人教B版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章等式與不等式2.2.3一元二次不等式的解法課件

2．2.3一元二次不等式的解法【課程標(biāo)準(zhǔn)】從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式．①經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過(guò)程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義．能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系．

ax2＋bx＋c>0知識(shí)點(diǎn)二二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系

Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1＜x2)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??狀元隨筆一元二次不等式的解法：(1)圖象法：一般地，當(dāng)a＞0時(shí)，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：①確定對(duì)應(yīng)方程ax2＋bx＋c＝0的解；②畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象簡(jiǎn)圖；③由圖象得出不等式的解集．對(duì)于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取類似a＞0時(shí)的解題步驟求解；也可以先把它化成二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式，再求解．

(3)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助配方法：一元二次不等式ax2

＋bx

＋c>0(a≠0)通過(guò)配方總是可以變?yōu)?x－h(huán))2>k或(x－h(huán))2<k的形式，再由k值情況，可得原不等式的解集，如表：

k>0k＝0k<0(x－h(huán))2>k(－∞，h)∪(h,+∞)R(x－h(huán))2<k??

答案：C解析：選項(xiàng)A中，a2＝0時(shí)不符合；選項(xiàng)B是分式不等式；選項(xiàng)D中，最高次數(shù)為三次；只有選項(xiàng)C符合．

答案：B解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故選B.3．(多選)下列不等式的解集不是空集的是(

)A.x2－x＋1>0 B．－2x2＋x＋1>0C.2x－x2>5 D．x2＋x>2答案：ABD解析：因?yàn)閤＝0滿足選項(xiàng)A，B中的不等式，所以這兩個(gè)不等式的解集不是空集．因?yàn)閤＝2滿足選項(xiàng)D中的不等式，所以這個(gè)不等式的解集不是空集．因?yàn)閤2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，所以x2－2x＋5<0不成立，即2x－x2>5的解集是空集．故選ABD.

題型1解不含參數(shù)的一元二次不等式例1(1)求不等式x2－x－2＞0的解集；(2)求不等式x2－6x－1≤0的解集；(3)求不等式－x2＋2x－1＜0的解集．

方法歸納我們以求解可化成ax2＋bx＋c＞0(a＞0)形式的不等式為例，用框圖表示其求解過(guò)程．跟蹤訓(xùn)練1

解下列不等式：(1)x2－7x＋12＞0；答案：因?yàn)棣ぃ?＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1＝3，x2＝4.再根據(jù)函數(shù)y＝x2－7x＋12的圖象開(kāi)口向上，可得不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．(2)－x2－2x＋3≥0；答案：不等式兩邊同乘－1，原不等式可化為x2＋2x－3≤0.因?yàn)棣ぃ?6＞0，所以方程x2＋2x－3＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1＝－3，x2＝1.再根據(jù)函數(shù)y＝x2＋2x－3的圖象開(kāi)口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(3)x2－2x＋1＜0；答案：因?yàn)棣ぃ?，所以方程x2－2x＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根x1＝x2＝1.再根據(jù)函數(shù)y＝x2－2x＋1的圖象開(kāi)口向上，可得不等式x2－2x＋1＜0的解集為?.(4)－2x2＋3x－2＜0.答案：原不等式可化為2x2－3x＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0無(wú)實(shí)根，又二次函數(shù)y＝2x2－3x＋2的圖象開(kāi)口向上，所以原不等式的解集為R.

狀元隨筆題型2三個(gè)“二次”之間的關(guān)系[經(jīng)典例題]例2已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，求關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX方法歸納一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系，在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換．(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點(diǎn)值恰是對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)的聯(lián)系．(2)若一元二次不等式的解集為R或?，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，此時(shí)可以根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍．

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX題型3含參數(shù)的一元二次不等式的解法[經(jīng)典例題]例3解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.

狀元隨筆二次項(xiàng)系數(shù)為a，故不能確定相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向，因此需對(duì)a的符號(hào)進(jìn)行討論，并且需要比較兩根的大?。椒w納含參數(shù)一元二次不等式求解步驟(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，即相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向；(2)討論判別式的符號(hào)，即相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)Δ＞0時(shí)，討論相應(yīng)一元二次方程兩根的大小；(4)最后按照系數(shù)中的參數(shù)取值范圍，寫出一元二次不等式的解集．跟蹤訓(xùn)練3

求關(guān)于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)的解集．答案：原不等式可化為(x－a)(x－a2)>0.當(dāng)a<a2，即a<0或a>1時(shí)，原不等式的解集為{x|x<a或x>a2}；當(dāng)a2<a，即0<a<1時(shí)，原不等式的解集為{x|x<a2或x>a}；當(dāng)a2＝a，即a＝0或a＝1時(shí)，原不等式的解集為{x|x≠a}．綜上所述，當(dāng)a<0或a>1時(shí)，原不等式的解集為{x|x<a或x>a2}；當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式的解集為{x|x<a2或x>a}；當(dāng)a＝0或a＝1時(shí)，原不等式的解集為{x|x≠a}．

答案：原不等式等價(jià)于即

?－2≤x<3.所以原不等式的解集為{x|－2≤x＜3}．

方法歸納1．解分式不等式的步驟(1)移項(xiàng)：將不等式移項(xiàng)，使其一側(cè)為0；(2)通分：將不等式通分成同分母的分式不等式；(3)轉(zhuǎn)化：將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式；(4)求解：解出整式不等式的解集，并作答．

答案：A

(2)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)盈利最大？答案：當(dāng)3＜x≤7時(shí)，f(x)＝－0.5(x－6)2＋4.5，故當(dāng)x＝6時(shí)，f(x)有最大值4.5，而當(dāng)x＞7時(shí)，f(x)＜10.5－7＝3.5，所以當(dāng)工廠生產(chǎn)600臺(tái)產(chǎn)品時(shí)盈利最大．狀元隨筆(1)求利潤(rùn)函數(shù)f(x)?解不等式f(x)＞0?回答實(shí)際問(wèn)題．(2)根據(jù)第(1)題所求范圍，分類討論求函數(shù)最值?回答實(shí)際問(wèn)題．方法歸納解不等式應(yīng)用題的四步驟(1)審：認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；(2)設(shè)：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系；(3)求：解不等式；(4)答：回答實(shí)際問(wèn)題．提醒：確定答案時(shí)應(yīng)注意變量具有的“實(shí)際含義”．跟蹤訓(xùn)練5

某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購(gòu)某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購(gòu)a萬(wàn)擔(dān)，政府為了鼓勵(lì)收購(gòu)公司多收購(gòu)這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x≠0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測(cè)收購(gòu)量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)．(1)寫出稅收y(萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．

狀元隨筆根據(jù)題意，列出各數(shù)量之間的關(guān)系表，如下：

原計(jì)劃降稅后價(jià)格(元/擔(dān))200200稅率10%(10－x)%(0＜x＜10)收購(gòu)量(萬(wàn)擔(dān))aa(1＋2x%)收購(gòu)總金額(萬(wàn)元)200a200·a(1＋2x%)稅收y(萬(wàn)元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%

答案：B

(3)若不等式的解集是R，求k的取值范圍；(4)若不等式的解集是?，求k的取值范圍．

答案：D解析：因?yàn)棣ぃ?－2)2－4×3×1＝－8<0，所以拋物線y＝3x2－2x＋1開(kāi)口向上，與x軸無(wú)交點(diǎn)，故3x2－2x＋1>0恒成立，即不等式3x2－2x＋1>0的解集為R.

答案：B

3．(5分)某小型雨衣廠生產(chǎn)某種雨衣，售價(jià)P(單位：元/件)與月銷售量x(單位：件)之間的關(guān)系為P＝160－2x，生產(chǎn)x件的成本(單位：元)R＝500＋30x.若每月獲得的利潤(rùn)y(單位：元)不少于1300元，則該廠的月銷售量x的取值范圍為(

)A．(20，45)B．[20，45) C．(20，45]D．[20，45]答案：D解析：由題意，得y＝xP－R＝x(160－2x)－(500＋30x)，∴y＝－2x2＋130x－500，令y≥1300，得－2x2＋130x－500≥1300，∴x2－65x＋900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，∴20≤x≤45.故選D.

答案：BD解析：A選項(xiàng)，Δ＝12－4×(－1)×1＝5>0，所以－x2＋x＋1≤0的解集不可能為空集；B選項(xiàng)，Δ＝32－4×2×4＝－23<0，而f(x)＝2x2－3x＋4開(kāi)口向上，所以2x2－3x＋4<0解集為空集；C選項(xiàng)，x2＋6x＋9＝(x＋3)2≤0的解集為x＝－3，所以不為空集；

二、填空題(每小題5分，共15分)5．(5分)不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集為_(kāi)_______．

7．(5分)[2024·四川綿陽(yáng)中學(xué)月考]某種襯衫進(jìn)貨價(jià)為每件30元，若以40元一件出售，則每天能賣出40件；若每件提價(jià)1元，則每天賣出件數(shù)將減少一件，為使每天出售襯衫的凈收入不低于525元，則每件襯衫的售價(jià)的取值范圍是________．(假設(shè)每件襯衫的售價(jià)是m)[45，65]解析：假設(shè)每件襯衫的售價(jià)是m元，則每天的銷售量為80－m(0<m≤80)件，每天出售襯衫的凈收入f(m)＝(80－m)(m－30)，0<m≤80，令f(m)＝(80－m)(m－30)≥525，即m2－110m＋2925≤0，(m－45)(m－65)≤0，解得45≤m≤65.三、解答題(共44分)8．(10分)[2024·江蘇常州高級(jí)中學(xué)月考]已知函數(shù)f(x)＝ax2＋4x＋3.(1)若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集是(b，1)，求a，b的值；

(2)若a>0，求關(guān)于x的不等式f(x)>－ax－1的解集．

9．(17分)解不等式：(1)－x2＋4x＋5>0；答案：－x2＋4x＋5>0可化為x2－4x－5<0，即(x＋1)(x－5)<0，解得－1<x<5，∴原不等式的解集