2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版必修1

PAGE方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，但此函數(shù)在定義域內(nèi)的圖象不連續(xù)，所以函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，故選A.答案：A2．函數(shù)f(x)＝x＋lnx的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(1，e)解析：法一：因?yàn)閤>0，所以A錯(cuò)．又因?yàn)閒(x)＝x＋lnx在(0，＋∞)上為增函數(shù)，f(1)＝1>0，所以f(x)＝x＋lnx在(1,2)，(1，e)上均有f(x)>0，故C、D錯(cuò)．法二：取x＝eq\f(1,e)∈(0,1)，因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,e)－1<0，f(1)＝1>0，所以f(x)＝x＋lnx的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(0,1)．答案：B3．對(duì)于函數(shù)f(x)，若f(－1)·f(3)<0，則()A．方程f(x)＝0肯定有實(shí)數(shù)解B．方程f(x)＝0肯定無(wú)實(shí)數(shù)解C．方程f(x)＝0肯定有兩實(shí)根D．方程f(x)＝0可能無(wú)實(shí)數(shù)解解析：∵函數(shù)f(x)的圖象在(－1,3)上未必連續(xù)，故盡管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能無(wú)實(shí)數(shù)解．答案：D4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a，b，α，β的大小關(guān)系可能是()A．a(chǎn)<α<b<β B．a(chǎn)<α<β<bC．α<a<b<β D．α<a<β<b解析：∵α，β是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，∴f(α)＝f(β)＝0.又f(a)＝f(b)＝－2<0，結(jié)合二次函數(shù)的圖象(如圖所示)可知a，b必在α，β之間．故選C.答案：C5．函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，則f(x)在(1,2)上的零點(diǎn)()A．至多有一個(gè) B．有一個(gè)或兩個(gè)C．有且僅有一個(gè) D．一個(gè)也沒(méi)有解析：若a＝0，則f(x)＝bx＋c是一次函數(shù)，由f(1)·f(2)＜0得零點(diǎn)只有一個(gè)；若a≠0，則f(x)＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，如有兩個(gè)零點(diǎn)，則必有f(1)·f(2)＞0，與已知沖突．故選C.答案：C6．函數(shù)f(x)＝2－eq\r(4－x2)(x∈[－1,1])的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．解析：令2－eq\r(4－x2)＝0解得x＝0，所以函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．答案：17．二次函數(shù)y＝x2－2ax＋a－1有一個(gè)零點(diǎn)大于1，一個(gè)零點(diǎn)小于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．解析：由函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)大于0可得函數(shù)圖象開(kāi)口向上，要滿意一個(gè)零點(diǎn)大于1，一個(gè)零點(diǎn)小于1，只需f(1)<0即可．答案：a>08．求函數(shù)f(x)＝log2x－x＋2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解析：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.畫出兩個(gè)函數(shù)的大致圖象，如圖所示．由圖可知，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．所以函數(shù)f(x)＝log2x－x＋2有兩個(gè)零點(diǎn)．9．已知函數(shù)f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.(1)當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)、無(wú)零點(diǎn)；(2)若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)處，求m的值．解析：(1)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)方程－3x2＋2x－m＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜eq\f(4,3).由Δ＝0，可解得m＝eq\f(4,3)；由Δ＜0，可解得m＞eq\f(4,3).故當(dāng)m＜eq\f(4,3)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m＝eq\f(4,3)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m＞eq\f(4,3)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．(2)因?yàn)?是對(duì)應(yīng)方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.[B組實(shí)力提升]1．已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)的零點(diǎn)有1009個(gè)，則f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．1007 B．1008C．2018 D．2019解析：∵f(x)為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)有1009個(gè)零點(diǎn)，∴在(－∞，0)上也有1009個(gè)零點(diǎn)，又∵f(0)＝0，∴共有2018＋1＝2019個(gè)．答案：D2．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：當(dāng)x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；當(dāng)x>0時(shí)，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0))有2個(gè)零點(diǎn)．答案：C3．方程lnx＝8－2x的實(shí)數(shù)根x∈(k，k＋1)，k∈Z，則k＝__________.解析：令f(x)＝lnx＋2x－8，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．∵f(3)＝ln3－2<0，f(4)＝ln4>0，∴零點(diǎn)在(3,4)上，∴k＝3.答案：34．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋4，在下列條件下，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(1)零點(diǎn)均大于1；(2)一個(gè)零點(diǎn)大于1，一個(gè)零點(diǎn)小于1；(3)一個(gè)零點(diǎn)在(0,1)內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在(6,8)內(nèi)．解析：(1)因?yàn)榉匠蘹2－2ax＋4＝0的兩根均大于1，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a2－16≥0，,f1＝5－2a>0，,a>1，))解得2≤a＜eq\f(5,2)，即a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))).(2)因?yàn)榉匠蘹2－2ax＋4＝0的一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>eq\f(5,2)，即a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)).(3)因?yàn)榉匠蘹2－2ax＋4＝0的一個(gè)根在(0,1)內(nèi)，另一個(gè)根在(6,8)內(nèi)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al