對立事件的概念和概率乘法公式去計算相關(guān)概率即可判斷

得解.

11.BCD

【分析】由正弦定理角化邊，然后結(jié)合余弦定理求出角0,判斷A錯誤；由正弦定理即可

求出外接圓的半徑，判斷出B正確；由余弦定理結(jié)合重要不等式得到。方412,然后由三角

形的面積公式即可求出面積的最大值，判斷C正確；由

|CD|2=1(C2+CB)2=1(a2+Z)2-ab)=1(c2-2aZ>)=9-1>3則

\CD\~^,判斷D正

確.

［詳解］因為(Q+6)(sim4+sin5)=csinC+asinB

所以由正弦定理得（"+6）（"+%）="+"

即Q2+/_02=_ab,

a?+—/—ab1

cosC----------------------二—

由余弦定理得2ab2ab2,

c=@

因為Ce(°"),所以一3,A錯誤.

c旦=4也=2R

sinCV3

設(shè)△/BC外接圓的半徑為尺,貝|]

得7?=26，B正確.

由Y+〃一/_一處,得。2+/+=3622ab+ab,

即。6V12,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=時，等號成立，

S=-fl/>sinC<-xl2x—=3A/3

則,222,即△"BC面積的最大值為3j3,c正確.

\CD^=-(CA+CB)2=-(a2+b2-ab}^-(c2-2ab}^9--ab>?,

根據(jù)題意可得4八,八72

則內(nèi)河口正確.

故選：BCD

12.2

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算法則及性質(zhì)即可得解.

la1=2,1a+Z?I=3,a-b=—

【詳解】因為?12,

▼引=a2+2a-b+b2-9口力.」引=2

所以??,解得3=4,即".

故答案為：2

13.5

【分析】運用數(shù)據(jù)極差和百分位數(shù)概念和計算方法分類討論即可.

【詳解】因為7T=6,所以1江V7.

當(dāng)LW4時，數(shù)據(jù)1，1，3，私4,7的80%分位數(shù)為4,由/_20=4,得加=±2指，不符合

題意，舍去.

當(dāng)4<加47時，數(shù)據(jù)11，3,4,私7的80%分位數(shù)為加，由小一20=加，得機=5(負(fù)根舍去),

符合題意.故心=5.

故答案為：5.

4?4

-----71

14.3##3

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線長為"高為力，由條件推得/=2廠，再由圓錐的體

積列方程，求得廠=6，再作圓錐的軸截面，利用面積相等即可求出圓錐內(nèi)切球的半徑，

即可算得其體積.

【詳解】

設(shè)圓錐的底面半徑為，,，母線長為/,高為九

因為圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，所以側(cè)面展開圖的扇形弧長為兀/=2",貝”=2廠,

______,2「也

3兀瓜

從而技,則圓錐的體積一7一，解得』3

作出圓錐的軸截面，如圖所示，其中圓錐內(nèi)切球的球心為°,半徑為4.

S^p=—x2rxh=3A/3=—(21+2r)x3737?n_i

則AB22、"，解得4」，

4n34

一兀凡,=—n

則該圓錐的內(nèi)切球的體積為33.

4兀

故答案為：3.

15.(1)96.5

(2)96,5.8

【分析】(1)由中位數(shù)的佑計值的定義求解即可；

(2)由平均數(shù)的估計值與方差的計算公式計算即可.

【詳解】⑴由題意得這100家企業(yè)評分在B6,98)內(nèi)的頻數(shù)為100-10-10-20-20=40.

設(shè)這100家企業(yè)評分的中位數(shù)的估計值為x,

因為評分在網(wǎng)96)內(nèi)的頻數(shù)之和為io+io+20=40<50,

評分在[9°，98)內(nèi)的頻數(shù)之和為40+40=80>50,

50-40_x-96

所以xe[96,98),由40-98-96,得x=96.5

(2)這100家企業(yè)評分的平均數(shù)的估計值為

x=-1-(91x10+93x10+95x20+97x40+99x20)=96,

這100家企業(yè)評分的方差的估計值為:

222222

5=-1-[(91-96)X10+(93-96)X10+(95-96)X20+(97-96)x40+(99-96)x20]=5.8

￡

16.(1)8；

J_

(2)8.

【分析】(1)根據(jù)獨立事件概率乘積公式計算即可；

(2)結(jié)合互斥事件的概率和公式及獨立事件概率乘積公式計算即可.

【詳解】(1)設(shè)事件/="甲四次投籃共得0分"，

所以

(2)設(shè)事件8="甲晉級成功"，則甲投籃至少命中3次.

若甲投籃命中3次晉級成功，則甲必定是第一次投籃或第二次投籃沒有命中,

耳=1x_X_X1X

則甲投籃命中3次晉級成功的概率I4>3224

若甲投籃命中4次，必定晉級成功，則甲投籃命中4次普級成功的概率

c11111

2432248,

P(B~)=P+P=--

所以[一28,即甲晉級成功的概率為8.

17.(1)不是，理由見解析；

1

a=-

(2)4.

【分析】(1)判斷函數(shù)V=尤與y=2，-l的定義域和值域是否相同，即可得結(jié)論；

⑵根據(jù)"同域函數(shù)"的定義可得--+M+的解集為(T，3),求得拉，〃，結(jié)合對數(shù)函

數(shù)的單調(diào)性，列出相應(yīng)等式，求得答案.

【詳解】(1)函數(shù)y='-2x與y=2'T不是“同域函數(shù)”，理由如下：

函數(shù)y=/-2%與>=2'-1的定義域均為凡

由廣一一2x=(x-l)-2!可知y=/-2x的值域為[T+00),

由y=2、-1>-1,可知y=2、-1的值域為(T+s),

則y=/_2丫與y=2'-1的值域不相同,

所以函數(shù)y=--2%與N=2'-1不是“同域函數(shù)

⑵由底（一1，3）,得小ED，川-717C

452

至二/(x)=tan

因為函數(shù)了=標(biāo)在4'2）上單調(diào)遞增,

12所以

得g（x）的值域為H+00）,

由題意得―-+s+〃>0的解集為（T3）,

則T，3是關(guān)于x的方程--+“X+〃=0的兩個解，

［-1+3=mfm=2

得［-1x3=-",得［"=3,所以g（x）=bg“（-x2+2x+3）,（a>0,且"D,

易彳導(dǎo)0<_、2+2x+3=—（x—I）2+4?4

當(dāng)。>1時，函數(shù)>=bg〃X是增函數(shù)，則83=1°8。（一/+2》+3）的值域為（-00,1（^4］,不

符合題意.

當(dāng)0<a<l時，函數(shù)>=咽”是減函數(shù)，則83=3（一》2+2》+3）的值域為［唾.4,+8）,

_1

所以bg/=T,得”7.

18.(1)70海里

(2)2小時

/PMN=——

【分析】（1）由題可得6,利用余弦定理即可求解；

（2）由余弦定理可得cos/MW,根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合兩角和的余弦公式求出cos/PM/,

再在△PNH中，利用余弦定理即可求出時間.

/7"?xcr兀兀5兀

NPMN=—十—=——

【詳解】（1）根據(jù)題意可得236.

因為尸河=304海里，MV=20海里，

=J2700+400-2x30V3x20xcos—=70

所以根據(jù)余弦定理可得V6海里.

2700+4900-400_46

cos/MPN=sinZMPN=-

2X30A/3X70

(2)由余弦定理可得7，則7,

/冗冗、7TJT

cosZPNH=cos\ZMPN+----=cosZMPNcos——sinZMPNsm-

所以I23)66

473V31111

--------x---------------X——

727214.

設(shè)當(dāng)補給船與貨船會合時，補給船行駛的最少時間為，小時，則柄=1夕海里,

PH=25t海里.

4900+225/-625/1149

cos/PNH=-----------------=——,---

在△尸中，2x70x15/14解得，=2或8(舍去),

故當(dāng)補給船與貨船會合時，補給船行駛的時間至少為2小時.

19.(1)2

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)棱錐的體積公式，即可求得答案；

(2)根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；

(3)作圖分析，作出平面CDE的垂線，繼而確定直線與平面COE所成角，利用線面

角的定義結(jié)合加與平面CDE所成角的正切值的表達(dá)式，確定相關(guān)線段的最值，即可求得

答案.

【詳解】(1)在正三棱柱/8C-44G中，8月,底面/8C,且ZUBC為正三角形，

叱BCR￡=彳次.BB、=彳寂=2A/3

解得48=2.

(2)證明：如圖，連接同氏

IJ

B

...D,E,F分別為AB,BB\,AAt的中點，...DE//ABVDF//AtB

■.■AB=BBy,三棱柱/Be-44cl是正三棱柱，...四邊形為正方形,

.ABXLAXB,:.DELDF

???△Z5C為正三角形，...CC4B.

??,"1’底面CQu底面48