2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題3.7函數(shù)的圖象知識(shí)點(diǎn)講解含解析

專題3.7函數(shù)的圖象【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和探討函數(shù)的性質(zhì).2．培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).3.高考預(yù)料：（1）函數(shù)圖象的辨識(shí)（2）函數(shù)圖象的變換（3）主要有由函數(shù)的性質(zhì)及解析式選圖；由函數(shù)的圖象來(lái)探討函數(shù)的性質(zhì)、圖象的變換、數(shù)形結(jié)合解決不等式、方程等問(wèn)題．經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查.4.備考重點(diǎn)（1）基本初等函數(shù)的圖象（2）兩圖象交點(diǎn)、函數(shù)性質(zhì)、方程解的個(gè)數(shù)、不等式的解集等方面的應(yīng)用.【學(xué)問(wèn)清單】1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；(3)探討函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等)；(4)列表(尤其留意特別點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對(duì)稱變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)的圖象；y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于直線y＝x對(duì)稱))y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象.(3)伸縮變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(縱坐標(biāo)不變),\s\do5(各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(橫坐標(biāo)不變),\s\do5(各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A（A>0）倍))y＝Af(x).(4)翻轉(zhuǎn)變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(x軸下方部分翻折到上方),\s\do5(x軸及上方部分不變))y＝|f(x)|的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\do5(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖象.【典例剖析】高頻考點(diǎn)一：作圖【典例1】（2024·全國(guó)高一）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，（1）在給定坐標(biāo)系下畫(huà)出的圖像，并寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間.（2）求出的解析式.【答案】（1）圖像見(jiàn)詳解，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）【解析】（1）的圖像如圖所示：可得其單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）當(dāng)時(shí)，，且為奇函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，故可得的解析式為：.【典例2】(2024年全國(guó)卷Ⅲ理)設(shè)函數(shù)．（1）畫(huà)出的圖象；（2）當(dāng)，，求的最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）的圖象如圖所示．（2）由（1）知，的圖像與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，在成立，因此的最小值為．【規(guī)律方法】函數(shù)圖象的畫(huà)法(1)干脆法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟識(shí)的基本函數(shù)時(shí)，就可依據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)干脆作出．(2)轉(zhuǎn)化法：含有肯定值符號(hào)的函數(shù)，可去掉肯定值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)畫(huà)圖象．【變式探究】1.對(duì)、，記，函數(shù)．（1）求，．（2）寫(xiě)出函數(shù)的解析式，并作出圖像．（3）若關(guān)于的方程有且僅有個(gè)不等的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（只需寫(xiě)出結(jié)論）【答案】見(jiàn)解析．【解析】解：（1）∵，函數(shù)，∴，．（2）（3）或．2.（2024·全國(guó)高一）在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，我們經(jīng)驗(yàn)了“確定函數(shù)的表達(dá)式利用函數(shù)圖象探討其性質(zhì)——運(yùn)用函數(shù)解決問(wèn)題“的學(xué)習(xí)過(guò)程，在畫(huà)函數(shù)圖象時(shí)，我們通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線的方法畫(huà)出了所學(xué)的函數(shù)圖象．同時(shí)，我們也學(xué)習(xí)過(guò)肯定值的意義．結(jié)合上面經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程，現(xiàn)在來(lái)解決下面的問(wèn)題：在函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（1）求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)干脆畫(huà)出此函數(shù)的圖象并寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的兩條性質(zhì)；（3）在圖中作出函數(shù)的圖象，結(jié)合你所畫(huà)的函數(shù)圖象，干脆寫(xiě)出不等式的解集．【答案】（1）；（2）圖象、性質(zhì)見(jiàn)解析；（3）．【解析】（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，得，解得,所以，函數(shù)的解析式為；（2）圖象如下：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為；（3）圖象如下，視察圖象可得不等式的解集為：．【典例3】畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，并說(shuō)明它們是由函數(shù)f(x)＝2x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的.(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝－2x；(4)y＝2|x|；(5)y＝|2x－1|；(6)y＝－2－x.【答案】見(jiàn)解析【解析】如圖所示．(1)y＝2x－1的圖象是由y＝2x的圖象向右平移1個(gè)單位得到的；(2)y＝2x＋1的圖象是由y＝2x的圖象向上平移1個(gè)單位得到的；(3)y＝－2x的圖象與y＝2x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；(4)y＝2|x|的圖象是由y＝2x的y軸右邊的圖象和其關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象組成的；(5)y＝|2x－1|的圖象是由y＝2x的圖象向下平移1個(gè)單位，然后將其x軸下方的圖象翻折到x軸上方得到的；(6)y＝－2－x的圖象與y＝2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．【典例4】分別畫(huà)出下列函數(shù)的圖象：【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)首先作出y＝lgx的圖象C1，然后將C1向右平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)＝lg(x－1)的圖象C2，再把C2在x軸下方的圖象作關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象，即為所求圖象C3：y＝|lg(x－1)|.如圖1所示(實(shí)線部分).(2)y＝2x＋1－1的圖象可由y＝2x的圖象向左平移1個(gè)單位，得y＝2x＋1的圖象，再向下平移一個(gè)單位得到，如圖2所示.(3)第一步作y＝lgx的圖像．其次步將y＝lgx的圖像沿y軸對(duì)折后與原圖像，同為y＝lg|x|的圖像．第三步將y＝lg|x|的圖像向右平移一個(gè)單位，得y＝lg|x－1|的圖像第四步將y＝lg|x－1|的圖像在x軸下方部分沿x軸向上翻折，得的圖像，如圖3．【規(guī)律方法】1．平移變換當(dāng)m>0時(shí)，y＝f(x－m)的圖象可以由y＝f(x)的圖象向右平移m個(gè)單位得到；y＝f(x＋m)的圖象可以由y＝f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位得到；y＝f(x)＋m的圖象可以由y＝f(x)的圖象向上平移m個(gè)單位得到；y＝f(x)－m的圖象可以由y＝f(x)的圖象向下平移m個(gè)單位得到．2．對(duì)稱(翻折)變換y＝f(|x|)的圖象可以將y＝f(x)的圖象位于y軸右側(cè)和y軸上的部分不變，原y軸左側(cè)部分去掉，畫(huà)出y軸右側(cè)部分關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形而得到．y＝|f(x)|的圖象可將y＝f(x)的圖象位于y軸上方的部分不變，而將位于y軸下方的部分翻折到y(tǒng)軸上方得到．y＝－f(x)的圖象可將y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱而得到．y＝f(－x)的圖象可由y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱得到．【變式探究】1.（2024·上海高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過(guò)下列怎樣的變換得到()A．先向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位B．先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位C．先向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位D．先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位【答案】B【解析】的圖象先向左平移2個(gè)單位，得到的圖像；再向下平移1個(gè)單位得到的圖像.故選：B.2．（2024·上海高一課時(shí)練習(xí)）已知的圖像如圖①，則的圖像是_________；的圖像是_________；的圖像是_________；的圖像是________．【答案】④③⑤②【解析】因?yàn)榈膱D像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故的圖像是④因?yàn)榈膱D像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故的圖像是③當(dāng)時(shí)，的圖像與的圖像相同，然后是偶函數(shù)，故的圖像是⑤保留圖像在軸上方的部分，將軸下方的部分翻折到軸上方，得到的圖像就是的圖像故的圖像是②故答案為：④，③，⑤，②高頻考點(diǎn)二：識(shí)圖【典例5】（2014·浙江高考真題（理））在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，與，答案A沒(méi)有冪函數(shù)圖像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故選D.【典例6】（2024·全國(guó)高考真題（理））函數(shù)在的圖像大致為A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，解除選項(xiàng)C．又解除選項(xiàng)D；，解除選項(xiàng)A，故選B．【典例7】（2024年浙江卷）函數(shù)y=sin2x的圖象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【總結(jié)提升】識(shí)圖的三種常用方法1．抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：（1）由函數(shù)的定義域，推斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，推斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢(shì)；（3）由函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對(duì)稱性；（4）由函數(shù)的周期性，推斷圖象的循環(huán)往復(fù)．2．抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特別值的計(jì)算分析解決問(wèn)題．3．依據(jù)實(shí)際背景、圖形推斷函數(shù)圖象的方法：(1)依據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而推斷函數(shù)圖象(定量分析)；(2)依據(jù)自變量取不同值時(shí)函數(shù)值的改變、增減速度等推斷函數(shù)圖象(定性分析)．【變式探究】1.（2024·莆田第九中學(xué)高三高考模擬（文））函數(shù)(且)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)(且)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，在選項(xiàng)A中，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像單調(diào)遞增，所以a>1,所以a-1>0,所以二次函數(shù)的拋物線開(kāi)口向上，拋物線的對(duì)稱軸為所以選項(xiàng)A是正確的，故答案為：A.2.（2024·山東濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高考模擬（文））若函數(shù)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)的圖象可以是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由函數(shù)f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上為減函數(shù)，故0＜a＜1．函數(shù)y＝loga（|x|﹣1）是偶函數(shù)，定義域?yàn)閤＞1或x＜﹣1，函數(shù)y＝loga（|x|﹣1）的圖象，x＞1時(shí)是把函數(shù)y＝logax的圖象向右平移1個(gè)單位得到的，故選：D．3.（2010·山東省高考真題（文））函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?、4是函數(shù)的零點(diǎn)，所以解除B、C；因?yàn)闀r(shí)，所以解除D,故選A高頻考點(diǎn)三：用圖【典例8】（山東省2024年一般高校招生（春季））奇函數(shù)的局部圖像如圖所示，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以,因?yàn)?gt;0>，所以,即，選A.【典例9】（2024·北京高三高考模擬（文））當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，下列關(guān)于函數(shù)y=的圖象與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)交點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】B【解析】設(shè)f（x）=，g（x）=，其中x∈[0，1]A．若m=0，則與在[0，1]上只有一個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤．B．當(dāng)m∈（1，2）時(shí)，即當(dāng)m∈（1，2]時(shí)，函數(shù)y=的圖象與的圖象在x∈[0，1]無(wú)交點(diǎn)，故B正確，C．當(dāng)m∈（2，3]時(shí)，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)無(wú)交點(diǎn)，即C不肯定正確．D．當(dāng)m∈（3，+∞）時(shí)，g（0）=＞1，此時(shí)f（1）＞g（1），此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：B．【典例10】（2024·北京高考模擬（理））已知函數(shù)f（x）=2x（x＜0）與g（x）=ln（x+a）的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在同始終角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）=2x（x＜0）與g（x）=ln（x+a）的圖象，當(dāng)y=lnx向左平移a（a＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，恰好過(guò)（0，1）時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）就不存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，所以0＜a＜e，當(dāng)y=lnx向右平移（a＜0）個(gè)單位長(zhǎng)度，函數(shù)f（x）與g（x）總存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，當(dāng)a=0時(shí)，明顯滿意題意，綜上：a＜e，故選：B．【典例11】（2024·全國(guó)高三其他（文））已知函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?，則（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】在上為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是將上述函數(shù)圖象向右平移2個(gè)單位，并向上平移3個(gè)單位得到，所以圖象關(guān)于對(duì)稱，則，故選.【總結(jié)提升】函數(shù)圖象應(yīng)用的常見(jiàn)題型與求解策略【變式探究】1.（2024·陜西高考模擬（理））已知函數(shù)，若且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)f（x）＝|lg（x﹣1）|，∵1＜a＜b且f（a）＝f（b），則b＞2，1＜a＜2，∴，即，可得：ab﹣a﹣b＝0．那么：a．則2a+b，當(dāng)且僅當(dāng)b時(shí)取等號(hào)．滿意b＞2，故選：A．2.（2024·四川高三高考模擬（理））已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則方程的全部解的和為（）A． B．1 C．3 D．5【答案】C【解析】∵是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，則即則作出的圖象如圖：∵的圖象與的圖象關(guān)于對(duì)稱∴作