2024-2025學(xué)年高一年級上冊期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（北京專用集合與常用邏輯用語、不等式、函數(shù)及其性質(zhì)）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：集合與常用邏輯用語+不等式+函數(shù)及其性質(zhì)。

5.難度系數(shù):0.75o

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.8月20日《黑傳說悟空》風(fēng)靡全球，下列幾組對象可以構(gòu)成集合的是（）

A.游戲中會變身的妖怪B.游戲中長的高的妖怪

C.游戲中能力強(qiáng)的妖怪D.游戲中擊敗后給獎勵多的妖怪

【答案】A

【詳解】對A：游戲中會變身的妖怪可以構(gòu)成集合，故A正確；

對B、C、D：不滿足集合的確定性，故不能構(gòu)成集合，故B、C、D錯誤.

故選：A.

2.設(shè)全集A={xeN[%<3},3={0,1,2,3},則AB=（）

A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

【答案】C

【詳解】依題意，A={0,1,2},而8={0,1,2,3},

所以A3={0,1,2}.

故選：C

3.已知a,6,ceR,使成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.a+c>b-\-cB.ac>bc

C.a2>b2D.ac2>be2

【答案】D

【詳解】對于A,a-\-c>b+coa>b,A不是；

對于B,當(dāng)cvO時(shí)，由得B不是；

對于C,a?〉/,可能有〃<〃，如。=一21=1,C不是；

對于D,ac1>be1,得，〉0，則〃>匕；若。>〃,c=O,貝!]々°2=/2,D是.

故選：D

4.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）

A.y=y/xB.y=x

1

C.y=x29+lD.y=-

x

【答案】C

【詳解】對于A,函數(shù)y=4的定義域?yàn)閇0,+功，關(guān)于數(shù)0不對稱，y=?是非奇非偶函數(shù)，A不是;

對于B,函數(shù)y=x的定義域?yàn)镽,是奇函數(shù)，B不是；

對于C,函數(shù)y=/+l的定義域?yàn)镽,（-了）2+1=/+1,是偶函數(shù)，C是；

對于D,函數(shù)y=工的定義域?yàn)椋╢,O）U（。,一），是奇函數(shù)，D不是.

X

故選：C

5.若命題“土￡[-1,3],九2一2工—〃工0”為真命題，則實(shí)數(shù)?？扇〉淖钚≌麛?shù)值是（）

A.-1B.0C.1D.3

【答案】A

【詳解】因?yàn)椋?—2x—々40,BPx2—2x<a,

又因?yàn)閒—2%=a—ip—12—1,當(dāng)且僅當(dāng)％=i時(shí)，等號成立，

若王￡[—1,3],x2-2x-tz<0,即

所以實(shí)數(shù)a可取的最小整數(shù)值是-1.

故選：A.

9

6.已知x>—1,當(dāng)x=〃時(shí)，x-4-\--取得最小值為人，則〃+/?=（）

x+1

A.-3B.2C.3D.8

【答案】C

9

【詳解】因?yàn)?>-1,所以1+1>0,三>0,

x+1

999

故x-4H------=x+1H----------5>2/(X+1)---------5=1,

x+1x+1AVx+1

9

當(dāng)且僅當(dāng)％+1=------，即％=2時(shí)，等號成立，

x+1

故a=2,b=l,a+b=3.

故選：C

/、［

7.已知函數(shù)小x)+=l,/x_<10)_小_2八3則,".2)=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】C

,、［尤+

【詳解】由十)t(xl,xVTO_g),x>o,

則/⑵=/。)一〃0)=〃0)—〃0)=-/(-1).

又〃-1)=0,所以7?(2)=0.

故選：C

8.你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰

七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真

心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度/z(單位:米)與時(shí)間”單位:秒)之間的關(guān)系式為〃=-3.6r+28&,

則煙花在沖擊后爆裂的時(shí)刻是()

A.第4秒B.第5秒C.第3.5秒D.第3秒

【答案】A

【詳解】由題意，h=-3.6Z2+28.8Z=-3.6(/2-8r+16)+57.6=-3.6{t-4)2+57.6,

則當(dāng)t=4時(shí)，即煙花達(dá)到最高點(diǎn)，爆裂的時(shí)刻是第4秒.

故選：A.

9.已知定義在R上的奇函數(shù)/(尤)，當(dāng)xNO時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，若不等式/(-4。>/(2加2+機(jī))對任意實(shí)數(shù)f

恒成立，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是()

A.(-00,-42)B.卜3,0)C.(—℃,0)(A/5,+OO)D.卜

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意，/(x)是定義在R上的奇函數(shù)且在［0,+e)上單調(diào)遞增,

則/(X)在(f,+◎上也是增函數(shù)，

因?yàn)椴坏仁?(-4f)>Z(2mr+77?)對任意實(shí)數(shù)t恒成立

所以Tr>2,后+，”對任意實(shí)數(shù)t恒成立，

即2mt2+4/+機(jī)<0對任意實(shí)數(shù)尸恒成立，

當(dāng)〃2=0時(shí)，書<0不恒成立，

fm<0-

當(dāng)〃7學(xué)0時(shí)，可得八，解可得加<-點(diǎn).

[16-4-2o/w-/n<0

即加的取值范圍是(-%-&),

故選：A

10.設(shè)函數(shù)/(尤)=x?-2x,g(x)=mx+2,若對任意的％e[-1,2],存在/目-1,2],使得g(%)=/(%),則

實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

A.0,1B.T,gC.D.[0,1]

【答案】B

【詳解】由題意可得函數(shù)g(x)的值域的值域?yàn)楹瘮?shù)/(*)的值域的子集，

當(dāng)飛目一1,2]時(shí)，/(尤)=/一2尤=(尤一1)2-1€[-1,3],即f(x)的值域?yàn)閇T3],

若〃=z0,則g(x)=+2=2,即g(x)的值域?yàn)閧2},而{2}=[—1,3],符合要求；

若〃z<0,則由一次函數(shù)的性質(zhì)可得g(%)=痛+2e[2冽+2,-m+2],

f—1W2m+2

則有c'解得加2-1，又加<。，故-LW:〃<。；

[3>-m+2

若m>0,則由一次函數(shù)的性質(zhì)可得g(%)=如+2e[-m+2,2m+2],

f—1W—77?+211

則有,解得機(jī)"7，又加^0<m<-；

[3>2m+222

綜上所述，根e-1,1.

故選：B.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.函數(shù)，（尤）=落1的定義域?yàn)?

【答案】[2,3）。（3,"）

【詳解】/（尤）=Jj三|的定義域滿足x—220且1劉-3#0,解得xN2且XH3.

故答案為：[2,3）u（3,+e）

12.已知方程》2-4尤+1=0的兩個(gè)根為X]和％,則工；+月=.

【答案】14

【詳解】方程V-n+LO有實(shí)根，則無1+%=4,%%=1,

所以x；+/=（X]+X?＞—2%尤2=4--2x1=14.

故答案為：14

13.若命題“*eR,使d+2x+機(jī)40”是假命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

【答案】（1,"）

【詳解】根據(jù)題意可得“大eR，使/+2'+m40''是假命題等價(jià)于“VxwR,/+2%+m＞0”是真命題,

因此可得A=2?-4加＜0,解得相＞1；

即可得實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（L+8）.

故答案為：（1,+8）

x+3,x＜0,

14.已知函數(shù)〃無）=1若〃/）=2,則實(shí)數(shù)%=___；函數(shù)/'（尤）的值域?yàn)開___.

---,x＞0.

、x+l

【答案】-1（一8,3]

【詳解】當(dāng)不＜。時(shí)，%+3=2,解得無0=-1；

當(dāng)天＞。時(shí)，；=2,解得（舍去），

豌）十上2

所以%=T;

當(dāng)xWO時(shí)，X+3V3；當(dāng)x＞0時(shí)，0＜，＜1,

X+1

所以函數(shù)/（X）的值域?yàn)椋?00,3].

故答案為：-1；（-8,3].

15.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(尤)：.

①“為巧)=/(%)/(馬)；

②對于任意兩個(gè)不同的正數(shù)占，工2,都有"6"")>。恒成立；

%,-x2

③對于任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)內(nèi),馬,者陌f[—^>/叫〃馬).

【答案】f(x)=C(答案不唯一)

【詳解】當(dāng)〃x)=石時(shí)，

對于①，f^XiX^=y[x^=f^f^X2),故滿足①；

對于②，由對于任意兩個(gè)不同的正數(shù)王，尤2,都有"")一"“)>0恒成立,

%一工2

得函數(shù)/■(“在(0,+8)上單調(diào)遞增,

而函數(shù)"x)=6在(0,+8)上單調(diào)遞增，故滿足②;

對于③，任取士,9e[0,+<?),外中馬，

因?yàn)槲髁τ?，所以[/廣1產(chǎn)]/（尤1）+“4）

2

即-(網(wǎng)+々「)

所以/g故滿足③.

故答案為：=?(答案不唯一).

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

16.（13分）己知集合A={x|xV5},B={%|m<x<2m-11.

⑴當(dāng)根=4時(shí)，求和AB；

(2)若求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【詳解】（1）m=4時(shí)，B={x|4<x<7）,CRB={X|X<4或x>7},（3分）

AkjB=|jt|x<5ju|x|4<x<7^={x|x<7}；（6分）

（2）BeA,當(dāng)3=0時(shí)，m〉2m—L解得加<1,（7分）

m<2m-1

當(dāng)8W0時(shí),（9分）

2m-1<5

解得1V〃2V3,（12分）

故實(shí)數(shù)皿的取值范圍是mV3.（13分）

17.（14分）已知二次函數(shù)〃》）=2尤2-（4-2左）龍+；.

（1）若存在x使/（“<0成立，求人的取值范圍；

（2）當(dāng)人=0時(shí)，求/（x）在區(qū)間［2a,a+1］上的最小值.

【詳解】（1）若存在無使〃x）<0成立，

91

貝必=（4-22）-4x2x->0,（4分）

解得左>3或左<1,（6分）

所以女的取值范圍是（3,+助5-力』）；（7分）

193

（2）當(dāng)左=0時(shí)，/（X）=2X2-4X+-=2（X-1）,為對稱軸是％=1開口向上的拋物線,

因?yàn)樗詀vl,（9分）

當(dāng)Q+1VI即時(shí)，

〃xL=〃a+l）=2S+lT）一］=2/一］；（io分）

當(dāng)即0<〃<!時(shí)，

2

〃心="1）=2（1）-21；（11分）

當(dāng)即時(shí)，

2

31

92

/（x）min=/（2a）=2（2fl-l）--=8?-8?+-;（12分）

2

綜上所述，當(dāng)時(shí)，/（x）mn=2?--；

13

當(dāng)°<“<5時(shí)，〃初「一相

11

2

當(dāng)54a<1時(shí)，/（x）m.n=8a-8o+-.（14^）

18.（13分）已知函數(shù)/（幻=尤+」.

（1）判斷并證明/（X）的奇偶性；

（2）證明/⑺在口,內(nèi)）上是增函數(shù)；

（3）求/（%）在［1,4］上的最大值及最小值.

【詳解】（1）函數(shù)/（x）=』+無的定義域?yàn)椋ㄒ粦?yīng)。）（。，一），〃彳）是奇函數(shù)，

X

對任意的XW0,/（-幻=y工+（-%）=-（-+X）=-/（%）,

（一九）X

所以函數(shù)/（X）為奇函數(shù).（3分）

（2）對區(qū)間［1,+CO）上的任意兩個(gè)數(shù)%,飛，且％<%2，

貝!|/（^）-/（X2）=（―+-（―+X2）=~~~_1）,（5分）

玉x2\x2

XX

由貝12-1>0,X［-x2<0,（7分）

從而/（網(wǎng)）-/（尤2）<。，即而％）</（%2），

所以函數(shù)/（X）在區(qū)間口,+8）上為增函數(shù).（9分）

17

（3）由⑵知，函數(shù)在口,4］上單調(diào)遞增，/（x）1111n"（1）=2,/Wmax=/（4）=—,

17

所以函數(shù)/（尤）在口,4］上的最大值、最小值分別為2.（14分）

19.（15分）2018年10月24日，世界上最長的跨海大橋一港珠澳大橋正式通車。在一般情況下，大橋上

的車流速度v（單位：千米/時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到220輛/

千米，將造成堵塞，此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米，車流速度為100千米/時(shí).研究

表明：當(dāng)20WXV220時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).

（1）求函數(shù)v（尤）的表達(dá)式；

（2）當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/時(shí)）/（>）=x-v{x}

可以達(dá)到最大？并求出最大值.

【詳解】（1）由題意，當(dāng)04尤《20時(shí)，v（x）=100,

［20a+&=100

當(dāng)20WxV220時(shí)，設(shè)v（x）=ox+6,則,八（5分）

220a+&=0

解得:a=——,6=110

100,0<x<20

v(x)=]1(8分)

——x+110,20<x<220

I2

100%,0<x<20

(2)由題意，/(x)=[1(11分)

——x2+110x,20<x<220

I2

當(dāng)?！从?lt;20時(shí)，/(無)的最大值為/(20)=2000(12分)

當(dāng)20WXW220時(shí)，/(X)=-1(X-110)2+6050,(13分)

/(元)的最大值為/(II0)=6050

二當(dāng)車流密度為110輛/千米時(shí)，車流量最大，最大值為6050輛/時(shí).(15分)

20.（15分）定義在（-M）上的函數(shù)/Q）滿足：①對任意羽都有〃x）+/（y）=/產(chǎn)；②當(dāng)

U+孫j

xw（—1,0）時(shí),有y（x）>0.求證:

⑴/⑴是奇函數(shù)；

⑵^二+［曰++其中〃eN*.

【詳解】（1）令x=y=o,代入/（尤）+〃了）=/（產(chǎn)］,得到/（0）=0.

U+孫J

令y=-X,#/(x)+/(-x)=/(0)=0,BPf(-x)=-f(x).

/（X）在（-M）上是奇函數(shù).（5分）

1卜m+f1+，+5]=PQPmm電

1111

（12分）

n+33〃+3〃+3

1>。，“a-1

.\0<<1,-1<———<0,，f

〃+3〃+3

幾+3n+3I

故心”]

++/（15分）