工程力學(下)電子教案第九章

第九章壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定的概念兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力教學時數(shù)：2學時教學目標：解受壓桿件的失穩(wěn)，可導致整個機器或結構的損壞。2、通過對本章的學習，理解平衡、不平衡的穩(wěn)定性與壓桿失穩(wěn)的概念，理解并能熟練地應用細長壓桿的臨界載荷－歐拉公式、超過比例極限時壓桿的臨界力—經(jīng)驗公式，臨界應力總圖。掌握壓桿穩(wěn)定性設計的步驟、提高壓桿穩(wěn)定性的措施。教學重點：1、壓桿穩(wěn)定的基本概念；2、細長壓桿臨界荷載的歐拉公式及其應用。重點講解中心受壓直桿失穩(wěn)概念、實際壓桿與中心受壓直桿的區(qū)別、強度破壞與失穩(wěn)破壞的區(qū)別。重點：壓桿穩(wěn)定的概念；歐拉公式。教學難點：歐拉公式的推導。教學方法：板書＋PowerPoint,采用啟發(fā)式教學和問題式教學法結合，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題，激發(fā)學生的學習熱情。教具：教學步驟：（復習提問）（引入新課）（講授新課）§9-1壓桿穩(wěn)定的概念圖1構件除了強度、剛度失效外，還可能發(fā)生穩(wěn)定失效。例如，受軸向壓力的細長桿，當壓力超過一定數(shù)值時，壓桿會由原來的直線平衡形式突然變彎（圖1a），致使結構喪失承載能力；又如，狹長截面梁在橫向載荷作用下，將發(fā)生平面彎曲，但當載荷超過一定數(shù)值時，梁的平衡形式將突然變?yōu)閺澢团まD（圖1b）；受均勻壓力的薄圓環(huán)，當壓力超過一定數(shù)值時，圓環(huán)將不能保持圓對稱的平衡形式，而突然變?yōu)榉菆A對稱的平衡形式（圖1c）。上述各種關于平衡形式的突然變化，統(tǒng)稱為穩(wěn)定失效，簡稱為失穩(wěn)或屈曲。工程中的柱、桁架中的壓桿、薄殼結構及薄壁容器等，在有壓力存在時，都可能發(fā)生失穩(wěn)。圖1圖2由于構件的失穩(wěn)往往是突然發(fā)生的，因而其危害性也較大。歷史上曾多次發(fā)生因構件失穩(wěn)而引起的重大事故。如1907年加拿大勞倫斯河上，跨長為548米圖2“穩(wěn)定”和“不穩(wěn)定”是指物體的平衡性質而言。例如，圖2a所示處于凹面的球體，其平穩(wěn)是穩(wěn)定的，當球受到微小干擾，偏離其平衡位置后，經(jīng)過幾次擺動，它會重新回到原來的平衡位置。圖2b所示處于凸面的球體，當球受到微小干擾，它將偏離其平衡位置，而不再恢復原位，故該球的平衡是不穩(wěn)定的。受壓直桿同樣存在類似的平衡性質問題。例如，圖3a所示下端固定、上端自由的中心受壓直桿，當壓力小于某一臨界值時，桿件的直線平衡形式是穩(wěn)定的。此時，桿件若受到某種微小干擾，它將偏離直線平衡位置，產(chǎn)生微彎（3b）；當干擾撤除后，桿件又回到原來的直線平衡位置（圖3c）。但當壓力超過臨界值時，圖3撤除干擾后，桿件不再回到直線平衡位置，而在彎曲形式下保持平衡（圖3d），這表明原有的直線平衡形式是不穩(wěn)定的。使中心受壓直桿的直線平衡形式，由穩(wěn)定平衡轉變?yōu)椴环€(wěn)定平衡時所受的軸向壓力，稱為臨界載荷，或簡稱為臨界力，用表示。圖3為了保證壓桿安全可靠的工作，必須使壓桿處于直線平衡形式，因而壓桿是以臨界力作為其極限承載能力。可見，臨界力的確定是非常重要的。本章主要討論中心受壓直桿的穩(wěn)定問題。研究確定壓桿臨界力的方法，壓桿的穩(wěn)定計算和提高壓桿承載能力的措施?！?.2兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力圖1ww圖4根據(jù)壓桿失穩(wěn)是由直線平衡形式轉變?yōu)閺澢胶庑问降倪@一重要概念，可以預料，凡是影響彎曲變形的因素，如截面的抗彎剛度，桿件長度圖1ww圖4兩端鉸支中心受壓的直桿如圖4a所示。設壓桿處于臨界狀態(tài)，并具有微彎的平衡形式，如圖b所示。建立坐標系，任意截面（）處的內力（圖4c）為在圖示坐標系中，根據(jù)小撓度近似微分方程，得到令，得微分方程（a）此方程的通解為利用桿端的約束條件，，得，可知壓桿的微彎撓曲線為正弦函數(shù)：（b）利用約束條件，，得這有兩種可能：一是，即壓桿沒有彎曲變形，這與一開始的假設（壓桿處于微彎平衡形式）不符；二是π，１、２、３……。由此得出相應于臨界狀態(tài)的臨界力表達式實際工程中有意義的是最小的臨界力值，即時的值：（9.1）圖5此即計算壓桿臨界力的表達式，又稱為歐拉公式。因此，相應的也稱為歐拉臨界力。此式表明，與抗彎剛度（）成正比，與桿長的平方（）成反比。壓桿失穩(wěn)時，總是繞抗彎剛度最小的軸發(fā)生彎曲變形。因此，對于各個方向約束相同的情形（例如球鉸約束），式（9.1）中的應為截面最小的形心主軸慣性矩。圖5將代入式（）得壓桿的撓度方程為（c）在處，有最大撓度。在上述分析中，的值不能確定，其與的關系曲線如圖5中的水平線所示，這是由于采用撓曲線近似微分方程求解造成的；如采用撓曲線的精確微分方程，則得曲線如圖5中ＡＣ所示。這種曲線稱為壓桿的平衡路徑，它清楚顯示了壓桿的穩(wěn)定性及失穩(wěn)后的特性。可以看出，當<時，壓桿只有一條平衡路徑ＯＡ，它對應著直線平衡形式。當時，其平衡路徑出現(xiàn)兩個分支（AＢ和AＣ），其中一個分支（AＢ）對應著直線平衡形式，另一個分支（AＣ）對應著彎曲平衡形式。前者是不穩(wěn)定的，后者是穩(wěn)定的。如ＡＢ路徑中的Ｄ點一經(jīng)干擾將達到ＡＣ路徑上同一值的點，處于彎曲平衡形式，而且該位置的平衡是穩(wěn)定的。平衡路徑出現(xiàn)分支處的值即為臨界力，故這種失穩(wěn)稱為分支點失穩(wěn)。分支點失穩(wěn)發(fā)生在理想受壓直桿的情況。對實際使用的壓桿而言，軸線的初曲率、壓力的偏心、材料的缺陷和不均勻等因素總是存在的，為非理想受壓直桿。對其進行實驗或理論分析所得平衡路徑如圖15-5中的ＯＦＧＨ曲線，無平衡路徑分支現(xiàn)象，一經(jīng)受壓（無論壓力多?。┘刺幱趶澢胶庑问?，但也有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分。當壓力<，處于路徑ＯＦＧ段上的任一點，如施加使其彎曲變形微增的干擾，然后撤除，仍能恢復原狀（當處于彈性變形范圍），或雖不能完全恢復原狀（如已發(fā)生塑性變形）但仍能在原有壓力下處于平衡狀態(tài)，這說明原平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。而下降路徑ＧＨ段上任一點的平衡是不穩(wěn)定的，因一旦施加使其彎曲變形微增的干擾，壓桿將不能維持平衡而被壓潰。壓力稱為失穩(wěn)極值壓力，它比理想受壓直桿的臨界力小，且隨壓桿的缺陷（初曲率、壓力偏心等）的減小而逐漸接近。因的計算比較簡單，它對非理想受壓直桿的穩(wěn)定計算有重要指導意義，故本書的分析是以理想受壓直桿為主。§9.3其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力用上述方法，還可求得其他約束條件下壓桿的臨界力，結果如下：1）一端固定、一端自由的壓桿（圖15-6a）2）兩端固定的壓桿（圖15-6b）3）一端固定、一端鉸支的壓桿（圖15-6c）綜合起來，可以得到歐拉公式的一般形式為（15-2）式中，稱為相當長度。稱為長度系數(shù)，它反映了約束情況對臨界載荷的影響：兩端鉸支一端固定、一端自由兩端固定一端固定、一端鉸支由此可知，桿端的約束愈強，則值愈小，壓桿的臨界力愈高；桿端的約束愈弱，則值愈大，壓桿的臨界力愈低。事實上，壓桿的臨界力與其撓曲線形狀是有聯(lián)系的，對于后三種約束情況的壓桿，如果將它們的撓曲線形狀與兩端鉸支壓桿的撓曲線形狀加以比較，就可以用幾何類比的方法，求出它們的臨界力。從15-6中撓曲線形狀可以看出：長為的一端固定、另端自由的壓桿，與長為的兩端鉸支壓桿相當；長為的兩端固定壓桿（其撓曲線上有Ａ、Ｂ兩個拐點，該處彎矩為零），與長為0.5l的兩端鉸支壓桿相當；長為的一端固定、另端鉸支的壓桿，約與長為的兩端鉸支壓桿相當。需要指出的是，歐拉公式的推導中應用了彈性小撓度微分方程，因此公式只適用于彈性穩(wěn)定問題。另外，上述各種值都是對理想約束而言的，實際工程中的約束往往是比較復雜的，例如壓桿兩端若與其他構件連接在一起，則桿端的約束是彈性的，值一般在0.5與1之間，通常將值取接近于1。對于工程中常用的支座情況，長度系數(shù)可從有關設計手冊或規(guī)范中查到。（課堂小結）作業(yè)布置：9.19.5第九章壓桿穩(wěn)定第四節(jié)歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗公式第五節(jié)壓桿的穩(wěn)定校核第六節(jié)提高壓桿承載能力的措施教學時數(shù)：2學時教學目標：了解歐拉公式的適用范圍,熟練掌握進行壓桿的穩(wěn)定計算的兩種方法,并掌握提高壓桿承載能力的幾種措施教學重點：熟練掌握進行壓桿的穩(wěn)定計算的兩種方法教學難點：壓桿的穩(wěn)定計算的兩種方法教學方法：板書＋PowerPoint教具：教學步驟：（復習提問）（引入新課）（講授新課）§9.4歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗公式如上節(jié)所述，歐拉公式只有在彈性范圍內才是適用的。為了判斷壓桿失穩(wěn)時是否處于彈性范圍，以及超出彈性范圍后臨界力的計算問題，必須引入臨界應力及柔度的概念。壓桿在臨界力作用下，其在直線平衡位置時橫截面上的應力稱為臨界應力，用表示。壓桿在彈性范圍內失穩(wěn)時，則臨界應力為：（a）式中稱為柔度，為截面的慣性半徑，即，（9.6）式中Ｉ為截面的最小形心主軸慣性矩，Ａ為截面面積。柔度又稱為壓桿的長細比。它全面的反映了壓桿長度、約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界力的影響。柔度在穩(wěn)定計算中是個非常重要的量，根據(jù)所處的范圍，可以把壓桿分為三類：（一）細長桿（）當臨界應力小于或等于材料的比例極限時，即壓桿發(fā)生彈性失穩(wěn)。若令（15-5）則時，壓桿發(fā)生彈性失穩(wěn)。這類壓桿又稱為大柔度桿。對于不同的材料，因彈性模量Ｅ和比例極限各不相同，的數(shù)值亦不相同。例如A3鋼，，，用式（15-5）可算得。9-6壓桿的穩(wěn)定校核工程上通常采用下列兩種方法進行壓桿的穩(wěn)定計算。1．安全系數(shù)法為了保證壓桿不失穩(wěn)，并具有一定的安全裕度，因此壓桿的穩(wěn)定條件可表示為（15-7）式中為壓桿的工作載荷，是壓桿的臨界載荷，是穩(wěn)定安全系數(shù)。由于壓桿存在初曲率和載荷偏心等不利因素的影響。值一般比強度安全系數(shù)要大些，并且越大，值也越大。具體取值可從有關設計手冊中查到。在機械、動力、冶金等工業(yè)部門，由于載荷情況復雜，一般都采用安全系數(shù)法進行穩(wěn)定計算。2．穩(wěn)定系數(shù)法壓桿的穩(wěn)定條件有時用應力的形式表達為（15-8）式中的為壓桿的工作載荷，為橫截面面積，為穩(wěn)定許用應力。，它總是小于強度許用應力。于是式（15-8）又可表達為（15-9）其中稱為穩(wěn)定系數(shù)，它由下式確定：式中為強度計算中的危險應力，由臨界應力圖（圖15-7）可看出，，且，故為小于1的系數(shù)，也是柔度的函數(shù)。表9.2所列為幾種常用工程材料的對應數(shù)值。對于柔度為表中兩相鄰值之間的，可由直線內插法求得。由于考慮了桿件的初曲率和載荷偏心的影響，即使對于粗短桿，仍應在許用應力中考慮穩(wěn)定系數(shù)。在土建工程中，一般按穩(wěn)定系數(shù)法進行穩(wěn)定計算。還應指出，在壓桿計算中，有時會遇到壓桿局部有截面被削弱的情況，如桿上有開孔、切糟等。由于壓桿的臨界載荷是從研究整個壓桿的彎曲變形來決定的，局部截面的削弱對整體變形影響較小，故穩(wěn)定計算中仍用原有的截面幾何量。但強度計算是根據(jù)危險點的應力進行的，故必須對削弱了的截面進行強度校核，即（15-10）式中的是橫截面的凈面積。表15-2壓桿的穩(wěn)定系數(shù)3號鋼鋼鑄鐵木材010]201.0000.9950.9811.0000.9930.9731.000.970.911.000.990.9730400.9580.9270.9400.8950.810.690.930.8750600.8880.8420.8400.7760.570.440.800.7170800.7890.7310.7050.6270.340.260.600.48901000.6690.6040.5460.4620.200.160.380.311101200.5360.4660.3840.3250.260.221301400.4010.3490.2790.2420.180.161501600.3060.2720.2130.1880.140.121701800.2430.2180.1680.1510.110.101902000.1970.1800.1360.1240.090.08

§9-7提高壓桿承載能力的措施壓桿的穩(wěn)定性取決于臨界載荷的大小。由臨界應力圖可知，當柔度減小時，則臨界應力提高，而，所以提高壓桿承載能力的措施主要是盡量減小壓桿的長度，選用合理的截面形狀，增加支承的剛性以及合理選用材料?，F(xiàn)分述如下：1．減小壓桿的長度減小壓桿的長度，可使降低，從而提高了壓桿的臨界載荷。工程中，為了減小柱子的長度，通常在柱子的中間設置一定形式的撐桿，它們與其他構件連接在一起后，對柱子形成支點，限制了柱子的彎曲變形，起到減小柱長的作用。對于細長桿，若在柱子中設置一個支點，則長度減小一半，而承載能力可增加到原來的4倍。2．選擇合理的截面形狀壓桿的承載能力取決于最小的慣性矩I，當壓桿各個方向的約束條件相同時，使截面對兩個形心主軸的慣性矩盡可能大，而且相等，是壓桿合理截面的基本原則。因此，薄壁圓管（圖15-8a）、正方形薄壁箱形截面（圖15-8b）是理想截面，它們各個方向的慣性矩相同，且慣性矩比同等面積的實心桿大得多。但這種薄壁桿的壁厚不能過薄，否則會出現(xiàn)局部失穩(wěn)現(xiàn)象。對于型鋼截面（工字鋼、槽鋼、角鋼等），由于它們的兩個形心主軸慣性矩相差較大，