2024-2025學年高中數(shù)學第三章空間向量與立體幾何3.1.1空間向量及其加減運算課時跟蹤訓練含解析新人教A版選修2-1

PAGE空間向量及其加減運算[A組學業(yè)達標]1．設(shè)A，B，C是空間隨意三點，下列結(jié)論錯誤的是()A.eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))B.eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝0C.eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))D.eq\o(AB,\s\up10(→))＝－eq\o(BA,\s\up10(→))解析：由向量加法、減法法則知，A、C正確．對于選項B，向量相加結(jié)果應(yīng)當是向量，故B錯誤．由相等向量、相反向量的概念知D正確，故選B.答案：B2．空間四邊形ABCD中，M，G分別是BC，CD的中點，則eq\o(MG,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＝()A．2eq\o(DB,\s\up10(→)) B．3eq\o(MG,\s\up10(→))C．3eq\o(GM,\s\up10(→)) D．2eq\o(MG,\s\up10(→))解析：eq\o(MG,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(MG,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(MG,\s\up10(→))＋2eq\o(MG,\s\up10(→))＝3eq\o(MG,\s\up10(→)).答案：B3．設(shè)有四邊形ABCD，O為空間隨意一點，且eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(DO,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．空間四邊形C．等腰梯形 D．矩形解析：∵eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(DO,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→)).∴eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(DC,\s\up10(→))且|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(DC,\s\up10(→))|.∴四邊形ABCD為平行四邊形．答案：A4．空間四邊形ABCD中，若E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的中點，則下列各式中成立的是()A.eq\o(EB,\s\up10(→))＋eq\o(BF,\s\up10(→))＋eq\o(EH,\s\up10(→))＋eq\o(GH,\s\up10(→))＝0B.eq\o(EB,\s\up10(→))＋eq\o(FC,\s\up10(→))＋eq\o(EH,\s\up10(→))＋eq\o(GE,\s\up10(→))＝0C.eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(FG,\s\up10(→))＋eq\o(EH,\s\up10(→))＋eq\o(GH,\s\up10(→))＝0D.eq\o(EF,\s\up10(→))－eq\o(FB,\s\up10(→))＋eq\o(CG,\s\up10(→))＋eq\o(GH,\s\up10(→))＝0解析：由于E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA邊上的中點，所以四邊形EFGH為平行四邊形，其中eq\o(EH,\s\up10(→))＝eq\o(FG,\s\up10(→))，且eq\o(FC,\s\up10(→))＝eq\o(BF,\s\up10(→))，而E，B，F(xiàn)，G四點構(gòu)成一個封閉圖形，首尾相接的向量的和為零向量，即有eq\o(EB,\s\up10(→))＋eq\o(FC,\s\up10(→))＋eq\o(EH,\s\up10(→))＋eq\o(GE,\s\up10(→))＝0.答案：B5．“兩個非零空間向量的模相等”是“兩個空間向量相等”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若兩個非零向量模相等，則這兩個向量不肯定相等．若兩個向量相等，則這兩個向量的?？隙ㄏ嗟龋蔬xB.答案：B6.如圖所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，eq\o(AC,\s\up10(→))與eq\o(A′C′,\s\up10(→))是________向量，eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(B′A′,\s\up10(→))是________向量．(用相等、相反填空)解析：由相等向量與相反向量的定義知：eq\o(AC,\s\up10(→))與eq\o(A′C′,\s\up10(→))是相等向量，eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(B′A′,\s\up10(→))是相反向量．答案：相等相反7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up10(→))＝a，eq\o(CB,\s\up10(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up10(→))＝c，則eq\o(A1B,\s\up10(→))＝________.(用a，b，c表示eq\o(A1B,\s\up10(→)))解析：如圖，eq\o(A1B,\s\up10(→))＝eq\o(B1B,\s\up10(→))－eq\o(B1A1,\s\up10(→))＝eq\o(B1B,\s\up10(→))－eq\o(BA,\s\up10(→))＝－eq\o(CC1,\s\up10(→))－(eq\o(CA,\s\up10(→))－eq\o(CB,\s\up10(→)))＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.答案：－c－a＋b8．給出下列四個命題：①方向相反的兩個向量是相反向量；②若a，b滿意|a|>|b|且a，b同向，則a>b；③不相等的兩個空間向量的模必不相等；④對于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正確命題的序號為________．解析：對于①，長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故①錯；對于②，向量是不能比較大小的，故不正確；對于③，不相等的兩個空間向量的模也可以相等，故③錯；只有④正確．答案：④9.如圖，在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化簡eq\o(A1F1,\s\up10(→))－eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CC1,\s\up10(→))，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量．解析：eq\o(A1F1,\s\up10(→))－eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CC1,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＝eq\o(AF,\s\up10(→))＋eq\o(FE,\s\up10(→))＋eq\o(ED,\s\up10(→))＋eq\o(DD1,\s\up10(→))＋eq\o(D1F1,\s\up10(→))＝eq\o(AF1,\s\up10(→))，圖略．10.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以長方體的八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中．(1)單位向量共有多少個？(2)試寫出模為eq\r(5)的全部向量．(3)試寫出與eq\o(AB,\s\up10(→))相等的全部向量．(4)試寫出eq\o(AA1,\s\up10(→))的相反向量．解析：(1)模為1的向量有eq\o(A1A,\s\up10(→))，eq\o(AA1,\s\up10(→))，eq\o(B1B,\s\up10(→))，eq\o(BB1,\s\up10(→))，eq\o(C1C,\s\up10(→))，eq\o(CC1,\s\up10(→))，eq\o(D1D,\s\up10(→))，eq\o(DD1,\s\up10(→))，共8個單位向量．(2)由于這個長方體的左右兩側(cè)的對角線長均為eq\r(5)，因此模為eq\r(5)的向量為eq\o(AD1,\s\up10(→))，eq\o(D1A,\s\up10(→))，eq\o(A1D,\s\up10(→))，eq\o(DA1,\s\up10(→))，eq\o(BC1,\s\up10(→))，eq\o(C1B,\s\up10(→))，eq\o(B1C,\s\up10(→))，eq\o(CB1,\s\up10(→)).(3)與向量eq\o(AB,\s\up10(→))相等的向量(除它自身之外)為eq\o(A1B1,\s\up10(→))，eq\o(DC,\s\up10(→))及eq\o(D1C1,\s\up10(→)).(4)向量eq\o(AA1,\s\up10(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up10(→))，eq\o(B1B,\s\up10(→))，eq\o(C1C,\s\up10(→))，eq\o(D1D,\s\up10(→)).[B組實力提升]11．已知正方體ABCD-A′B′C′D′的中心為O，則在下列各結(jié)論中正確的共有()①eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))與eq\o(OB′,\s\up10(→))＋eq\o(OC′,\s\up10(→))是一對相反向量；②eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))與eq\o(OA′,\s\up10(→))－eq\o(OD′,\s\up10(→))是一對相反向量；③eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))與eq\o(OA′,\s\up10(→))＋eq\o(OB′,\s\up10(→))＋eq\o(OC′,\s\up10(→))＋eq\o(OD′,\s\up10(→))是一對相反向量；④eq\o(OA′,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))與eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OC′,\s\up10(→))是一對相反向量．A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：如圖所示，①eq\o(OA,\s\up10(→))＝－eq\o(OC′,\s\up10(→))，eq\o(OD,\s\up10(→))＝－eq\o(OB′,\s\up10(→))，∴eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝－(eq\o(OB′,\s\up10(→))＋eq\o(OC′,\s\up10(→)))，是一對相反向量；②eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))，eq\o(OA′,\s\up10(→))－eq\o(OD′,\s\up10(→))＝eq\o(D′A′,\s\up10(→))，而eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(D′A′,\s\up10(→))，故不是相反向量；③同①也是正確的；④eq\o(OA′,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(AA′,\s\up10(→))，eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OC′,\s\up10(→))＝eq\o(C′C,\s\up10(→))＝－eq\o(AA′,\s\up10(→))，是一對相反向量．答案：C12.如圖所示，在平行六面體A1B1C1D1-ABCD中，M是AC與BD的交點，若eq\o(A1B1,\s\up10(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up10(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up10(→))＝c，則下列向量中與eq\o(B1M,\s\up10(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c答案：A13.如圖，空間四邊形ABCD，連接AC、BD，設(shè)M、N分別是BC、CD的中點，則eq\o(MN,\s\up10(→))用eq\o(AB,\s\up10(→))、eq\o(AC,\s\up10(→))、eq\o(AD,\s\up10(→))表示的結(jié)果為________．解析：eq\o(MN,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→)))．答案：eq\o(MN,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→)))14．已知正方體ABCD-A′B′C′D′中，棱長為1，設(shè)eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up10(→))＝c.(1)用a，b，c表示向量eq\o(A′C,\s\up10(→))；(2)試求向量a＋b＋c的模．解析：(1)在△ACA′中，eq\o(A′C,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AA′,\s\up10(→)).在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))，故eq\o(A′C,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AA′,\s\up10(→))＝a＋b－c.(2)利用向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合正方體性質(zhì)得a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(AA′,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AA′,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(AA′,\s\up10(→))＝eq\o(AC′,\s\up10(→))，故|a＋b＋c|＝|eq\o(AC′,\s\up10(→))|＝eq\r(3).15.如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中點．化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量：(1)eq\o(C