2024-2025學(xué)年重慶市沙坪壩區(qū)某中學(xué)高一（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年重慶市沙坪壩區(qū)南開中學(xué)高一（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、

D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將正確答案填寫在對應(yīng)括號里。

1.（4分）-2024的絕對值是（）

1

A.--B.C.-2024D2024

20242024

2.（4分）下面圖形中，中心對稱圖形的個數(shù)有（）

0回正）會

A.1個B.2個C.3個D4個

3.（4分）已知點（-3,2）在反比例函數(shù)（左W0）的圖象上（）

X

A.-3B.3C.-6D6

4.（4分）已知，直線〃〃上把一塊含有30°角的直角三角板如圖放置,三角板的斜邊所在直線交b于點

A,則N2=（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.(4分)如圖，在平面直角坐標系中，△4BC與B'(丁是位似圖形（-3,1）的對應(yīng)點為4'（-

6,2),則點8(-2,4)()

B'

一沁一

6]x

A.（-4,8）B.（8,-4）C.（-8,4）D（4,-8）

6.（4分）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形,第1個圖有4個三角形.第2個

圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形…按照此規(guī)律排列下去（）

第1頁（共39頁）

△

A△△△

△△△△AAA

△△△AAAAAA

第1個第2個第3個

A.2022B.2023C.2024D.2025

.近的值所對應(yīng)的點可能落在

7.（4分）如圖,估計-V5)

5

ABCD

-10123456

A.點/處B.點3處C.點C處D.點。處

8.（4分）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個直徑端點與半圓。的圓心重合，若半圓

D?疑手

A--^^[3B.InC.-1-7T-V3

Oo

9.（4分）如圖，在中，ZABD=30°,將沿8。翻折180°得到△C8。，將線段。C繞點

。順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段。下，連接ERED.若斯=1（

C24

D.

'22

10.（4分）如圖1,△/8C是等邊三角形，點。在邊上，動點P以每秒1個單位長度的速度從點8出

發(fā)，沿折線8C-C4勻速運動，連接。尸.設(shè)點尸的運動時間為f（s）,DP?為y.當(dāng)動點P沿3c勻速

運動到點C時，夕與［的函數(shù)圖象如圖2所示.有以下四個結(jié)論：①NB=3；②當(dāng)—5時；③當(dāng)

W6時，函數(shù)值歹的最小值為旦，兩個時刻九，t2（九V%2）分別對應(yīng)歹1和歹2，若九+，2=6,則yi>J2.其

4

中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

第2頁（共39頁）

二、填空題（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將正確答案直接填寫在答題卡對應(yīng)的橫線上。

11.（4分）計算：（7r-3）0+（y）-l=.

12.（4分）如圖，有4張分別印有卡通西游圖案的卡片：唐僧、孫悟空、豬八戒、沙悟凈.現(xiàn)將這4張卡

片（除圖案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，然后放回并攪勻，再從中隨機取出1張卡

片.

唐僧孫悟空豬八戒沙悟凈

13.（4分）如圖，直線y=fcc+6與y=L交于N（3,1）（6,0）,則不等式組0<kx+b<^x的解集

33

’2（a-x）〉-x-4

14.（4分）如果關(guān)于1的分式方程—的解為負數(shù)，且關(guān)于％的不等式組及+47，

x+1x+l---<x+1

那么符合條件的整數(shù)〃的個數(shù)是.

15.（4分）已知實數(shù)°、6滿足：a-b=\,那么_J—的值為.

a2+lb2+l

16.（4分）如圖，在RtZk/BC中，N4CB=90°泥，它的頂點。，E,G分別在△/2C的邊

上

第3頁（共39頁）

A

17.（4分）數(shù)學(xué)興趣小組對1…”這〃個自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于〃的取法種數(shù)人進行了探究.發(fā)現(xiàn):

當(dāng)〃=2時，只有｛1,即左=1；當(dāng)"=3時，3｝和｛2,3｝兩種取法；當(dāng)〃=4時，可得笈=4,則上的值

為.

18.（4分）如圖，在菱形ABCD中，點￡,CD的中點，連接/E當(dāng)，AE=5,則的長

5

為.

19.（4分）一個兩位正整數(shù)加，若加滿足各數(shù)位上的數(shù)字均不為0,稱〃?為“公能數(shù)”，把加放在〃的左

邊組成第一個四位數(shù)4,把沉放在〃的右邊組成第二個四位數(shù)瓦記F（m）上空，，都是“公能數(shù)”，

99

S個位上的數(shù)字等于/十位上的數(shù)字（S）被11除余7,尸5）+尸（力，則滿足條件的所有S的和為.

20.（4分）如圖，在中，//C3=90°,點/在上，以￡尸為直徑的圓交直線于點

48=5,貝!.

三、解答題（本大題共7個小題，每小題各10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推

理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在對應(yīng)的位置。

21.（10分）計算：

⑴[（m-2n）（m+2n）+（m-n）2-n（m-3n）]+gm）；

第4頁（共39頁）

力x+4x+4x./2c、，c7、1

⑵..........---------（x+2x）+（3-x-^—7）*~~7'

x+3x+3x+4

22.（10分）某學(xué)校舉辦的“青春飛揚”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個階段.

（1）初賽由10名教師評委和45名學(xué)生評委給每位選手打分（百分制）.對評委給某位選手的打分進行

整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

a.教師評委打分：

86889091919191929298

b.學(xué)生評委打分的頻數(shù)分布直方圖如圖（數(shù)據(jù)分6組：第1組82Wx<85,第2組85Wx<88,第3組

88Wx<91,第4組91Wx<94,第5組94Wx<97,第6組97<xW100）：

c.評委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

教師評委9191m

學(xué)生評委90.8n93

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

?m的值為,n的值位于學(xué)生評委打分數(shù)據(jù)分組的第組；

②若去掉教師評委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評委打分的平均數(shù)為彳，則彳91

（填”或“<”）；

（2）決賽由5名專業(yè)評委給每位選手打分（百分制）.對每位選手，計算5名專業(yè)評委給其打分的平均

數(shù)和方差.平均數(shù)較大的選手排序靠前，則方差較小的選手排序靠前.5名專業(yè)評委給進入決賽的甲、乙、

丙三位選手的打分如下：

評委1評委2評委3評委4評委5

甲9390929392

乙9192929292

丙90949094k

若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是,表中左"為整

數(shù)）的值為.

第5頁（共39頁）

23.（10分）“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”.為優(yōu)選品種，提高產(chǎn)量，某農(nóng)業(yè)科技小組對

A,2兩個品種各種植了10畝.收獲后3兩個品種的售價均為2.4元/Ag,A,B兩個品種全部售出

后總收入為21600元.

（1）請求出4,3兩個品種去年平均畝產(chǎn)量分別是多少？

（2）今年，科技小組加大了小麥種植的科研力度，在4預(yù)計/,8兩個品種平均畝產(chǎn)量將在去年的基

礎(chǔ)上分別增加。％和2a%.由于3品種深受市場的歡迎，而/品種的售價不變.A,2兩個品種全部售

出后總收入將在去年的基礎(chǔ)上增加空

9

24.（10分）如圖1,在矩形/BCD中，EFLGH,分別交/8、DC于點G、H.

（1）求證："m；

GHAD

（2）如圖2,將矩形488沿￡下折疊.使得點。落在邊上的點G處，點C落在點尸處，若48

=4,BC=6,EF=±51

25.（10分）在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點/在x軸的正半軸上.點8,四邊形CU8C是平行

四邊形，點。在反比例函數(shù)夕=上，點。的橫坐標為2.點8的縱坐標為3.

X

（1）如圖1,點。是45邊的中點，且在反比例函數(shù)^=上，求平行四邊形CUBC的面積；

x

（2）如圖2,將直線A：y=-又向上平移6個單位得到直線/2,直線力與函數(shù)y=KG>0）圖象交

4x

第6頁（共39頁）

于Ml,初2兩點，點尸為的中點，過點Mi作于點N.請求出P點坐標和■的值.

0P

圖1圖2

26.(10分)已知在RtANBC中，NACB=9Q°,ZABC=a(45°<a<90°)，點￡在直線3C上運動,

將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DF

(1)如圖1,點￡、P分別在邊BC、AB1.,若a=60°,EF//AC,AC=3?，求皮^的長度；

(2)如圖2,點￡、尸分別在邊3C、上，作EG〃/C交于點G,并證明；

(3)若a=60°,點E在直線3c上運動，當(dāng)△3。尸為等腰三角形時出的值.

AD

27.(10分)如圖1,在平面直角坐標系中，已知拋物線y=a/+2x+c經(jīng)過點(2,8),且與y軸交于點/,

與x軸交于點8(6,0),過P作P?！溯S，交于點Q.

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖2,過點P作尸于點尺，當(dāng)△PQR的周長最小時，動點N在y軸上運動，且M乂〃x軸,

求8A1+NQ的最小值；

(3)如圖3,點C在第一象限內(nèi)，連接ZC,S.ACJ.AO,將線段C。繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線

段CD,AD,OD交AB于點E,連接ORBD,ZBDO=2ZAOC,pH=^-EF，請直接寫出點尸的坐

標.

第7頁(共39頁)

第8頁（共39頁）

2024-2025學(xué)年重慶市沙坪壩區(qū)南開中學(xué)高一（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、

D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將正確答案填寫在對應(yīng)括號里。

1.（4分）-2024的絕對值是（）

A.--B.—C.-2024D.2024

20242024

【解答】解：-2024的絕對值是2024,

故選：D.

2.（4分）下面圖形中，中心對稱圖形的個數(shù)有（）

【解答】解：左起第四個圖形不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合;

第一、第二和第三個圖形能找到這樣的一個點，所以是中心對稱圖形.

所以中心對稱圖形有3個.

故選：C.

3.（4分）已知點（-3,2）在反比例函數(shù)＞=區(qū)（左W0）的圖象上（）

x

A.-3B.3C.-6D.6

【解答】解：：點（-3,2）在反比例函數(shù)y=K,

X

:?k=-6X2=-6.

故選：C.

4.（4分）已知，直線a〃兒把一塊含有30°角的直角三角板如圖放置，三角板的斜邊所在直線交6于點

第9頁（共39頁）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【解答】解：：/l=30°,

/.ZABC=60°,

:直線a〃b,

：.Z2=ZABC=60°,

故選：B.

5.(4分)如圖，在平面直角坐標系中，AABC與MB'C是位似圖形(-3,1)的對應(yīng)點為/'(-

6,2),則點2(-2,4)()

Arc

A.(-4,8)B.(8,-4)C.(-8,4)D.(4,-8)

【解答】解：與△/'B'C是位似圖形，位似中心為點。，1)的對應(yīng)點為H(-6,

...△/5C與B'C的相似比為5：2,

:點2的坐標為(-2,4),

...點8的對應(yīng)點中的坐標為(-2X2,5X2),8),

故選：A.

6.(4分)如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個圖有4個三角形.第2個

圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形…按照此規(guī)律排列下去()

△

A△△△

△△△△

△△△AAA

第1個第2個第3個

A.2022B.2023C.2024D.2025

【解答】解：第1個圖案有4個三角形，即7=3Xl+8,

第2個圖案有7個三角形，即5=3X2+7,

第3個圖案有10個三角形，即10=3X2+1,

按此規(guī)律擺下去，第〃個圖案有(3"+7)個三角形,

第10頁(共39頁)

則第674個圖案中三角形的個數(shù)為：3X674+1=2023（個）.

故選：B.

7.（4分）如圖，估計任一/§?近的值所對應(yīng)的點可能落在（）

5

ABCD

I????.?.?.?.

-10123456

A.點/處B.點8處C.點。處D.點。處

【解答】解：A/19-V5

8

=怖-1,

VV16<VT9<V25,即4<任<3,

4-l<V19-5<5-1,

3<V19-1<4,

/.、壓-V6,漁的值所對應(yīng)的點可能落在點B處，

5

故選：B.

8.（4分）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個直徑端點與半圓。的圓心重合，若半圓

A.之穴B.AC.-^-n-VsD-

33K334

【解答】解：如圖，連接作于點8,

三角形/。。'是等邊三角形,

/.ZAOO'=60",OB=L,

6

：.AB=V22-42=>^3,

??S弓形4。，=S扇形4。。，-S/^AOO,

第11頁（共39頁）

60冗X522乂娓乂L

-360~2

等-傷

O

?'?S陰影=s弓形4。，+S扇形40,O

=8兀-相+?兀

33

=竿-6

故選：A.

9.（4分）如圖，在中，ZABD=30°,將沿3。翻折180°得到△C8。，將線段DC繞點

。順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段。R連接即，ED.若斯=1（

A]+V^B2^>C2~^D.

4'4'22

【解答】解：過點/作/GLAD于點G,

VZABD=3Q0,//=105°,

ZADB=45°,

設(shè)4E=BE=a,則48=20,

AG=yAB=a,BG=-^~AB>=V5a,

O乙

.\DG=AG=a,

：.AD=42a>

VAE_a4,AD=&a=&,

AD-A/2a_2'AB_5a2

???A—E^―=A--D,

ADAB

,//DAE=/BAD,

：.^ADE^/\ABD,

:./ADE=/ABD=30°,

/ADC=ZADB+ZCDB=90°=ZADE+ZEDF+ZCDF,

第12頁（共39頁）

90°=30°+ZEDF+30°,

；./EDF=30°=NADE,

'：AD=CD=DF,DE=DE,

：.44DEmAFDE(SAS),

：.EF=AE=BE=2,

過點E作EHLBD于點H,

???EH=￡BE-|，30=向a+a=77+l，

...△2EO的面積=qXBDXEH=《X(V6+1)

o2r4

故選：A.

10.（4分）如圖1,△/BC是等邊三角形，點。在邊48上，動點P以每秒1個單位長度的速度從點2出

發(fā)，沿折線2C-C4勻速運動，連接DP.設(shè)點尸的運動時間為f（s）,DP?為y.當(dāng)動點P沿3c勻速

運動到點。時，y與f的函數(shù)圖象如圖2所示.有以下四個結(jié)論：①48=3；②當(dāng)/=5時；③當(dāng)4Wf

W6時，函數(shù)值y的最小值為3,兩個時刻fl,/2（,tl<t2）分別對應(yīng)yi和了2,若/1+/2=6,則yi>/2.其

【解答】解：由題意，當(dāng)尸到C時2=y=7,

：.。d=7.

作DHLBC于H,如圖1所示,

第13頁（共39頁）

A

圖1

VZB=60°,BD=5,

???9=件=3?2一即2=如，

CH=22

VDC-DH=73-3=2，

BC=BH+CH=5+2=3,

：.AB=BC=2,故①正確；

止匕時f=/B+l=3（秒），

當(dāng)，=5時，尸在NC上，

又乙4=60°,

.?.△4DP是等邊三角形，

：.DP=AD=AP=4,

'.y=DP1=1,故②正確;

當(dāng)6W1W6時，如圖3,

:.PC=7,此時P從如圖的位置運動到/,

第14頁（共39頁）

AH=^AD=—,

22

:.DH=?,此時尸運動到X時2取最小值為3,故③正確；

68

VZl+Z2=2,

ti+ti<2/2,2/i<叁+念，，2=6-fi,

???九（4,ti>3,

又由題意，可得，y=（L4）2+3；當(dāng)5<￡6時2+生

4

?\yi=（0-1）2+4,y2=（￡2-3.5）2+=（^7-0.5）2+—,

4

*'?JV3~yi=（九-3）之+3-（力-0.5）3-旦=2-九>0,

4

歹2，故④正確.

故選：D.

二、填空題（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將正確答案直接填寫在答題卡對應(yīng)的橫線上。

11.（4分）計算：（JT.3）。+-）T=3.

【解答】解：原式=1+2

=3.

故答案為：3.

12.（4分）如圖，有4張分別印有卡通西游圖案的卡片：唐僧、孫悟空、豬八戒、沙悟凈.現(xiàn)將這4張卡

片（除圖案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，然后放回并攪勻，再從中隨機取出1張卡片

唐僧孫悟空豬八戒沙悟凈

【解答】解：將“唐僧”記為“力”,將“孫悟空”記為“B”,將“沙悟凈”記為W,

畫樹狀圖如下：

第15頁（共39頁）

開始

第一次

第一次

共有16種等可能的結(jié)果，兩次取到相同圖案的卡片結(jié)果有（N、（B、（C、（D,

所以兩次取到相同圖案的卡片的概率為

163

故答案為：1.

4

13.（4分）如圖，直線>=日+6與》=工交于/（3,1）（6,0）,則不等式組0<kx+b<」x的解集為」

33

<x<6

【解答】解：：與直線y=L交于點a2）,

3

.?.不等式組0<fcc+6cL的解集為3cx<6.

8

故答案為：6<x<6

'2(a-x)>-x-4

14.（4分）如果關(guān)于x的分式方程/__1士1的解為負數(shù)，且關(guān)于'的不等式組3X+4

x+1x+1<x+l

2

那么符合條件的整數(shù)。的個數(shù)是2.

’2（a-x）》-x-4（D

【解答】解：i7X+4

<x+3②

2

由①得：XW2Q+4,

由②得：x<-6,

由不等式組的解集為x<-2,

得到2a+42-2,即心-3,

分式方程去分母得：a-x-4=x-1,即。=2x,

因為分式方程的解為負數(shù)，所以。也是負數(shù).

第16頁（共39頁）

把a=-2代入整式方程得：-3=2%,即乂=其，符合題意；

把°=-2代入整式方程得：-3=2x,即x=-l；

把。=-8代入整式方程得：-l=2x,即行口，符合題意；

x2

把〃=0代入整式方程得：4=2%,即x=0.

???符合條件的整數(shù)Q取值為-3,-1.

15.（4分）已知實數(shù)〃、6滿足：a?b=l,那么―-—+_--的值為.1

a2+lb2+l

22

【解答】解：???」—一1_=一生也+2一，

a+8b+3ab+b+a+1

???當(dāng)Q?6=6時/序=（岫）3=1

2.i8,Q

.?.原式=.a如t2=6.

l+b6+a2+l

16.（4分）如圖，在RtZ\/8C中，ZACB=90a遙，它的頂點。，E,G分別在△/BC的邊上二衣.

【解答】解：如圖，過點G作GHL/C于點X,

VZACB=90°,AC=BC=5,

△NBC是等腰直角三角形，

；.乙4=45°,A5=&巡，

"JGHLAC,

...△/G〃是等腰直角三角形，

：.AH=HG,AG=近,

,/四邊形DEFG是正方形，

：.DG=DE,/GDE=90°,

：.ZGDH=90°-/EDC=90°-ZDGH=ADEC,

在△OGH和△DEC中，

第17頁（共39頁）

<ZDHG=ZECD=90°

,ZGDH=ZDEC，

DG=ED

:?△DGgXDEC(44S),

:?GH=DC,DH=CE,

:?AH=HG=DC,

設(shè)AH=HG=DC=a,DH=CE=b,

???正方形DEFG的邊長為病，

,：AC=AH+DH+DC,DC2+CE2=DE\

2a+b=5,a6+b2=(J^)2,

將b=5-2Q代入Q7+〃=(5/^)5整理得：片一4。+2=0,

解得。1=的=2,

:?AH=a=2,

：.AG=^AH=2近,

：.BG=AB-AG=6-J2-2代衣，

故答案為：

17.（4分）數(shù)學(xué)興趣小組對1…”這〃個自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于〃的取法種數(shù)人進行了探究.發(fā)現(xiàn):

當(dāng)〃=2時，只有{1,即左=1；當(dāng)〃=3時，3}和{2,3}兩種取法；當(dāng)〃=4時，可得左=4,則左的值為

144.

【解答】解：當(dāng)〃=6時，從1,4,3,4,2,取兩個數(shù)的和大于6

{6,2},2},3},2},5},2},2},4},3},

???左=8+3+1=8,

當(dāng)〃=8時，從1,4,3,4,5,6,7,取兩個數(shù)的和大于8

{8,1},6},3},4},5},6},7},5},5},4},4},2},5},2},3},4},

第18頁（共39頁）

???左=4+5+3+6=16,

當(dāng)〃=24時，從1,2,23,取兩個數(shù)的和大于24

{24,8},2}……{24,

{23,2}{23,22},

{22,5},4}……{22,

{14,11},12},13},

{13,12）,

???左=23+21+19+……+3+6=144；

故答案為：144.

18.（4分）如圖，在菱形中，點￡,CD的中點，連接4E■三，AE=5,則AB的長為—2候

5—3

【解答】解：如圖，過點E作EG，/尸于點G、BC交于點H,

則N￡G/=/EG〃=90°,

VsinZEAF=—=^-,AE=4,

5AE

；.EG=4,

/G=VAE2-EG7=V52-82=3，

?.?四邊形/BCD是菱形，

J.AD//BC,AD=4B=BC=CD,

;點、E,尸分別是3C,

：.BE=CE=^-BC1-CD,

25

：.BE=DF,

:.AADF出AABE(SAS),

：.AF=AE=5,

第19頁（共39頁）

：.GF=AF-AG=2,

,:AD〃BC,

：./D=4FCH,

又??,/AFD=/HFC,

：.AADF^AHCFCASA),

:?AF=HF=4,AD=CH,

:?AB=BC=CH,GH=GF+HF=2+5=2,

EH=4EG24cH2=如2+心=765，

：.AB=BC=2LEH=5A,

33

故答案為：a/運.

2

19.(4分)一個兩位正整數(shù)加，若加滿足各數(shù)位上的數(shù)字均不為0,稱根為“公能數(shù)”，把〃?放在"的左

邊組成第一個四位數(shù)/,把機放在"的右邊組成第二個四位數(shù)2,記F(m)上殳，/都是“公能數(shù)”，

99

S個位上的數(shù)字等于f十位上的數(shù)字(s)被11除余7,尸(s)+P(t),則滿足條件的所有S的和為183.

【解答】解：設(shè)s=10a+6,f=106+c,

?F(v)=1000a+100b+10b+a-(1000b+100a+10a+b)

^1000a+100b+10b+a-1000b-100a-10a-l:

99

=891a-891b

99

=891(a-b)

99

=9(a-b)

—9a-5b,

同理，得尸(t)=9b-9c,

：.F(s)+F(O=5。-9b+(96-6c)

=9a-9b+2b-9c

第20頁(共39頁)

=9a-4c,

,:F(s)+F⑺=63,

9a-9。=63,BP(2-c=8.

?\Q=8或〃=4.

?：F(s)被11除余7,

當(dāng)Q=8時，c=2,

當(dāng)商為1時，72-96=18,

:?b=2；

當(dāng)商為2時，72-96=29,

當(dāng)商為3時，72-96=40,

.??b衛(wèi)（舍去）；

7

當(dāng)商為4時，72-96=51,

k=-^-（舍去）；

3

當(dāng)商為5時，72-76=62,

，b巖（舍去），

當(dāng)商大于等于6,即72-46273時,

b<0（舍去）.

當(dāng)〃=9,。=8,

當(dāng)商為1時，81-96=18,

，b=6；

當(dāng)商為2時，81-96=29,

.??b衛(wèi)（舍去）；

2

當(dāng)商為3時，81-96=40,

b①（舍去），

D5

當(dāng)商為4時，81-96=51,

第21頁（共39頁）

.??ba（舍去）；

8

當(dāng)商為5時，81-96=62,

b二旦（舍去）；

7

當(dāng)商為6時，81-96=73,

（舍去）；

9

當(dāng)商大于等于7,即81-26284,

b<0（舍去），

綜上所述，a=8,c=4或a=9,c=2,

.'.5=86或5=97,

滿足條件的所有s的和為：86+97=183.

故答案為：183.

20.（4分）如圖，在中，//C3=90°,點/在。￡上，以昉為直徑的圓交直線于點

AB=5,則

【解答】解：連接EC,FC,

四邊形ACDE和四邊形BCGF均為正方形，

：.AC=AE=ED,ZACE=45°,BC=BF,

:在Rt^ABC中，ZACB=90°,

AZACE+ZACB+ZBCF=1SO°,

...點E,C,廠在同一條直線上，

過點￡,尸作直線九W的垂線，T,設(shè)防的中點為O,連接。M

第22頁（共39頁）

,/四邊形ABHI和四邊形BCGF均是正方形，

AZZ4C=90°,AB=AI,BC=BF,

ZBAC+ZCAI=90°,

又：/Z4E+NC//=90°,

：.ZBAC=ZIAE,

在△45C和△/正'中，

'AB=AI

-ZBAC=ZIAE-

.AC=AE

:.AABC冬LAIE(SAS),

:.BC=IE,

:點/為DE的中點，

；.ID=IE,

：.AE=ED=2IE,

；.4C=2BC,

在RtZ\48C中，由勾股定理得：AC5+BC2^AB2,

即(4BC)2+BC2=62,

:.BC=QAC=5BC=275>

在RtZ\/CE中，AC=AE=2^，

由勾股定理得：EC^7AC2+AE5=2710>

在中，BC=BF=^,

由勾股定理得：FC=gQ+gp.2=5/YQ,

：.EF=EC+FC=2V10-H/10=2V10-

為。。的直徑，

OE=OF=OM=

2

第23頁（共39頁）

'：ZCAE=9Q°,ERLMN,

:.NBAC+/EAR=9Q°,/AER+NEAR=9Q°,

：.ZBAC=ZAER,

又；NACB=NR=90°,

：.AABCsAEAR,

：.AC：ER=AB：AE,

即4遙：ER=5：375-

：.AR=4,

同理可證：△ABCsABFT,

：.BC：FT=AB：BF,

即V：FT=5：返，

：.FT=6,

'：ERLMN,歹T_L〃M點。為M的中點,

/.OK為梯形EFTR的中位線，

：.OK=1-（ER+FT）=-li互，

222

在中，OM=宜叵

22_

由勾股定理得：研=/012_0^=2^,

:點。為。。的圓心，OK1.MN,

:.MN=2MK=4^.

故答案為：V65-

三、解答題（本大題共7個小題，每小題各10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推

理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在對應(yīng)的位置。

21.（10分）計算:

⑴[(m_2n)(m+2n)+(m-n)2-n(m-3n)]+gm)；

q9

(2)x+4x+4x二(X2+2X)+(3-X/?+

x+3

【解答】解：（1）原式=[加2-4心+冽2_2冽〃-冽〃+3〃2]+

2

(2m3-3mn)4-(JLm)

6

第24頁（共39頁）

=4m-6〃；

（2）原式=x（x+4），?6（x-3）（x+2）+7.4

x+3x（x+2）x+3x+4

=x+2-一（x+4）（x-4）?1

x+5x+4x+4

=x+4_x-4

x+3x+2

—x+2-（x-4）

x+8

—6

22.（10分）某學(xué)校舉辦的“青春飛揚”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個階段.

（1）初賽由10名教師評委和45名學(xué)生評委給每位選手打分（百分制）.對評委給某位選手的打分進行

整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

a.教師評委打分：

86889091919191929298

b.學(xué)生評委打分的頻數(shù)分布直方圖如圖（數(shù)據(jù)分6組：第1組82Wx<85,第2組85Wx<88,第3組

88Wx<91,第4組91Wx<94,第5組94Wx<97,第6組97WxW100）：

c.評委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

教師評委9191m

學(xué)生評委90.8n93

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

@m的值為91,n的值位于學(xué)生評委打分數(shù)據(jù)分組的第4組:

②若去掉教師評委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評委打分的平均數(shù)為彳，則，<91

（填“>，，“=”或，，<，，）；

（2）決賽由5名專業(yè)評委給每位選手打分（百分制）.對每位選手，計算5名專業(yè)評委給其打分的平均

數(shù)和方差.平均數(shù)較大的選手排序靠前，則方差較小的選手排序靠前.5名專業(yè)評委給進入決賽的甲、乙、

丙三位選手的打分如下：

評委1評委2評委3評委4評委5

甲9390929392

乙9192929292

第25頁（共39頁）

丙90949094k

若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是甲，表中后“為整數(shù))

的值為92.

頻數(shù)八

14---------------.

12------------------------

8----------------------------

6--------------

0^^828588919497100

【解答】解：(1)①由題意得，教師評委打分中91出現(xiàn)的次數(shù)最多.

45名學(xué)生評委打分數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第23個數(shù)，故n的值位于學(xué)生評委打分數(shù)據(jù)分組的第4組;

故答案為：91；4；

②若去掉教師評委打分中的最高分和最低分，記其余3名教師評委打分的平均數(shù)為彳，

則彳=上><(88+90+91+91+91+91+92+92)=90.75,