2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)第一章，第二章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.2.的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B. C. D.3.若，則下列不等式正確是（）A. B. C. D.4.下列命題中，既是全稱量詞命題又是真命題的是（）A.每一個(gè)命題都能判斷真假B.存在一條直線與兩條相交直線都平行C.對(duì)任意實(shí)數(shù)，若，則D.存在，使5.若集合，，則的子集有（）A.15個(gè) B.16個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)6.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有95%的學(xué)生喜歡籃球或羽毛球，60%的學(xué)生喜歡籃球，82%的學(xué)生喜歡羽毛球，則該中學(xué)既喜歡籃球又喜歡羽毛球的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）A.63% B.47% C.55% D.42%7.對(duì)于任意的，定義運(yùn)算.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則（）A B.C. D.8.若正數(shù)滿足，則的最小值是（）A.2 B. C.4 D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知全集，集合M、N的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論中正確的（）A. B.C. D.10.下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.的最小值為2D.的最小值為211.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.12.已知全集是的子集，當(dāng)時(shí)，且，則稱為A的一個(gè)“孤立元素”，則下列說法正確的是（）A.若A中元素均為孤立元素，則A中最多有3個(gè)元素B.若A中不含孤立元素，則A中最少有2個(gè)元素C.若A中元素均為孤立元素，且僅有2個(gè)元素，則這樣的集合A共有9個(gè)D.若A中不含孤立元素，且僅有4個(gè)元素，則這樣集合A共有6個(gè)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題否定為__________.14.如圖，坐標(biāo)系中矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合可表示為__________.15.若，則__________.16.若對(duì)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合.（1）求（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.已知，求證：的充要條件是．19.已知.（1）若成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍，（2）若和中至多有一個(gè)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.（1）設(shè)為正數(shù)，求證：；（2）解關(guān)于的不等式.21.為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計(jì)四個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為兩個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm（宣傳欄中相鄰兩個(gè)三角形板塊間在水平方向上的留空寬度也都是10cm），設(shè).（1）當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙（矩形）的周長(zhǎng)；（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?？22若實(shí)數(shù)滿足，則稱比遠(yuǎn)離．（1）若比1遠(yuǎn)離，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，試問：與哪一個(gè)更遠(yuǎn)離2？并說明理由．2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)第一章，第二章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】解：選項(xiàng)A：因?yàn)槭羌现械脑?，所以，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：因?yàn)槭侨魏渭系淖蛹?，所以，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)橹泻性?，1，而且還有其他元素，所以，所以選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)槭菬o理數(shù)，而是有理數(shù)集，所以，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C2.的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)集合的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】的一個(gè)必要不充分條件對(duì)應(yīng)集合設(shè)為,則，則滿足條件，故選：C．3.若，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】結(jié)合得，即可逐個(gè)判斷.【詳解】由知單調(diào)遞減，又，則，B錯(cuò)誤；則，A錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；由二次函數(shù)知，單調(diào)遞減，則，D正確.故選：D4.下列命題中，既是全稱量詞命題又是真命題的是（）A.每一個(gè)命題都能判斷真假B.存在一條直線與兩條相交直線都平行C.對(duì)任意實(shí)數(shù)，若，則D.存在，使【正確答案】A【分析】根據(jù)全稱量詞命題以及存在量詞命題的概念以及命題的真假判斷，一一判斷各命題，即得答案.【詳解】對(duì)于A，“每一個(gè)命題都能判斷真假”是全稱量詞命題，命題都能判斷真假，A是真命題，符合題意；對(duì)于B，“存在一條直線與兩條相交直線都平行”是存在量詞命題，不符合題意；對(duì)于C，該命題是全稱量詞命題，當(dāng)時(shí)，，C中命題是假命題，不符合題意；對(duì)于D，該命題是存在量詞命題，不符合題意，故選：A.5.若集合，，則的子集有（）A.15個(gè) B.16個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)【正確答案】B【分析】利用交集的運(yùn)算法則以及集合子集的計(jì)算公式求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以或，它有個(gè)子集.故選：B.6.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有95%的學(xué)生喜歡籃球或羽毛球，60%的學(xué)生喜歡籃球，82%的學(xué)生喜歡羽毛球，則該中學(xué)既喜歡籃球又喜歡羽毛球的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）A.63% B.47% C.55% D.42%【正確答案】B【分析】設(shè)只喜歡籃球的百分比為，只喜歡羽毛球的百分比為，兩個(gè)項(xiàng)目都喜歡的百分比為，畫出圖形，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)只喜歡籃球的百分比為，只喜歡羽毛球的百分比為，兩個(gè)項(xiàng)目都喜歡的百分比為，由題意，可得，，，解得．該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是．故選：B．7.對(duì)于任意的，定義運(yùn)算.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)運(yùn)算法則得到恒成立，由根的判別式得到不等式，求出答案.【詳解】由已知得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，解得.故選：C.8.若正數(shù)滿足，則最小值是（）A2 B. C.4 D.【正確答案】C【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知全集，集合M、N關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論中正確的（）A. B.C. D.【正確答案】BD【分析】根據(jù)集合的的運(yùn)算與韋恩圖即可求解.【詳解】由圖可知，,A錯(cuò)誤；，B正確；，C錯(cuò)誤；,D正確，故選:BD.10.下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.的最小值為2D.的最小值為2【正確答案】AB【分析】利用基本不等式逐一判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故本選項(xiàng)正確；B：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故本選項(xiàng)正確；C：當(dāng)時(shí)，顯然不成立，因此本選項(xiàng)不正確；D：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)無實(shí)數(shù)解，故取不到等號(hào)，所以本選項(xiàng)不正確，故選：AB11.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【正確答案】BCD【分析】由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷．【詳解】由題意得，對(duì)稱軸，則，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，故B正確；當(dāng)時(shí)，，則，故C正確；設(shè)一元二次方程的兩根分別為，由圖象可知，整理可得，故D正確．故選：BCD12.已知全集是的子集，當(dāng)時(shí)，且，則稱為A的一個(gè)“孤立元素”，則下列說法正確的是（）A.若A中元素均為孤立元素，則A中最多有3個(gè)元素B.若A中不含孤立元素，則A中最少有2個(gè)元素C.若A中元素均為孤立元素，且僅有2個(gè)元素，則這樣的集合A共有9個(gè)D.若A中不含孤立元素，且僅有4個(gè)元素，則這樣的集合A共有6個(gè)【正確答案】ABD【分析】由定義可得“孤立元素不相鄰”可判斷A項(xiàng)，結(jié)合逆否命題可判斷B項(xiàng)，對(duì)于C項(xiàng)、D項(xiàng)分別依次列舉即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由題意，孤立元素不相鄰，集合中最多同時(shí)找出3個(gè)孤立元素，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，若A中只有1個(gè)元素，則必為孤立元素，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，易知這樣的集合A有，，，，，，，，，共10個(gè)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，不含“孤立元素”且包含有4個(gè)元素的集合有，共6個(gè)，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題的否定為__________.【正確答案】【分析】由存在量詞命題的否定是全稱量詞求解即可.【詳解】命題的否定為.故答案為.14.如圖，坐標(biāo)系中矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合可表示為__________.【正確答案】【分析】根據(jù)陰影部分點(diǎn)構(gòu)成的集合求解即可.【詳解】易知陰影部分的點(diǎn)構(gòu)成的集合為.故答案為.15.若，則__________.【正確答案】【分析】依題意可得①或②，再求出參數(shù)的值，從而得解，需代入檢驗(yàn)是否滿足集合元素的互異性.【詳解】因?yàn)椋寓倩颌?，由①得或，其中與元素互異性矛盾，舍去，故符合題意，此時(shí)；由②得符合題意，此時(shí)；綜上，的值為.故16.若對(duì)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【正確答案】【分析】由關(guān)于的一元二次不等式恒成立得，參變分離后再由基本不等式求解最值．【詳解】由，得．由題意可得，使得成立，即，使得成立．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故．故答案為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合.（1）求（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先化簡(jiǎn)集合A，然后根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算求出，最后再求.（2）由題意可知或，解不等式即可.【小問1詳解】解：，，則.【小問2詳解】集合，，.若，則，即；若則解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知，求證：的充要條件是．【正確答案】證明見解析【分析】由不等式的性質(zhì)及充要條件的含義證明．【詳解】證明：充分性（條件結(jié)論）因?yàn)?，所以，又，所以，所以充分性成立；必要性（結(jié)論條件）因?yàn)椋?，所以，所以，所以必要性成立．綜上，的充要條件是．19.已知.（1）若成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍，（2）若和中至多有一個(gè)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）.【分析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)存在性問題分析求解；（2）取反面：當(dāng)和均成立時(shí)，求參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而可得結(jié)果.【小問1詳解】若成立，因?yàn)闀r(shí)，，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】和中至多有一個(gè)成立，考慮其反面：和均成立，若成立，因?yàn)闀r(shí)，，可得；若成立時(shí)，，解得或；若均成立時(shí)，可得，所以至多有一個(gè)成立時(shí)，則.綜上上述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.（1）設(shè)為正數(shù)，求證：；（2）解關(guān)于的不等式.【正確答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析【分析】（1）由基本不等式得，，，三式相加即可得證；（2），即，再?gòu)姆诸愑懻摚Y(jié)合一元二次不等式的解法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)檎龜?shù)，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，以上三式相加有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2）解：，即，即，①當(dāng)時(shí)，的解集為，②當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，即；③當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即或，綜上可得：時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.21.為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計(jì)四個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為兩個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm（宣傳欄中相鄰兩個(gè)三角形板塊間在水平方