廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級數(shù)學(xué)期中試卷

紅嶺教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期九年級期中考試數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共8小題）1．斗拱是中國古典建筑上的重要部件．如圖是一種斗形構(gòu)件“三才升”的示意圖及其主視圖，則它的左視圖為（）A． B． C． D．2．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．163．某區(qū)為了解初中生近視情況，在全區(qū)進(jìn)行初中生視力的隨機(jī)抽查，結(jié)果如下表．根據(jù)抽測結(jié)果，下列對該區(qū)初中生近視的概率的估計(jì)，最合理的是（）累計(jì)抽測的學(xué)生數(shù)n100200300400500600800近視學(xué)生數(shù)與n的比值0.4230.4100.4000.4010.4130.4090.410A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.4104．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣1，2）、B（﹣3，﹣1），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△ABO放大，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（﹣6，﹣2） B．（﹣2，4） C．（﹣6，﹣2）或（6，2） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）5．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝﹣kx+k與的大致圖象可能為（）A． B． C． D．6．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BA延長線一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)F，下列各式中可能錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．7．每年春秋季節(jié)，流感盛行，極具傳染性．如果一人得流感，不加干預(yù)，經(jīng)過兩輪后共有81人得流感，則每人每輪平均會感染幾人？設(shè)每人每輪平均感染x人，則下列方程正確的是（）A．（x+1）2＝81 B．1+x+x2＝81 C．1+x+（x+1）2＝81 D．1+（x+1）+（1+x）2＝818．如圖，在正方形ABCD中，E是對角線AC上的動點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，M是CD的中點(diǎn)，連接GM，若正方形ABCD的邊長為8，則GM的最小值為（）A．2 B． C． D．4二．填空題（共3小題）9．已知，則＝．10．《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度．如圖，是用“矩”測量一個(gè)5G信號塔高度的示意圖，點(diǎn)A，B，N在同一水平線上，∠ABC和∠ANM均為直角，AM與BC交于點(diǎn)D，測得AB＝40cm，BD＝30cm，BN＝22m，則信號塔MN的高度為m．11．如圖，將矩形ABCD對折，使AB與CD邊重合，得到折痕MN，再將點(diǎn)A沿過點(diǎn)D的直線折疊到MN上，對應(yīng)點(diǎn)為A′，折痕為DE，AB＝10，BC＝6，則A′N的長度為12．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，且點(diǎn)A是線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，連接BD交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C，連接AC，若BC：CD＝2：1，S△ADC＝，則k的值為．13．如圖，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，連接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝，求BE的長．三．解答題（共8小題）14．解方程：x2+2x﹣24＝0．15．2024年10月21日，紅嶺中學(xué)舉行了第十三屆運(yùn)動會．本屆賽事共設(shè)置跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球三個(gè)項(xiàng)目．賽后隨機(jī)抽取了部分參賽選手對本次賽事組織進(jìn)行滿意度評分調(diào)查，整理后得到下列不完整的圖表：等級ABCD分?jǐn)?shù)段90﹣10080﹣8970﹣7960﹣69頻數(shù)440280m40請根據(jù)表中提供的信息，解答下列問題：（1）此次調(diào)查共抽取了名選手，m＝，n＝；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，B等級所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是度；（3）賽后若在三個(gè)項(xiàng)目的冠軍中隨機(jī)抽取兩人訪談，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到跳高和跳遠(yuǎn)冠軍的概率．16．2024年巴黎奧運(yùn)會順利閉幕，吉祥物“弗里熱”深受奧運(yùn)迷的喜愛，一商場以20元的進(jìn)價(jià)進(jìn)一批“弗里熱”紀(jì)念品，以30元每個(gè)的價(jià)格售出，每周可以賣出500個(gè)，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，價(jià)格每漲5元，就少賣50個(gè)．（1）若商場計(jì)劃一周的利潤達(dá)到8000元，并且更大優(yōu)惠讓利消費(fèi)者，售價(jià)應(yīng)定為多少錢？（2）因商場改變銷售策略，在不改變（1）的銷售價(jià)格基礎(chǔ)上，銷售量穩(wěn)步提升，兩周后銷售量達(dá)到了484個(gè)，求這兩周的平均增長率．17．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長CB到點(diǎn)E，使得BE＝BC．連接AE．過點(diǎn)B作BF∥AC，交AE于點(diǎn)F，連接OF．（1）求證：四邊形AFBO是矩形；（2）若∠E＝30°，OF＝2，求菱形ABCD的面積．18．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩個(gè)根是x1＝2和x2＝4，則方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．（1）根據(jù)上述定義，一元二次方程x2+2x﹣8＝0（填“是”或“不是”）“倍根方程”；（2）若點(diǎn)（p，q）在雙曲線y＝上，請說明關(guān)于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”；19．【綜合實(shí)踐】如圖所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠桿原理：阻力×阻力臂＝動力×動力臂，如圖，即FA×L1＝FB×L2），受桔槔的啟發(fā)，小杰組裝了如圖所示的裝置．其中，杠桿可繞支點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，支點(diǎn)O距左端L1＝1m，距右端L2＝0.4m，在杠桿左端懸掛重力為80N的物體A．（1）若在杠桿右端掛重物B，杠桿在水平位置平衡時(shí)，重物B所受拉力為N．（2）為了讓裝置有更多的使用空間，小杰準(zhǔn)備調(diào)整裝置，當(dāng)重物B的質(zhì)量變化時(shí)，L2的長度隨之變化．設(shè)重物B的質(zhì)量為xN，L2的長度為ycm．則：①y關(guān)于x的函數(shù)解析式是．②完成下表：x/N…1020304050…y/cm…8a2b…a＝，b＝．③在直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象．（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（20，0），B的坐標(biāo)為（0，2）,在（2）所求得到函數(shù)圖像中存在點(diǎn)C，使得S△ABC＝46．請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)．20．【問題背景】已知D、E分別是△ABC的AB邊和AC邊上的點(diǎn)，且DE∥BC，則△ABC∽△ADE，把△ADE繞著A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接BD和CE．如圖2，找出圖中的另外一組相似三角形；②若AB＝8，AC＝6，BD＝4，則CE＝；【遷移應(yīng)用】在Rt△ACB和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE＝60°，AB＝6，AC＝8,點(diǎn)D為線段BC上的一個(gè)動點(diǎn)，連接EC如圖3，寫出CE比BD的的值及∠DCE的度數(shù)，并說明理由。如圖4，點(diǎn)P為DE中點(diǎn)，在點(diǎn)D從B點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)的過程中，請直接寫出點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長【創(chuàng)新應(yīng)用】如圖5：，BC＝4，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，tan∠ADE＝2，將△ADE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BE，F(xiàn)是BE上一點(diǎn)，，連接CF，請直接寫出CF的取值范圍．紅嶺教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期九年級期中考試數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析（請注意：部分答案對不上）一．選擇題（共9小題）1．斗拱是中國古典建筑上的重要部件．如圖是一種斗形構(gòu)件“三才升”的示意圖及其主視圖，則它的左視圖為（）A． B． C． D．【分析】左視圖是從物體左面看所得到的圖形．【解答】解：從左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一條看不見的線，應(yīng)該畫虛線，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了三視圖的概念，要注意看不見的線應(yīng)當(dāng)畫虛線．2．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可解決問題．【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，解得c＝4．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了根的判別式，熟知一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．3．某區(qū)為了解初中生近視情況，在全區(qū)進(jìn)行初中生視力的隨機(jī)抽查，結(jié)果如下表．根據(jù)抽測結(jié)果，下列對該區(qū)初中生近視的概率的估計(jì)，最合理的是（）累計(jì)抽測的學(xué)生數(shù)n100200300400500600800近視學(xué)生數(shù)與n的比值0.4230.4100.4000.4010.4130.4090.410A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410【分析】利用大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)的頻率課估計(jì)概率求解即可．【解答】解：隨著累計(jì)抽測學(xué)生數(shù)的增大，近視的學(xué)生數(shù)與n的比值逐漸穩(wěn)定于0.410，所以對該區(qū)初中生近視的概率的估計(jì)，最合理的是0.410，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣1，2）、B（﹣3，﹣1），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△ABO放大，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（﹣6，﹣2） B．（﹣2，4） C．（﹣6，﹣2）或（6，2） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k計(jì)算．【解答】解：在y軸同側(cè)時(shí)，∵A（﹣1，2），相似比為2，∴A′（﹣2，4）；在y軸兩側(cè)時(shí)，∵A（﹣1，2），相似比為2，∴A′（2，﹣4）；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換，正確記憶相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．5．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝﹣kx+k與的大致圖象可能為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)一次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系作答．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝﹣kx+k＝﹣k（x﹣1），∴直線經(jīng)過點(diǎn)（1，0），A、C不合題意；B、由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限可知k＜0，反比例函數(shù)的圖象在一、三象限可知k＞0，矛盾，不合題意；D、由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限可知k＜0，反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知k＜0，一致，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，重點(diǎn)是注意系數(shù)k的取值．6．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BA延長線一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)F，下列各式中可能錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：∵AD∥BC，∴＝，所以選項(xiàng)A不符合題意；∵CD∥BE，∴＝，∵AB＝CD，∴＝，所以選項(xiàng)B不符合題意；∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC，∴＝，∵AD＝BC，∴＝，所以選項(xiàng)C不符合題意；∵CD∥BE，∴△CDF∽△EBC，∴＝，所以選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)，熟練利用相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．7．每年春秋季節(jié)，流感盛行，極具傳染性．如果一人得流感，不加干預(yù)，經(jīng)過兩輪后共有81人得流感，則每人每輪平均會感染幾人？設(shè)每人每輪平均感染x人，則下列方程正確的是（）A．（x+1）2＝81 B．1+x+x2＝81 C．1+x+（x+1）2＝81 D．1+（x+1）+（1+x）2＝81【分析】設(shè)每人每輪平均感染x人，根據(jù)經(jīng)過兩輪后共有81人得流感，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)每人每輪平均感染x人，∵1人患流感，一個(gè)人傳染x人，∴第一輪傳染x人，此時(shí)患病總?cè)藬?shù)為1+x；∴第二輪傳染的人數(shù)為（1+x）x，此時(shí)患病總?cè)藬?shù)為1+x+（1+x）x＝（1+x）2，∵經(jīng)過兩輪后共有81人得流感，∴可列方程為：（1+x）2＝81．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在正方形ABCD中，E是對角線AC上的動點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，M是CD的中點(diǎn)，連接GM，若正方形ABCD的邊長為8，則GM的最小值為（）A．4 B． C． D．2【分析】由SAS可證△ADE和△CDG全等得AE＝CG，∠DAC＝∠DCG＝45°，由此得當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)K重合，即當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)G在線段CK上運(yùn)動，根據(jù)“垂線段最短”可知：當(dāng)MG⊥CK時(shí)，MG為最短，即當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)T重合時(shí)，MG為最小，最小值為線段MT的長，由∠DAC＝45°，MT⊥CK得△CMT為等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得GH的最小值．【解答】解：連接CG并延長與AD的延長線交于點(diǎn)K，過點(diǎn)M作MT⊥CK于T，如圖所示：∵四邊形ABCD和四邊形DEFG均為正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝60°，∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∠CDG+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAC＝∠DCG＝45°，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)K重合，即當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)G在線段CK上運(yùn)動，根據(jù)“垂線段最短”可知：當(dāng)MG⊥CK時(shí)，MG為最短，即當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)T重合時(shí)，MG為最小，最小值為線段MT的長．∵∠DAC＝45°，MT⊥CK，∴△CMT為等腰直角三角形，即MT＝CT，∵AB＝8，點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，∴MC＝4，由勾股定理得：MT2+CT2＝MC2，∴2MT2＝16，∴MT＝2．∴GM的最小值為2，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，理解正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．9．如圖，將矩形ABCD對折，使AB與CD邊重合，得到折痕MN，再將點(diǎn)A沿過點(diǎn)D的直線折疊到MN上，對應(yīng)點(diǎn)為A′，折痕為DE，AB＝10，BC＝6，則A′N的長度為（）A． B．4 C． D．3【分析】由折疊的性質(zhì)得，AM＝DM＝，∠DMA'＝∠AMA'＝90°，AD＝A'D，由勾股定理求出A'M的長，再證四邊形ABNM是矩形，即可求出A′N的長．【解答】解：由折疊的性質(zhì)得，AM＝DM＝，∠DMA'＝∠AMA'＝90°，AD＝A'D，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，∵BC＝6，∴AD＝6，∴DM＝3，在Rt△DMA'中，由勾股定理得A'M＝，∵∠A＝∠B＝∠AMA'＝90°，∴四邊形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝10，∴A′N＝MN﹣A'M＝10﹣，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，折疊問題，勾股定理，熟練掌握這些知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共3小題）10．已知，則＝．【分析】由a、b的關(guān)系變形，用一個(gè)字母表示另一個(gè)，代入即可得解．【解答】解：∵，∴b＝2a，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了比例的基本性質(zhì)，變形求解是解題的關(guān)鍵．11．《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度．如圖，是用“矩”測量一個(gè)5G信號塔高度的示意圖，點(diǎn)A，B，N在同一水平線上，∠ABC和∠ANM均為直角，AM與BC交于點(diǎn)D，測得AB＝40cm，BD＝30cm，BN＝22m，則信號塔MN的高度為16.8m．【分析】由題意可知，AN＝22.4m，BD＝0.3m，證明△ABD∽△ANM，得到，即可求出信號塔MN的高度．【解答】解：∵AB＝40cm＝0.4m，BN＝22m，∴AN＝AB+BN＝22.4m，∵∠ABC＝∠ANM＝90°，∴BC∥MN，∴△ABD∽△ANM，∴，∴，∴MN＝16.8m，故答案為：16.8．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．12．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，且點(diǎn)A是線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，連接BD交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C，連接AC，若BC：CD＝2：1，S△ADC＝，則k的值為16．【分析】作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．首先證明S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC，由此構(gòu)建方程即可解決問題；【解答】解：作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．∵BC：CD＝2：1，S△ADC＝，∴S△ACB＝，∵OA＝AB，∴B（2m，2n），S△AOC＝S△ACB＝，∵A、C在y＝上，BC＝2CD，∴C（m，n），∵S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC，∴?（n+n）×m＝，∴mn＝16，∵A（m，n），∴k＝16．故答案為16【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，本題的突破點(diǎn)是證明S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC．三．解答題（共8小題）13．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問題，請同學(xué)們幫他解決．在△ABC中，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，連接CD．（1）初步探究如圖2，若∠ACD＝∠B，求證：AC2＝AD?AB；（2）嘗試應(yīng)用如圖3，在（1）的條件下，若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，BC＝4，求CD的長；（3）創(chuàng)新提升如圖4，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，連接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的長．【分析】（1）由∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，證明△ACD∽△ABC，得＝，則AC2＝AD?AB；（2）設(shè)AD＝m，則AD＝BD＝m，AB＝2m，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得＝＝，則AC2＝2m2，求得AC＝m，所以＝＝，而BC＝4，則CD＝BC＝2；（3）解法一，作BF⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)F，設(shè)CE＝DE＝n，則CB＝CD＝2n，再證明∠FBC＝30°，所以CF＝CB＝n，求得EF＝2n，BF＝n，則BD＝2n，BE＝n，作CH∥EB交AB的延長線于點(diǎn)H，則△HDC∽△BDE，所以＝＝＝2，則HC＝2n，HD＝4n，再證明△ACD∽△AHC，得＝＝＝，則AD＝AC＝2，AH＝AC＝14，所以HD＝4n＝12，則n＝，求得BE＝．解法二，取BD中點(diǎn)M，連接CM、EM，則EM∥CB，由∠CDB＝∠CBD＝30°，得CD＝CB，∠EMD＝∠CBD＝30°，則CM⊥BD，∠ADC＝∠BME，可證明△ACD∽△EBM，設(shè)CM＝x，則CD＝CB＝2x，BM＝x，所以＝＝，則BE＝AC＝．【解答】（1）證明：如圖2，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD?AB．（2）解：如圖3，設(shè)AD＝m，∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴AD＝BD＝m，AB＝2m，由（1）得△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC2＝AD?AB＝m×2m＝2m2，∴AC＝m或AC＝m（不符合題意，舍去），∴＝＝＝，∵BC＝4，∴CD＝BC＝×4＝2，∴CD的長是2．（3）解法一：如圖4，作BF⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)F，則∠F＝90°，∵點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，∴CE＝DE，設(shè)CE＝DE＝n，∵∠CDB＝∠CBD＝30°，∴CB＝CD＝2n，∠BCF＝∠CDB+∠CBD＝60°，∴∠FBC＝90°﹣∠BCF＝30°，∴CF＝CB＝n，∴EF＝CE+CF＝2n，BF＝＝＝n，∴BD＝2BF＝2n，BE＝＝＝n，作CH∥EB交AB的延長線于點(diǎn)H，則△HDC∽△BDE，∴＝＝＝＝2，∴HC＝2BE＝2n，HD＝2BD＝4n，∵∠ACD＝∠EBD，∠H＝∠EBD，∴∠ACD＝∠H，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△AHC，∴＝＝＝＝＝，∵AC＝2，∴AD＝AC＝×2＝2，AH＝AC＝×2＝14，∴HD＝AH﹣AD＝14﹣2＝12，∴4n＝12，解得n＝，∴BE＝×＝，∴BE的長是．解法二：如圖5，取BD中點(diǎn)M，連接CM、EM，∵點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，∴DM是△BCD的中位線，∴EM∥CB，∵∠CDB＝∠CBD＝30°，∴CD＝CB，∠EMD＝∠CBD＝30°，∴CM⊥BD，∠ADC＝∠BME＝180°﹣30°＝150°，∵∠ACD＝∠EBD，即∠ACD＝∠EBM，∴△ACD∽△EBM，∵∠CMB＝90°，∠CBM＝30°，AC＝2，∴CD＝CB＝2CM，設(shè)CM＝x，則CD＝CB＝2x，∴BM＝＝＝x，∴＝＝＝，∴BE＝AC＝×2＝，∴BE的長是．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（1）計(jì)算：；（2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．【分析】（1）先計(jì)算絕對值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪，再計(jì)算加減即可得解；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）x2﹣4x﹣5＝0，因式分解得：（x﹣5）（x+1）＝0，則x﹣5＝0或x+1＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、解一元二次方程，熟練掌握運(yùn)算方法是解此題的關(guān)鍵．15．2024年4月21日，達(dá)州馬拉松暨“跑遍四川”達(dá)州站馬拉松賽鳴槍開跑，本次賽事以“相約巴人故里，樂跑紅色達(dá)州”為主題，旨在增強(qiáng)全市民眾科學(xué)健身意識，推動全民健身活動．本屆賽事共設(shè)置馬拉松，半程馬拉松和歡樂跑三個(gè)項(xiàng)目．賽后隨機(jī)抽取了部分參賽選手對本次賽事組織進(jìn)行滿意度評分調(diào)查，整理后得到下列不完整的圖表：等級ABCD分?jǐn)?shù)段90﹣10080﹣8970﹣7960﹣69頻數(shù)440280m40請根據(jù)表中提供的信息，解答下列問題：（1）此次調(diào)查共抽取了800名選手，m＝40，n＝5；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，B等級所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是126度；（3）賽后若在三個(gè)項(xiàng)目的冠軍中隨機(jī)抽取兩人訪談，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到馬拉松和歡樂跑冠軍的概率．【分析】（1）先用A等級人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)乘以C等級所占的百分比得到m的值，然后D等級人數(shù)乘以調(diào)查的總?cè)藬?shù)得到n的值；（2）用360°乘以B等級所占的百分比即可；（3）用A、B、C分別表示馬拉松，半程馬拉松和歡樂跑三個(gè)項(xiàng)目．則通過畫樹狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果，再找出馬拉松和歡樂跑冠軍的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：（1）此次調(diào)查共抽取的選手總?cè)藬?shù)為440÷55%＝800（名）；所以m＝800×5%＝40，所以n%＝＝5%，即n＝5；故答案為：800，40，5；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，B等級所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)＝360°×＝126°；故答案為：126；（3）用A、B、C分別表示馬拉松，半程馬拉松和歡樂跑三個(gè)項(xiàng)目．畫樹狀圖為：共有6種等可能的結(jié)果，其中馬拉松和歡樂跑冠軍的結(jié)果數(shù)為2種，所以恰好抽到馬拉松和歡樂跑冠軍的概率＝＝．【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了統(tǒng)計(jì)圖．16．2024年巴黎奧運(yùn)會順利閉幕，吉祥物“弗里熱”深受奧運(yùn)迷的喜愛，一商場以20元的進(jìn)價(jià)進(jìn)一批“弗里熱”紀(jì)念品，以30元每個(gè)的價(jià)格售出，每周可以賣出500個(gè)，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，價(jià)格每漲5元，就少賣50個(gè)．（1）若商場計(jì)劃一周的利潤達(dá)到8000元，并且更大優(yōu)惠讓利消費(fèi)者，售價(jià)應(yīng)定為多少錢？（2）因商場改變銷售策略，在不改變（1）的銷售價(jià)格基礎(chǔ)上，銷售量穩(wěn)步提升，兩周后銷售量達(dá)到了484個(gè)，求這兩周的平均增長率．【分析】（1）設(shè)售價(jià)應(yīng)定為x元，則每個(gè)利潤為（x﹣20）元，銷量為個(gè)，利用總利潤為8000元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；（2）由（1）得：當(dāng)售價(jià)為每個(gè)40元時(shí)，銷量為400個(gè)，設(shè)這兩周的平均增長率為y，根據(jù)兩周后銷售量達(dá)到了484個(gè)，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【解答】解：（1）設(shè)售價(jià)應(yīng)定為x元，則每個(gè)利潤為（x﹣20）元，銷量為個(gè)，由題意得：，整理得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60（不符合題意，舍去），答：商場計(jì)劃一周的利潤達(dá)到8000元，并且更大優(yōu)惠讓利消費(fèi)者，售價(jià)應(yīng)定為40元；（2）由（1）得：當(dāng)售價(jià)為40元時(shí)，銷量為400個(gè)，設(shè)這兩周的平均增長率為y，由題意得：400（1+y）2＝484，解得：y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（不符合題意，舍去），答：這兩周的平均增長率為10%．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長CB到點(diǎn)E，使得BE＝BC．連接AE．過點(diǎn)B作BF∥AC，交AE于點(diǎn)F，連接OF．（1）求證：四邊形AFBO是矩形；（2）若∠E＝30°，BF＝1，求OF的長．【分析】（1）證四邊形ADBE是平行四邊形，再證AE⊥AC，則∠OAF＝90°，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得∠AFB＝90°，OF＝AB，所以∠BFE＝90°．又由∠E＝30°，BF＝1，由直角三角形性質(zhì)得BE＝2BF＝2．在Rt△AEC中，BE＝BC，由直角三角形性質(zhì)得AB＝BE＝2，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC，∵BE＝BC，∴AD＝BE，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∴AE∥BD．∵BF∥AC，∴四邊形AFBO是平行四邊形．∵AC⊥BD，AE∥BD∴AE⊥AC，∴∠OAF＝90°，∴平行四邊形AFBO是矩形．（2）解：由（1）知四邊形AFBO是矩形，∴∠AFB＝90°，OF＝AB，∴∠BFE＝90°．又∵∠E＝30°，BF＝1，∴BE＝2BF＝2．在Rt△AEC中，BE＝BC，∴AB＝BE＝2，∴OF＝2．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩個(gè)根是x1＝2和x2＝4，則方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．（1）根據(jù)上述定義，一元二次方程x2+2x﹣8＝0不是（填“是”或“不是”）“倍根方程”；（2）若點(diǎn)（p，q）在雙曲線y＝上，請說明關(guān)于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”；（3）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代數(shù)式的值．【分析】（1）根據(jù)“倍根方程”的定義即可得出結(jié)論；（2）方程px2+3x+q＝0化為方程px2+3x+＝0，解方程求得方程的根，根據(jù)倍根方程的定義即可求出答案．（3）根據(jù)定義可求出n＝4m或n＝m，代入原式后即可求出答案；【解答】解：（1）x2+2x﹣8＝0，（x﹣2）（x+4）＝0，解得x1＝2，x2＝﹣4，故一元二次方程x2+2x﹣8＝0不是“倍根方程”．（2）∵點(diǎn)（p，q）在雙曲線y＝上，∴q＝，∴方程px2+3x+q＝0化為方程px2+3x+＝0，（px+1）（px+2）＝0，解得x1＝﹣，x2＝﹣，∴方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”．（3）由（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且該方程的兩根分別為x＝2和x＝，∴＝4或＝1，當(dāng)n＝4m時(shí)，原式＝＝，當(dāng)n＝m時(shí)，原式＝＝1．故代數(shù)式的值為或1．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法以及正確理解“倍根方程”的定義，本題屬于中等題型．19．【綜合實(shí)踐】如圖所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠桿原理：阻力×阻力臂＝動力×動力臂，如圖，即FA×L1＝FB×L2），受桔槔的啟發(fā)，小杰組裝了如圖所示的裝置．其中，杠桿可繞支點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，支點(diǎn)O距左端L1＝1m，距右端L2＝0.4m，在杠桿左端懸掛重力為80N的物體A．（1）若在杠桿右端掛重物B，杠桿在水平位置平衡時(shí)，重物B所受拉力為200N．（2）為了讓裝置有更多的使用空間，小杰準(zhǔn)備調(diào)整裝置，當(dāng)重物B的質(zhì)量變化時(shí)，L2的長度隨之變化．設(shè)重物B的質(zhì)量為xN，L2的長度為ycm．則：①y關(guān)于x的函數(shù)解析式是．②完成下表：x/N…1020304050…y/cm…8a2b…a＝4，b＝．③在直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象．（3）在（2）的條件下，將函數(shù)圖象向右平移4個(gè)單位長度，與原來的圖象組成一個(gè)新的函數(shù)圖象，記為L．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），在L上存在點(diǎn)Q，使得S△OAQ＝9．請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)公式FA×L1＝FB×L2進(jìn)行計(jì)算即可；（2）①根據(jù)公式FA×L1＝FB×L2即可得到；②根據(jù)（2）①所求求出a、b的值即可；③先描點(diǎn)，再連線，畫出函數(shù)圖象即可；（3）先根據(jù)面積求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)和平移的性質(zhì)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）∵FA×L1＝FB×L2，∴，∴重物B所受拉力為200N，故答案為：200；（2）①∵FA×L1＝FB×L2，∴，即，故答案為