概率論公式總結(jié)30347

概率論公式總結(jié)30347第1章隨機(jī)事件及其概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)B?A時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=Ω時(shí)，P(B)=1-P(B)乘法公式乘法公式：P更一般地，對(duì)事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，則有…………。獨(dú)立性①兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的。若事件、相互獨(dú)立，且，則有②多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C）全概公式。貝葉斯公式P(BiA)=P此公式即為貝葉斯公式。P(Bi)，（…，），通常叫先驗(yàn)概率。P(BiA)第二章隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面性質(zhì)：。離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系P(X=x)≈設(shè)設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)F(x)=P(X≤x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。1.0≤F(x)≤1,?∞<x<+∞；2。F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即x1<x2（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二項(xiàng)分布在n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X，則X可能取值為0,1,2,P(X=則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布。記為X~B(n,p)。當(dāng)n=泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~π(λ)超幾何分布P隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布P(X=k)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)在[a，b]上為常數(shù)1b?a，即當(dāng)當(dāng)a≤x1<x2≤b時(shí)，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為Pf(x)a≤x≤b指數(shù)分布,,0,,其中，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。0,,X的分布函數(shù)為,記住積分公式0+∞xn,記住積分公式0x<0。正態(tài)分布XX?P設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為f(x)=12πσe?(x?μ)f具有如下性質(zhì)：1°的圖形是關(guān)于對(duì)稱的；2°當(dāng)時(shí)，f(μ若，則的分布函數(shù)為是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝12。如果X~N。函數(shù)分布離散型已知X的分布列為

XPY=g(YP若有某些g(xi)相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。第三章二維隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型對(duì)于二維隨機(jī)向量ξ=(X,Y)，如果存在非負(fù)函數(shù)P(X,Y)∈D=Df(x,y)dxdy,則稱f(x,y)≥0;（2）f離散型與連續(xù)型的關(guān)系P邊緣分布離散型X的邊緣分布為PiY的邊緣分布為Pj連續(xù)型X的邊緣分布密度為fX(f離散型p有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：F態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（μ1n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。μ=iZ=max,min(X1,X2,…Xn)若X1,X2?Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fx1Fmaxχ2設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量X1W=i=1nXi2W～χ所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。χ2分布滿足可加性：設(shè)Yit分布設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X~N(0,1),Y~χ2(n),F分布設(shè)X~χ2(n1),Y~χ2(n2)，且X與Y獨(dú)立，可以證明F=XF第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P(X=xk)＝pkE(設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，E(函數(shù)的期望Y=g(X)EY=g(X)E方差D(X)=E[X-E(X)]2，標(biāo)準(zhǔn)差σ(DD（2）期望的性質(zhì)E(C)=CE(CX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)，EE(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。（3）方差的性質(zhì)D(C)=0；E(C)=CD(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+bD(X)=E(X2)-E2(X)D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布Bpp二項(xiàng)分布Bnpnp泊松分布Pλλ幾何分布G11超幾何分布HnMnM均勻分布Ua(指數(shù)分布e11正態(tài)分布Nμσχn2nt分布0nn二維隨機(jī)變量數(shù)字特征期望EEEE函數(shù)的期望E[iE[－方差D(DD協(xié)方差對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩μ11為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為σσXY=μ11=E[(X?E(X))(Y?E相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，則稱σXYD(X)D(Y)|ρ|≤1，當(dāng)|ρ|=1時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)：P(X而當(dāng)ρ=0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：①ρ協(xié)方差的性質(zhì)cov(X,Y)=cov(Y,X);cov(aX,bY)=abcov(X,Y);cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).獨(dú)立和不相關(guān)若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則ρXY（2）中心極限定理X列維－林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：E(Yn=k=1nXk?limn→∞棣莫弗－拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量Xn為具有參數(shù)n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,=第六章樣本及抽樣分布常見統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本均值 x樣本方差 S樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩EE(E(其中S?（2）正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)x1,x2ut分布設(shè)x1,x