結(jié)構(gòu)力學授課教案

第八章位移法本章的問題：什么是位移法的基本未知量？為什么求內(nèi)力時可采用剛度的相對值，而求位移時則需采用剛度的真值？在力法和位移法中，各以什么方式來滿足平衡條件和變形連續(xù)條件？位移法的基本體系和基本結(jié)構(gòu)有什么不同？它們各自在位移法的計算過程中起什么作用？直接平衡法和典型方程法有何異同？力法和位移法的優(yōu)缺點？在位移法中如何運用結(jié)構(gòu)的對稱性？§8-1位移法概述對圖8-1所示單跨梁，象力法[例題7-4]-[例題7-6]那樣進行求解，從而可建立表8-1所示桿端內(nèi)力。需要指出的是，對于斜桿除表中所示彎矩、剪力外，還有軸力。由位移引起的桿端內(nèi)力稱為“形常數(shù)”（shapeconstant）。由“廣義荷載”產(chǎn)生的桿端內(nèi)力稱為“載常數(shù)”（loadconstant），其中外荷載產(chǎn)生的桿端內(nèi)力稱為固端內(nèi)力（internalforceoffixed-end）。桿端內(nèi)力的符號及正、負規(guī)定見第3章。兩端固定一固一鉸一固一定向圖8-1位移法基本單跨梁示意圖表8-1形常數(shù)和載常數(shù)表*序號計算簡圖及撓度圖彎矩圖固端彎矩固端剪力1兩端固定線位移2兩端固定轉(zhuǎn)角3一固一鉸線位移04一固一鉸轉(zhuǎn)角05一固一定向線位移0000*左桿端A、右桿端B；桿長l，截面抗彎剛度EI；均布荷載集度q，集中力偶M，集中力FP。續(xù)表7-1形常數(shù)和載常數(shù)表序號計算簡圖及撓度圖彎矩圖固端彎矩固端剪力6一固一定向轉(zhuǎn)角007兩端固定滿跨均布荷載8兩端固定跨中集中力9兩端固定跨中集中力偶10一固一鉸滿跨均布荷載011一固一鉸跨中集中力012一固一鉸鉸端集中力偶13一固一定向滿跨均布荷載014一固一定向定向端集中力15兩端固定溫差0016一固一鉸溫差0*左桿端A、右桿端B；桿長l，截面抗彎剛度EI；均布荷載集度q，集中力偶M，集中力FP。續(xù)表8-1形常數(shù)和載常數(shù)表序號計算簡圖及撓度圖彎矩圖固端彎矩固端剪力17一固一定向溫差0018兩端固定斜桿滿跨均布19兩端固定斜桿跨中集中力20一固一鉸斜桿滿跨均布021一固一鉸斜桿跨中集中力022一固一定向斜桿滿跨均布*左桿端A、右桿端B；桿長l，截面抗彎剛度EI；均布荷載集度q，集中力偶M，集中力FP。圖8-2單跨梁桿段位移和荷載作用有了表8-1，則圖8-2所示的兩端固定單跨梁，利用形、載常數(shù)和疊加原理可得桿端內(nèi)力。例如A端桿端彎矩為圖8-2單跨梁桿段位移和荷載作用（a）A端桿端剪力為（b）式（a）和式（b）中和為荷載引起的固端彎矩和固端剪力。同理，也可疊加得到B端的桿端內(nèi)力和。這些將桿端位移和桿端內(nèi)力聯(lián)系起來的式子，稱為兩端固定單跨梁的轉(zhuǎn)角位移方程（slope-deflectionequation）或剛度方程（stiffnessequation）。顯然，根據(jù)形、載常數(shù)和疊加原理，也可建立一固一鉸、一固一定向單跨梁的轉(zhuǎn)角位移方程?！?-2位移法方程的建立力法思路強調(diào)的是“轉(zhuǎn)換”，當然位移法本質(zhì)上仍然是將未知問題化為已知問題來解決，也存在轉(zhuǎn)換的思想。但位移法的轉(zhuǎn)換與力法不同，是“先化整為零，再集零為整”，或稱為“離散和歸整”。位移法有兩種解題方法：平衡方程法和典型方程方法。1、平衡方程法為便于理解，仍然用一實例來說明位移法思路。圖8-3a所示為二次超靜定結(jié)構(gòu)。在不考慮軸向變形的情況下，只有B結(jié)點能產(chǎn)生轉(zhuǎn)角位移，作為廣義位移記作。只限止轉(zhuǎn)動不限制位移的剛臂約束圖8-3位移法思路從表8-1結(jié)果（或轉(zhuǎn)角位移方程）可以想到，如果以結(jié)點位移作基本未知量，先求出位移，由于結(jié)點位移協(xié)調(diào)，也即得到了桿件AB和CB（以后稱為單元element）的桿端位移，然后根據(jù)形常數(shù)和載常數(shù)，用疊加原理就可以得到結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。只限止轉(zhuǎn)動不限制位移的剛臂約束圖8-3位移法思路對一般結(jié)構(gòu)，為實現(xiàn)這個想法，首先需要將待解的結(jié)構(gòu)拆成圖8-1所示三種單跨梁的集合。這一“離散”工作，可采用8-3b加約束使結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生結(jié)點獨立位移來實現(xiàn)。圖8-3所示結(jié)構(gòu)可如圖8-3b在B結(jié)點加一個限制轉(zhuǎn)動約束，使AB桿成為兩端固定單元，CB成為一端鉸支一端固定單元。這個增加約束，除靜定部分外，其每一根桿都可看成是表8-1中單跨梁的結(jié)構(gòu)，稱為位移法基本結(jié)構(gòu)。獨立的結(jié)點位移，則作為位移法的基本未知量，因是廣義位移故記作。完成了“離散”（也稱為“拆”）的過程，在保證結(jié)點產(chǎn)生協(xié)調(diào)的位移和單元荷載作用下，根據(jù)形常數(shù)和載常數(shù)可以得到各單元的受力、求得桿端內(nèi)力。對圖8-3b所示結(jié)構(gòu)AB單元B端桿端彎矩為，BC單元B端桿端彎矩為。它們分別可表示為；式中、分別代表由結(jié)點位移、荷載所引起桿端彎矩。現(xiàn)在以結(jié)點或結(jié)構(gòu)部分為對象，對圖8-3所示結(jié)構(gòu)也即取B結(jié)點，可以建立和各結(jié)點獨立位移相應的廣義力平衡條件。對圖8-3所示結(jié)構(gòu)也即令由形常數(shù)可得，從上式就可以求得位移。同樣，對一般結(jié)構(gòu)，有多少獨立結(jié)點位移，就可以建立多少廣義力平衡條件，這些方程稱為位移法方程，由此就可以解決位移的計算，然后就可以用轉(zhuǎn)角位移方程求得各桿端內(nèi)力，進而作出內(nèi)力圖。這就是位移法中平衡方程法解題的思路。2、典型方程法平衡方程法力學概念非常清楚，但不能象力法那樣以統(tǒng)一的形式給出位移法方程。為此討論第二種位移法思路──典型方程法。象力法一樣，首先確定待分析問題位移法的結(jié)點獨立位移未知量個數(shù)，對圖8-3所示結(jié)構(gòu)基本未知量只一個，即結(jié)點的轉(zhuǎn)角位移。然后加限制結(jié)點位移的相應約束，線位移加鏈桿，角位移加限制轉(zhuǎn)動的剛臂，建立位移法基本結(jié)構(gòu)。圖8-3a的基本結(jié)構(gòu)如圖8-3b。和平衡方程法一樣，基本結(jié)構(gòu)是一個可以拆成圖8-1所示三類單跨梁的超靜定結(jié)構(gòu)。和力法一樣受基本未知量和外因共同作用的基本結(jié)構(gòu)，稱為基本體系。圖8-4單位和荷載彎矩圖仍然象力法那樣，令基本結(jié)構(gòu)分別產(chǎn)生單一的單位基本位移，根據(jù)形常數(shù)可做出基本結(jié)構(gòu)單位內(nèi)力圖（對剛架為單位彎矩圖）。根據(jù)載常數(shù)可作出基本結(jié)構(gòu)“荷載”內(nèi)力圖（對剛架為“荷載”彎矩圖）。對于圖8-3a所示結(jié)構(gòu)其兩個彎矩圖如圖8-4所示。圖中和分別為和，稱為和桿的線剛度（linestiffness）。習慣上單位長度的抗彎剛度記作。根據(jù)單位和“荷載”內(nèi)力圖，從單位內(nèi)力圖取結(jié)點或部分隔離體可計算所引起的位移對應的附加約束上的反力系數(shù)，從“荷載”內(nèi)力圖取結(jié)點或部分隔離體可計算位移對應的附加約束上的反力。對于圖8-3a所示結(jié)構(gòu)，。圖8-4單位和荷載彎矩圖基本結(jié)構(gòu)和原結(jié)構(gòu)有兩點區(qū)別：原結(jié)構(gòu)在外因下是有結(jié)點位移的，而基本結(jié)構(gòu)是無結(jié)點位移的；基本結(jié)構(gòu)有附加的約束，而原結(jié)構(gòu)是無附加約束的?；倔w系是令基本結(jié)構(gòu)發(fā)生原結(jié)構(gòu)待求的位移（）同時受有外因作用，從結(jié)點位移方面看基本體系和原結(jié)構(gòu)沒有了差別，但是由于待求位移（）和外因作用，第個附加約束上將產(chǎn)生的約束總反力，顯然這是和原結(jié)構(gòu)仍然不同的。為了消除這一差別（原結(jié)構(gòu)沒有附加約束），第個附加約束上的總反力應該等于零，也即或（）（8-2）對于圖8-3a所示結(jié)構(gòu)為。式（8-2）稱為位移法典型方程，和力法一樣對線彈性結(jié)構(gòu)是線性代數(shù)方程組。求解即可得到基本未知量（），求得位移基本未知量以后，和力法相仿由進行疊加，可以獲得基本體系也即原結(jié)構(gòu)的彎矩（內(nèi)力），進而可求超靜定結(jié)構(gòu)的任意位移等等。顯然，典型方程位移法和力法的思路是十分相象的，對照力法，位移法典型方程也可用矩陣方程表示（8-3）式中是由反力系數(shù)組成的方陣，稱為結(jié)構(gòu)剛度矩陣。反力系數(shù)的物理意義是，由單位位移引起的，在與對應的約束上沿方向所產(chǎn)生的反力。或理解為：僅產(chǎn)生單位位移時，在處沿方向所需施加的力。也稱為剛度系數(shù)（stiffnesscoefficient），稱為主系數(shù)，稱為副系數(shù)。由形常數(shù)可知，要產(chǎn)生位移當然要加力，因此主系數(shù)一定恒正。為由組成的未知位移矩陣，為由組成的廣義荷載反力矩陣，稱為廣義荷載反力（reactionforceofgeneralizedload）。3、位移法基本未知量及基本結(jié)構(gòu)圖8-5位移法基本未知量確定和對應基本結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移分兩類：線位移和角位移，位移法基本未知量是結(jié)點的獨立位移，當然未知量總數(shù)應該是獨立線位移和獨立角位移的和。確定未知量總的原則是：“在原結(jié)構(gòu)的結(jié)點上逐漸加約束，直到能將結(jié)構(gòu)拆成具有已知形常數(shù)和載常數(shù)的單跨梁為止”。因為單跨梁有多種，如果考慮到可由力法計算結(jié)果來添加表8-1單跨梁類型的話，可想而知位移法基本未知量數(shù)量是很靈活的。從人工手算角度，當然是未知量個數(shù)最少的方案最好。對手算常規(guī)問題來說，獨立角位移個數(shù)=位移未知的剛結(jié)點個數(shù)，獨立線位移數(shù)量=變剛結(jié)點為鉸后，為使鉸結(jié)體系幾何不變所要加的最少鏈桿數(shù)（鉸結(jié)體系幾何不變，線位移數(shù)為零）。需要指出的是，如果待求結(jié)構(gòu)中有靜定部分，由于靜定部分內(nèi)力可用平衡方程直接獲得，不需要用位移法求解，因此其位移不必作為位移法基本未知量。圖8-5位移法基本未知量確定和對應基本結(jié)構(gòu)確定了獨立位移未知量，在結(jié)點上加約束消除獨立位移，即得基本結(jié)構(gòu)。對應線位移加支座鏈桿，對應角位移加限制轉(zhuǎn)動的剛臂，確定位移法基本未知量的例子如圖8-5所示。圖8-5a有靜定部分，確定位移法基本未知量時可不考慮，因此如圖所示。圖8-5b用計算自由度分析鉸結(jié)體系可變性，從而確定線位移個數(shù)，因此如圖所示。圖8-5c中桿部分彎矩和剪力是靜定的，因此確定位移未知量時可等效變換成第二個圖所示結(jié)構(gòu)后再分析，所以如圖分析。圖8-5d中有彈性支座，由于沒有帶彈性支座的單跨梁形、載常數(shù)，或者說彈性支座處線位移是未知的，所以如圖分析。圖8-5e中有無限剛性的梁，在不考慮軸向變形的條件下剛性梁不可能轉(zhuǎn)動，所以如圖分析。4、典型方程位移法解題步驟從典型方程法思路介紹可知，典型方程位移法的求解步驟和力法一一對應。確定位移法基本未知量及基本結(jié)構(gòu)需要指出的是，待分析結(jié)構(gòu)有靜定部分或彎矩、剪力靜定時，確定位移法基本未知量不考慮它；彈性支座處的位移要作為未知量考慮；豎柱剛架有無限剛性梁時，剛性梁處剛結(jié)點無轉(zhuǎn)角未知位移。作基本結(jié)構(gòu)單位未知位移和荷載內(nèi)力圖由于基本結(jié)構(gòu)可拆成已知受力特性的單元，因此由形常數(shù)、載常數(shù)即可作出這些圖形。由此可見，熟記形常數(shù)和一些常見荷載的載常數(shù)，對位移法求解來說是十分重要的。求基本結(jié)構(gòu)由各單位位移所引起的沿單位位移方向的反力如果對應的約束是剛臂，則由圖取剛臂結(jié)點用結(jié)點力矩平衡計算。如果和對應的約束中有一個是剛臂，根據(jù)反力互等定理，仍可以結(jié)點為對象考慮力矩平衡來計算。如果和對應的約束都是鏈桿，則由圖取部分隔離體考慮平衡來計算求基本結(jié)構(gòu)外因引起的沿單位位移（）方向的約束反力這可由外因內(nèi)力圖來求，計算原則和求相同。建立位移法典型方程并求解基本結(jié)構(gòu)在未知位移和外因共同作用下，應該和無附加約束的原結(jié)構(gòu)一樣處于平衡狀態(tài)。因此，根據(jù)平衡條件基本體系所產(chǎn)生的未知位移方向約束總反力等于零，由此即可列出線性代數(shù)方程組。也即（）或（4-2）用消去法解線性代數(shù)方程組，即可獲得基本未知位移。當然，未知位移個數(shù)超過三個時手算是很繁的，需要用計算機來求解。作超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖和求超靜定結(jié)構(gòu)位移等根據(jù)疊加原理，在求得未知位移后，由單位內(nèi)力和荷載內(nèi)力疊加即可得到超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力，依此可作內(nèi)力圖（受彎結(jié)構(gòu)和靜定結(jié)構(gòu)一樣，按彎矩、剪力、軸力的順序來作）。求非結(jié)點位移等其他計算內(nèi)容，和力法完全一樣。校核分析結(jié)果由于單位內(nèi)力是在位移協(xié)調(diào)前提下作出的，而求荷載內(nèi)力時根本沒有獨立結(jié)點位移，因此位移協(xié)調(diào)條件自動滿足。所以，位移法的校核主要是看平衡條件是否滿足。和力法一樣，位移法求解步驟也適用于一切結(jié)構(gòu)、一切外因作用。5、位移法解超靜定結(jié)構(gòu)舉例通常假設(shè)結(jié)點和桿端水平位移向右為正，豎向位移向上為正，轉(zhuǎn)角逆時針為正。不管位移正向如何規(guī)定，剛度系數(shù)和廣義荷載反力的正向設(shè)定必須和位移正向規(guī)定的一致。[例題8-1]試求作圖8-6a所示無側(cè)移剛架的彎矩圖。解：1.按位移法基本未知量確定方法，，因此基本結(jié)構(gòu)如圖8-6b。圖8-6例8-1結(jié)構(gòu)和求解2.設(shè)剛結(jié)點角位移為，令其產(chǎn)生單位位移，則由形常數(shù)可做出單位彎矩圖如圖8-6c。圖8-6例8-1結(jié)構(gòu)和求解3.根據(jù)載常數(shù)可作出基本結(jié)構(gòu)荷載彎矩圖如圖8-6d。4.由剛結(jié)點的力矩平衡，從可求得剛度系數(shù)。從可求得廣義荷載反力系數(shù)。其計算過程如圖8-6e所示。5.根據(jù)約束總反力為零，即位移法典型方程。代入系數(shù)并求解，可得。6.由進行疊加，可得圖8-6f所示的結(jié)構(gòu)最終彎矩圖。7.取剛結(jié)點顯然，也即滿足平衡條件，說明結(jié)果是正確的。[例題8-2]試求作圖8-7a所示有側(cè)移剛架的彎矩圖。圖8-7例8-2結(jié)構(gòu)及求解示意解：1.按位移法基本未知量確定方法，，因此基本結(jié)構(gòu)如圖8-7b。圖8-7例8-2結(jié)構(gòu)及求解示意2.設(shè)剛結(jié)點角位移為，獨立線位移為。令其分別產(chǎn)生單位位移，則由形常數(shù)可作出單位彎矩圖和如圖8-7c。3.荷載下懸臂部分彎矩圖按靜定結(jié)構(gòu)作出，因此基本結(jié)構(gòu)荷載彎矩圖如圖8-7d。4.由剛結(jié)點的力矩平衡，從可求得剛度系數(shù)，從可求得剛度系數(shù)。從圖取柱子為隔離體，由彎矩求出剪力。然后再如圖e取隔離體列，可求得剛度系數(shù)。同理，從可求得廣義荷載反力系數(shù)。其