2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式知識點(diǎn)講解含解析

專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.一元二次不等式：(1)會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.(3)會解一元二次不等式.2.結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,推斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).3．培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).【學(xué)問清單】1．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n).零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－eq\f(b,2a)對稱2.一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)不等式的解，一元二次不等式的全部解組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集.3.三個(gè)“二次”之間的關(guān)系（1）關(guān)于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；若二次函數(shù)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分別使二次函數(shù)f(x)的函數(shù)值為正值或負(fù)值時(shí)自變量x的取值的集合．（2）三個(gè)“二次”之間的關(guān)系：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f(x)>0或f(x)<0的步驟求方程f(x)＝0的解有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解x1，x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解x1＝x2沒有實(shí)數(shù)解畫函數(shù)y＝f(x)的示意圖得不等式的解集f(x)>0__{x|x<x1或x>x2}__{x|x≠－eq\f(b,2a)}Rf(x)<0__{x|x1<x<x2}____?____?__3.不等式恒成立問題1．一元二次不等式恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).2．含參數(shù)的一元二次不等式恒成立．若能夠分別參數(shù)成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解．設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.【典例剖析】高頻考點(diǎn)一：二次函數(shù)的解析式例1.已知二次函數(shù)f(x)滿意f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式．【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7【解析】解法一(利用“一般式”解題)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用“頂點(diǎn)式”解題)設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線的對稱軸為x＝＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(1,2).又依據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8.∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用“零點(diǎn)式”解題)由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數(shù)有最大值8，即＝8.解得a＝－4或a＝0(舍)．∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.【規(guī)律方法】依據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：【變式探究】（2024·陜西省咸陽市試驗(yàn)中學(xué)高一月考）已知二次函數(shù)滿意：隨意的，有成立，且最小值為，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（1）求的解析式；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使的定義域和值域分別為和，假如存在，求出；假如不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在；【解析】（1）因?yàn)?，所以是圖象的對稱軸，且最小值為，故可設(shè)，由得，所以，即；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿意題意，由（1）在上遞減，在上遞增，若，明顯不合題意；若，則，，不合題意，所以，，即是方程的兩不等實(shí)根，，即，，，，所以．高頻考點(diǎn)二：二次函數(shù)圖象的識別例2.（2024·山東省微山縣第一中學(xué)高一月考）對數(shù)函數(shù)且與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像不行能是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，開口向下，對稱軸在y軸的左側(cè)，解除C，D；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，開口向上，對稱軸在y軸的右側(cè)，解除B；故選：A【總結(jié)提升】識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會“三看”【變式訓(xùn)練】（2024·遼寧高考模擬（理））函數(shù)的圖象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，,所以舍去A,D,當(dāng)時(shí)，,所以舍去B,綜上選C.高頻考點(diǎn)三：二次函數(shù)的單調(diào)性問題例3.（2024·北京臨川學(xué)校高二期末（文））若函數(shù)f(x)＝8x2－2kx－7在[1，5]上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．(－∞，8] B．[40，＋∞) C．(－∞，8]∪[40，＋∞) D．[8，40]【答案】C【解析】由題意得，函數(shù)圖象的對稱軸為，且拋物線的開口向上，∵函數(shù)在[1,5]上為單調(diào)函數(shù)，∴或，解得或，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是．故選C．【總結(jié)提升】探討二次函數(shù)單調(diào)性的思路(1)二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對稱軸的兩側(cè)不同，因此探討二次函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要依據(jù)其圖象的對稱軸進(jìn)行分類探討．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A?eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A?\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))))，即區(qū)間A肯定在函數(shù)對稱軸的左側(cè)(右側(cè))．【變式探究】(2024·浙江“超級全能生”模擬)已知在(－∞，1]上遞減的函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1，且對隨意的x1，x2∈[0，t＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A．[－eq\r(2)，eq\r(2)] B．[1，eq\r(2)]C．[2,3] D．[1,2]【答案】B【解析】由于f(x)＝x2－2tx＋1的圖象的對稱軸為x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上是減函數(shù)，所以t≥1.則在區(qū)間[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使對隨意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－eq\r(2)≤t≤eq\r(2).又t≥1，∴1≤t≤eq\r(2).高頻考點(diǎn)四：二次函數(shù)的最值問題例4.（浙江省名校新高考探討聯(lián)盟（Z20)2025屆聯(lián)考）】設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，記的最大值為，則的最小值為______．【答案】【解析】去肯定值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，在的最大值為，，，中之一，所以可得，，，，上面四個(gè)式子相加可得即有，可得的最小值為．故答案為．【技巧點(diǎn)撥】二次函數(shù)最值問題的類型及求解策略(1)類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱軸動、區(qū)間固定；③對稱軸定、區(qū)間變動．(2)解決這類問題的思路：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類探討的思想即可完成．【變式探究】（2024·天津高考模擬（文））若不等式對隨意實(shí)數(shù)都成立,則實(shí)數(shù)的最大值為________.【答案】【解析】設(shè)不等式對隨意實(shí)數(shù)都成立，只需滿意，即可.所以有因此實(shí)數(shù)的最大值為.高頻考點(diǎn)五：二次函數(shù)的恒成立問題例5.（2024·北京高三高考模擬（理））已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，的最小值等于____；若對于定義域內(nèi)的隨意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，－3≤x≤0時(shí)，f(x)＝（x＋1）2－2，得：當(dāng)x＝－1時(shí)，f（x）有最小值為－2，0＜x≤3時(shí)，f(x)＝－（x－1）2＋1，得：當(dāng)x＝3時(shí)，f（x）有最小值為－3，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值等于－3，定義域內(nèi)的隨意恒成立，①－3≤x≤0時(shí)，有，即：恒成立，令＝，在－3≤x≤0時(shí)，g（x）有最小值：g（0）＝g（－3）＝1，所以，，②0＜x≤3時(shí)，有，即：恒成立，令，在0＜x≤3時(shí)，g（x）有最大值：g（）＝，所以，，實(shí)數(shù)的取值范圍是【總結(jié)提升】由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的思路及關(guān)鍵1.一般有兩個(gè)解題思路：一是分別參數(shù)；二是不分別參數(shù)．2.兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分別．這兩個(gè)思路的依據(jù)是：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min..3.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，親密聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號四個(gè)方面分析．【變式探究】（2024·天津市咸水沽其次中學(xué)高三一模）已知函數(shù)．若存在使得關(guān)于x的不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，不等式可化為明顯不成立；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，即；因?yàn)榇嬖谑沟藐P(guān)于x的不等式成立，所以，只需或.故答案為：.高頻考點(diǎn)六：二次函數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問題例6.（2024·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校高一月考（理））已知函數(shù).（1）若的值域?yàn)?，求關(guān)于的方程的解；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）或.（2）【解析】（1）因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所?因?yàn)?，所以，則.因?yàn)椋?，即，解得?（2）在上有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程在上有三個(gè)不同的根.因?yàn)?，所以?因?yàn)椋?結(jié)合在上的圖象可知，要使方程在上有三個(gè)不同的根，則在上有一個(gè)實(shí)數(shù)根，在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即，解得.故的取值范圍為.【規(guī)律總結(jié)】1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．留意敏捷運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題．【變式探究】（2024·馬關(guān)縣第一中學(xué)校高一期末）已知二次函數(shù)，且-1,3是函數(shù)的零點(diǎn).（1）求解析式，并解不等式;（2）若，求行數(shù)的值域【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意得即，（2）令高頻考點(diǎn)七：一元二次不等式恒成立問題例7.（2024·湖北高三月考（理））若對隨意的，存在實(shí)數(shù)，使恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為()A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【解析】由時(shí)，恒成立可得：令，可得，圖象如下圖所示：要使最大，則必過，且與相切于點(diǎn)則此時(shí)，即直線方程為：聯(lián)立得：，解得：由圖象可知本題正確選項(xiàng)：【總結(jié)提升】由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的思路及關(guān)鍵1.一般有兩個(gè)解題思路：一是分別參數(shù)；二是不分別參數(shù)．2.兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分別．這兩個(gè)思路的依據(jù)是：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min..3.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，親密聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號四個(gè)方面分析．【變式探究】（2024·濟(jì)源市第六中學(xué)高二月考（文））已知函數(shù)，若在區(qū)間上，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】要