2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練三核心熱點(diǎn)突破專題三立體幾何規(guī)范答題示范課-立體幾何解答題含解析

PAGE規(guī)范答題示范課——立體幾何解答題[破題之道]立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合，以某個幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深，解決這類題目的原則是建模、建系.建?！獙栴}轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型及平面化模型；建系——依托于題中的垂直條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【典例示范】(12分)(2024·全國Ⅰ卷)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A－MA1－N的正弦值.切入點(diǎn)：聯(lián)想線面平行的判定定理，找線線平行.關(guān)鍵點(diǎn)：建系，求平面AMA1與平面MA1N的法向量.規(guī)范解答(1)證明連接B1C，ME.因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C.(2分)又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND＝eq\f(1,2)A1D.由題設(shè)知A1B1∥DC且A1B1＝DC.因此，B1C∥A1D且B1C＝A1D，故ME∥ND且ME＝ND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，則MN∥ED.(4分)又MN?平面C1DE，ED?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(5分)(2)解由已知可得DE⊥DA，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up6(→))的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則A(2，0，0)，A1(2，0，4)，M(1，eq\r(3)，2)，N(1，0，2)，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝(0，0，－4)，eq\o(A1M,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，－2)，eq\o(A1N,\s\up6(→))＝(－1，0，－2)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(3)，0).(7分)設(shè)m＝(x，y，z)為平面A1MA的一個法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(A1M,\s\up6(→))＝0，,m·\o(A1A,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋\r(3)y－2z＝0，,－4z＝0，))可得m＝(eq\r(3)，1，0).(9分)設(shè)n＝(p，q，r)為平面A1MN的一個法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(MN,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1N,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(3)q＝0，,－p－2r＝0，))可取n＝(2，0，－1).(10分)于是cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(2\r(3),2×\r(5))＝eq\f(\r(15),5)，(11分)則sin〈m，n〉＝eq\f(\r(10),5).所以二面角A－MA1－N的正弦值為eq\f(\r(10),5).(12分)[高考狀元滿分心得]?寫全得分步驟：對于解題過程中是得分點(diǎn)的步驟，有則給分，無則沒分，所以對于得分點(diǎn)肯定要寫全.如第(1)問中ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C，MN∥ED.第(2)問建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz.?寫明得分關(guān)鍵：對于解題過程中的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，所以在答題時肯定要寫清得分關(guān)鍵點(diǎn)，如第(1)問漏掉條件MN?平面C1DE；第(2)問中不寫公式cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)而得出余弦值都會各扣去1分.?正確計(jì)算是得分的保證：第(2)問中，點(diǎn)N的坐標(biāo)，兩個半平面法向量的坐標(biāo)及cos〈m，n〉的求值，否則不能得分.[滿分體驗(yàn)](2024·天津卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，點(diǎn)D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M為棱A1B1的中點(diǎn).(1)求證：C1M⊥B1D；(2)求二面角B－B1E－D的正弦值；(3)求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值.解依題意，以C為原點(diǎn)，分別以eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，3)，A1(2，0，3)，B1(0，2，3)，D(2，0，1)，E(0，0，2)，M(1，1，3).(1)證明依題意，eq\o(C1M,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(2，－2，－2)，從而eq\o(C1M,\s\up6(→))·eq\o(B1D,\s\up6(→))＝2－2＋0＝0，所以C1M⊥B1D.(2)解依題意，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(2，0，0)是平面BB1E的一個法向量，eq\o(EB1,\s\up6(→))＝(0，2，1)，eq\o(ED,\s\up6(→))＝(2，0，－1).設(shè)n＝(x，y，z)為平面DB1E的法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(EB1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(ED,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y＋z＝0，,2x－z＝0.))不妨設(shè)x＝1，可得n＝(1，－1，2).因此有cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\o(CA,\s\up6(→))·n,|\o(CA,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(\r(6),6)，于是sin〈eq\o(CA,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\r(30),6).所以二面角B－B1E－D的正弦值為eq\f(\r(30),6).(3)解依題意，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，2，0).由(2)知n＝(1，－1，2)為平面DB1E的一個