2024屆北京市首師附高三級第三次統(tǒng)測數(shù)學試題試卷

2023屆北京市首師附高三級第三次統(tǒng)測數(shù)學試題試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．2．已知，，由程序框圖輸出的為（）A．1 B．0 C． D．3．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當時，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若，則實數(shù)a的值為()A． B．3 C． D．4．圓心為且和軸相切的圓的方程是（）A． B．C． D．5．方程的實數(shù)根叫作函數(shù)的“新駐點”，如果函數(shù)的“新駐點”為，那么滿足（）A． B． C． D．6．如圖，平面與平面相交于，，，點，點，則下列敘述錯誤的是（）A．直線與異面B．過只有唯一平面與平行C．過點只能作唯一平面與垂直D．過一定能作一平面與垂直7．在中，分別為所對的邊，若函數(shù)有極值點，則的范圍是（）A． B．C． D．8．若，則“”的一個充分不必要條件是A． B．C．且 D．或9．已知平面向量，滿足，，且，則（）A．3 B． C． D．510．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為11，則圖中的判斷條件可以為（）A． B． C． D．11．已知實數(shù)滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．12．一個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結果是，則判斷框中應填入的條件是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列，則___________.14．已知角的終邊過點，則______.15．設函數(shù)滿足,且當時,又函數(shù),則函數(shù)在上的零點個數(shù)為___________.16．已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求，的值；（2）證明函數(shù)存在唯一的極大值點，且.18．（12分）已知動點到定點的距離比到軸的距離多.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設，是軌跡在上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當，變化且時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）某地為改善旅游環(huán)境進行景點改造．如圖，將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通（道路不計寬度），l1和l2所在直線的距離為0.5（百米），對岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5（百米）（其中A為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸垂直于l3，且交l3于M

），在堤岸線l3上的E，F(xiàn)兩處建造建筑物，其中E，F(xiàn)到M的距離為1

（百米），且F恰在B的正對岸（即BF⊥l3）．（1）在圖②中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并求棧道AB的方程；（2）游客（視為點P）在棧道AB的何處時，觀測EF的視角(∠EPF)最大？請在（1）的坐標系中，寫出觀測點P的坐標．21．（12分）已知橢圓的右焦點為，過作軸的垂線交橢圓于點（點在軸上方），斜率為的直線交橢圓于兩點，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.（1）設橢圓的離心率為，當點為橢圓的右頂點時，的坐標為，求的值.（2）若橢圓的方程為，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.22．（10分）已知函數(shù)（1）當時，求不等式的解集；（2）的圖象與兩坐標軸的交點分別為，若三角形的面積大于，求參數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補集的定義進行計算即可．【詳解】，，則，故選：A．【點睛】本題考查集合的交集和補集的運算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎題．2．D【解析】試題分析：，，所以，所以由程序框圖輸出的為.故選D．考點：1、程序框圖；2、定積分．3．B【解析】

根據(jù)題意，求得函數(shù)周期，利用周期性和函數(shù)值，即可求得.【詳解】由已知可知，，所以函數(shù)是一個以4為周期的周期函數(shù)，所以，解得，故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)周期的求解，涉及對數(shù)運算，屬綜合基礎題.4．A【解析】

求出所求圓的半徑，可得出所求圓的標準方程.【詳解】圓心為且和軸相切的圓的半徑為，因此，所求圓的方程為.故選：A.【點睛】本題考查圓的方程的求解，一般求出圓的圓心和半徑，考查計算能力，屬于基礎題.5．D【解析】

由題設中所給的定義，方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”，根據(jù)零點存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解：由題意方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”，對于函數(shù)，由于，，設，該函數(shù)在為增函數(shù)，，，在上有零點，故函數(shù)的“新駐點”為，那么故選：．【點睛】本題是一個新定義的題，理解定義，分別建立方程解出存在范圍是解題的關鍵，本題考查了推理判斷的能力，屬于基礎題..6．D【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì)，結合線面垂直的關系，對選項中的命題判斷.【詳解】A.假設直線與共面，則A，D，B，C共面，則AB，CD共面，與，矛盾，故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過只有唯一平面與平行，故正確.C.根據(jù)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知，故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過不一定能作一平面與垂直，故錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查異面直線的定義，性質(zhì)以及線面關系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.7．D【解析】試題分析：由已知可得有兩個不等實根.考點：1、余弦定理；2、函數(shù)的極值.【方法點晴】本題考查余弦定理，函數(shù)的極值，涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個不等實根，從而可得.8．C【解析】，∴，當且僅當時取等號.故“且”是“”的充分不必要條件.選C．9．B【解析】

先求出，再利用求出，再求.【詳解】解：由，所以，，，故選：B【點睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運算，是基礎題.10．B【解析】

根據(jù)程序框圖知當時，循環(huán)終止，此時，即可得答案.【詳解】，.運行第一次，，不成立，運行第二次，，不成立，運行第三次，，不成立，運行第四次，，不成立，運行第五次，，成立，輸出i的值為11，結束.故選：B.【點睛】本題考查補充程序框圖判斷框的條件，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.11．B【解析】

作出約束條件的可行域，在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值，作，平移直線即可求解.【詳解】作出實數(shù)滿足不等式組的可行域，如圖（陰影部分）令，則，作出，平移直線，當直線經(jīng)過點時，截距最小，故，即的最小值為.故選：B【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關鍵是作出可行域、理解目標函數(shù)的意義，屬于基礎題.12．D【解析】

首先判斷循環(huán)結構類型，得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì)，然后對循環(huán)體進行分析，找出循環(huán)規(guī)律，判斷輸出結果與循環(huán)次數(shù)以及的關系，最終得出選項．【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結構，判斷框為跳出循環(huán)的語句，第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，此時退出循環(huán)，根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句，，故選D．【點睛】題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖，屬于中檔題．解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；(3)注意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；(4)處理循環(huán)結構的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序，（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列通項公式得到關于的方程,解方程求出代入等比數(shù)列通項公式即可.【詳解】因為，成等差數(shù)列，所以，由等比數(shù)列通項公式得，，所以，解得或，因為，所以，所以等比數(shù)列的通項公式為.故答案為：【點睛】本題考查等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列通項公式；考查運算求解能力和知識綜合運用能力；熟練掌握等差中項和等比數(shù)列通項公式是求解本題的關鍵；屬于中檔題.14．【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得的值．【詳解】解：∵角的終邊過點，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎題．15．1【解析】

判斷函數(shù)為偶函數(shù)，周期為2，判斷為偶函數(shù)，計算，，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像到答案.【詳解】知，函數(shù)為偶函數(shù)，，函數(shù)關于對稱。，故函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，且。為偶函數(shù)，，，當時，，，函數(shù)先增后減。當時，，，函數(shù)先增后減。在同一坐標系下作出兩函數(shù)在上的圖像，發(fā)現(xiàn)在內(nèi)圖像共有1個公共點，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為1．故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)零點問題，確定函數(shù)的奇偶性，對稱性，周期性，畫出函數(shù)圖像是解題的關鍵.16．【解析】

根據(jù)的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，得到，再利用組合數(shù)公式求解.【詳解】因為的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，所以，即，所以，即，解得.故答案為：10【點睛】本題主要考查二項式的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導，可得（1），（1），結合已知切線方程即可求得，的值；（2）利用導數(shù)可得，，再構造新函數(shù)，利用導數(shù)求其最值即可得證．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，則（1），（1），故曲線在點，（1）處的切線方程為，又曲線在點，（1）處的切線方程為，，；（2）證明：由（1）知，，則，令，則，易知在單調(diào)遞減，又，（1），故存在，使得，且當時，，單調(diào)遞增，當，時，，單調(diào)遞減，由于，（1），（2），故存在，使得，且當時，，，單調(diào)遞增，當，時，，，單調(diào)遞減，故函數(shù)存在唯一的極大值點，且，即，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，由于，故（2），即，．【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查推理論證能力，屬于中檔題．18．（1）或；（2）證明見解析，定點【解析】

（1）設，由題意可知，對的正負分情況討論，從而求得動點的軌跡的方程；（2）設其方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到，所以，所以直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點．【詳解】（1）設，動點到定點的距離比到軸的距離多，，時，解得，時，解得.動點的軌跡的方程為或（2）證明：如圖，設，，由題意得（否則）且，所以直線的斜率存在，設其方程為，將與聯(lián)立消去，得，由韋達定理知，，①顯然，，，，將①式代入上式整理化簡可得：，所以，此時，直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點.【點睛】本題主要考查了動點軌跡，考查了直線與拋物線的綜合，是中檔題．19．（1）見解析；（2）【解析】

(1)取的中點,連接,根據(jù)中位線的方法證明四邊形是平行四邊形.再證明與從而證明平面,從而得到平面即可.(2)以所在的直線為軸建立空間直角坐標系,再求得平面的法向量與平面的法向量進而求得二面角的余弦值即可.【詳解】（1）證明：如圖,取的中點,連接.又為的中點,則是的中位線.所以且.又且,所以且.所以四邊形是平行四邊形.所以.因為,為的中點,所以.因為,所以.因為平面,所以.又,所以平面.所以.又,所以平面.又,所以平面.（2）易知兩兩互相垂直,所以分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：因為,所以點.則.設平面的法向量為,由,得,令,得平面的一個法向量為；顯然平面的一個法向量為；設二面角的大小為,則.故二面角的余弦值是.【點睛】本題主要考查了線面垂直的證明以及建立空間直角坐標系求解二面角的問題,需要用到線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)換以及法向量的求法等.屬于中檔題.20．（1）見解析，，x[0，1]；（2）P(，)時，視角∠EPF最大．【解析】

（1）以A為原點，l1為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建系，設出方程，通過點的坐標可求方程；（2）設出的坐標，表示出，利用基本不等式求解的最大值，從而可得觀測點P的坐標．【詳解】（1）以A為原點，l1為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建系由題意知：B(1，0.5)，設拋物線方程為代入點B得：p＝1，故方程為，x[0，1]；（2）設P(，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，記∠EPQ＝，∠FPQ＝，，令，，則：，當且僅當即，即，即時取等號；故P(，)時視角∠EPF最大，答：P(，)時，視角∠EPF最大．【點睛】本題主要考查圓錐曲線的實際應用，理解題意，構建合適的模型是求解的關鍵，涉及最值問題一般利用基本不等式或者導數(shù)來進