經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 課件 ch03 不定積分與定積分

不定積分與定積分第三章經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課規(guī)劃教材01不定積分原函數(shù)與不定積分的概念一般地，若有F′（x）=f（x），就有（F（x）+C）′=f（x），若F（x）是f（x）的一個原函數(shù)，則F（x）+C是f（x）的全部原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)。若函數(shù)F（x）是f（x）在區(qū)間I上一個的原函數(shù)，則F（x）+C（C為任意常數(shù)）稱為f（x）在該區(qū)間上的不定積分，記∫f（x）dx。不定積分不定積分【例3.1】不定積分的性質(zhì)不定積分不定積分的幾何意義：F（x）+C是f（x）的所有原函數(shù)，原函數(shù)之間的關(guān)系可在幾何上表示，把曲線y=F（x）通過上下平移。每條積分曲線在相應(yīng)點(diǎn)的切線斜率相等，都等于f（x），從而使相應(yīng)點(diǎn)的切線互相平行。這就是不定積分的幾何意義。不定積分曲線y=F（x）+C的圖像，如圖3-1所示。不定積分不定積分的性質(zhì)。不定積分求導(dǎo)數(shù)基本公式的逆過程，就是求不定積分的基本公式，因而由導(dǎo)數(shù)基本公式可得出相應(yīng)的公式，見表3-1。不定積分求導(dǎo)數(shù)基本公式的逆過程，就是求不定積分的基本公式，因而由導(dǎo)數(shù)基本公式可得出相應(yīng)的公式，見表3-1。不定積分【例3.2】不定積分【例3.3】不定積分【例3.4】02不定積分的換元積分法與分部積分法不定積分的換元積分法與分部積分法換元積分法【例3.5】不定積分的換元積分法與分部積分法常用的湊微分的公式見表3-2。不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.7】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.8】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.9】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.10】不定積分的換元積分法與分部積分法分部積分法【例3.11】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.12】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.13】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.14】03定積分定積分設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上是非負(fù)連續(xù)函數(shù)，由曲線y=f（x），直線x=a，x=b以及x軸所圍成的平面圖形，稱為曲邊梯形，其中曲線y=f（x）為曲邊，如圖3-2所示。定積分定積分的概念與性質(zhì)定積分的幾何意義，如圖3-3所示。定積分性質(zhì)6該性質(zhì)的幾何意義如圖3-4所示。定積分性質(zhì)7

該性質(zhì)的幾何意義如圖3-5所示。定積分定積分的計算【例3.16】定積分【例3.17】定積分【例3.19】04定積分的應(yīng)用定積分不僅能分析和解決曲邊梯形面積的問題，而且在經(jīng)濟(jì)方面也有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)首先闡述定積分的微元法，然后舉例說明定積分在幾何、經(jīng)濟(jì)上的一些簡單應(yīng)用。定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用【例3.24】定積分的應(yīng)用【例3.25】定積分的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用【例3.26】定積分的應(yīng)用無窮區(qū)間的廣義積分【例3.27】定積分的應(yīng)用【例3.29】05數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事高斯———數(shù)學(xué)王子卡爾·弗里德里?！じ咚梗↗ohannCarlFriedrichGauss）（1777—1855），生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家。高斯被認(rèn)為是最重要的數(shù)學(xué)家，有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù)，并被譽(yù)為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事高斯1777年4月30日生于不倫瑞克的一個工匠家庭。高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經(jīng)成為一個軼事流傳至今。他曾說，他在麥仙翁堆上學(xué)會計算。數(shù)學(xué)家的故事能夠在頭腦中進(jìn)行復(fù)雜的計算，是上帝賜予他一生的天賦。父親格爾恰爾德·迪德里赫對高斯要求極為嚴(yán)厲，甚至有些過分。高斯尊重他的父親，并且秉承了其父誠實、謹(jǐn)慎的性格。高斯一生下來，就對一切現(xiàn)象和事物十分好奇，而且決心弄個水落石出，這已經(jīng)超出了一個孩子能被許可的范圍。在成長過程中，幼年的高斯主要得力于母親和舅舅：高斯的母親羅捷雅、舅舅弗利德里希。高斯很幸運(yùn)地有一位鼎力支持他成才的母親。當(dāng)丈夫為此訓(xùn)斥孩子時，她總是支持高斯，堅決反對頑固的丈夫想把兒子變得跟他一樣無知。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事弗利德里希富有智慧，為人熱情而又聰明能干，投身于紡織貿(mào)易頗有成就。他發(fā)現(xiàn)姐姐的兒子聰明伶俐，因此他就把一部分精力花在這位小天才身上，用生動活潑的方式開發(fā)高斯的智力。數(shù)學(xué)家的故事高斯7歲那年開始上學(xué)。10歲的時候，他進(jìn)入了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的班級，這是一個首次創(chuàng)辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術(shù)這么一門課程。數(shù)學(xué)教師是布特納，他對高斯的成長也起了一定作用。一天，老師布置了一道題，1+2+3+…，即從1一直加到100等于多少。高斯很快就算出了答案，起初高斯的老師布特納并不相信高斯算出了正確答案：“你一定是算錯了，回去再算算。高斯說出答案就是5050。高斯是這樣算的：1+100=101，2+99=101…1加到100有50組這樣的數(shù)，所以50×101=5050。數(shù)學(xué)家的故事布特納對他刮目相看。他特意從漢堡買了最好的算術(shù)書送給高斯，說：“你已經(jīng)超過了我，我沒有什么東西可以教你了?！?788年，11歲的高斯進(jìn)入了文科學(xué)校，他在新的學(xué)校里，所有的功課都極好，特別是古典文學(xué)、數(shù)學(xué)尤為突出。接著，高斯與布特納的助手巴特爾斯建立了真誠的友誼，直到巴特爾斯逝世。他們一起學(xué)習(xí)，互相幫助，高斯由此開始了真正的數(shù)學(xué)研究。數(shù)學(xué)家的故事他的教師們和慈母把他推薦給伯倫瑞克公爵，希望公爵能資助這位聰明的孩子上學(xué)。布倫茲維克公爵卡爾·威廉·斐迪南召見了14歲的高斯。這位樸實、聰明但家境貧寒的孩子贏得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意做高斯的資助人，讓他繼續(xù)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事1792年高斯進(jìn)入布倫茲維克的卡羅琳學(xué)院繼續(xù)學(xué)習(xí)。1795年，公爵又為他支付各種費(fèi)用，送他入德國著名的哥廷根大學(xué)。這樣就使得高斯得以按照自己的理想，勤奮地學(xué)習(xí)和開始進(jìn)行創(chuàng)造性的研究。數(shù)學(xué)家的故事1796年高斯19歲，他發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，解決了自歐幾里得以來懸而未決的一個難題。同年，他發(fā)表并證明了二次互反律。這是他的得意杰作，一生曾用八種方法證明，稱之為“黃金律”。雖然他的博士論文順利通過了，被授予博士學(xué)位，同時獲得了講師職位。公爵為高斯付諸了長篇博士論文的印刷費(fèi)用，送給他一幢公寓，又為他印刷了《算術(shù)研究》，使該書得以在1801年問世；還負(fù)擔(dān)了高斯的所有生活費(fèi)用。1799年，高斯完成了博士論文，獲黑爾姆施泰特大學(xué)的博士學(xué)位，回到家鄉(xiāng)布倫茲維克。但他沒有能成功地吸引學(xué)生，因此只能回老家，這時又是公爵伸手救援他。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事所有這一切，令高斯十分感動。他在博士論文和《算術(shù)研究》中，寫下了情真意切的獻(xiàn)詞：“獻(xiàn)給大公”，“你的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來，使我能從事這種獨(dú)特的研究”。布倫茲維克公爵在高斯的成才過程中起了舉足輕重的作用。不僅如此，這種作用實際上反映了歐洲近代科學(xué)發(fā)展的一種模式，表明在科學(xué)研究社會化以前，私人的資助是科學(xué)發(fā)展的重要推動因素之一。數(shù)學(xué)家的故事高斯正處于私人資助科學(xué)研究與科學(xué)研究社會化的轉(zhuǎn)變時期。1806年，卡爾·威廉·斐迪南公爵在抵抗拿破侖統(tǒng)帥的法軍時不幸在耶拿戰(zhàn)役陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕，長時間對法國人有一種深深的敵意。大公的去世給高斯帶來了經(jīng)濟(jì)上拮據(jù)，德國處于法軍奴役下的不幸，以及第一個妻子的逝世，這一切使得高斯有些心灰意冷。但他是位剛強(qiáng)的漢子，從不向他人透露自己的窘?jīng)r，也不讓朋友安慰自己的不幸。人們只是在19世紀(jì)整理他的未公布于眾的數(shù)學(xué)手稿時才得知他那時的心態(tài)。在一篇討論橢圓函數(shù)的手稿中，突然插入了一段細(xì)微的鉛筆字：“對我來說，死去也比這樣的生活更好受些?！睌?shù)學(xué)家的故事慷慨、仁慈的資助人去世了，因此高斯必須找一份合適的工作，以維持一家人的生計。彼得堡科學(xué)院不斷暗示他，自從1783年萊昂哈德·歐拉去世后，歐拉在彼得堡科學(xué)院的位置一直在等待著像高斯這樣的天才。由于高斯在天文學(xué)、數(shù)學(xué)方面的杰出工作，他的名聲從1802年起就已開始傳遍歐洲。數(shù)學(xué)家的故事公爵在世時堅決勸阻高斯去俄國，他甚至愿意給高斯增加薪金，為他建立天文臺。為了不使德國失去最偉大的天才，德國著名學(xué)者洪堡（B.A.VonHumboldt）聯(lián)合其他學(xué)者和政界人物，為高斯?fàn)幦〉搅讼碛刑貦?quán)的哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)和天文學(xué)教授，以及哥廷根天文臺臺長的職位。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事從這時起，除了一次到柏林去參加科學(xué)會議以外，他一直住在哥廷根。洪堡等人的努力，不僅使得高斯一家人有了舒適的生活環(huán)境，高斯本人可以充分發(fā)揮其天才，而且為哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的創(chuàng)立、德國成為世界科學(xué)中心和數(shù)學(xué)中心創(chuàng)造了條件。同時，這也標(biāo)志著科學(xué)研究社會化的一個良好開端。數(shù)學(xué)家的故事歐幾里得已經(jīng)指出，正三邊形、正四邊形、正五邊形、正十五邊形和邊數(shù)是上述邊數(shù)兩倍的正多邊形的幾何作圖是能夠用圓規(guī)和直尺實現(xiàn)的，但從那時起關(guān)于這個問題的研究沒有多大進(jìn)展。高斯在數(shù)論的基礎(chǔ)上提出了判斷一給定邊數(shù)的正多邊形是否可以幾何作圖的準(zhǔn)則。例如，用圓規(guī)和直尺可以作圓內(nèi)接正十七邊形。這樣的發(fā)現(xiàn)還是歐幾里得以后的第一個。高斯還將復(fù)數(shù)引進(jìn)了數(shù)論，開創(chuàng)了復(fù)整數(shù)算術(shù)理論，復(fù)整數(shù)在高斯以前只是直觀地被引進(jìn)。高斯是最早懷疑歐幾里得幾何學(xué)是自然界和思想中所固有的那些人之一。這些關(guān)于數(shù)論的工作對代數(shù)的現(xiàn)代算術(shù)理論（即代數(shù)方程的解法）做出了貢獻(xiàn)。1831年（發(fā)表于1832年）他給出了一個如何借助于x，y平面上的表示來發(fā)展精確的復(fù)數(shù)理論的詳盡說明。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事他模型中的一些基本思想被稱做公理，它們是透過純粹邏輯構(gòu)造整個系統(tǒng)的出發(fā)點(diǎn)。在這些公理中，平行線公理一開始就顯得很突出。按照這一公理，通過不在給定直線上的任何點(diǎn)只能作一條與該直線平行的線。數(shù)學(xué)家的故事不久就有人推測︰這一公理可從其他一些公理推導(dǎo)出來，因而可從公理系統(tǒng)中刪去。但是關(guān)于它的所有證明都有錯誤。高斯是最早認(rèn)識到可能存在一種不適用平行線公理的幾何學(xué)的人之一。他逐漸得出革命性的結(jié)論︰確實存在這樣的幾何學(xué)，其內(nèi)部相容并且沒有矛盾。但因為與同代人的觀點(diǎn)相背，他不敢發(fā)表。當(dāng)1830年前后匈牙利的波爾約和俄國的羅巴切夫斯基獨(dú)立地發(fā)表非歐幾何學(xué)時，高斯宣稱他大約在30年前就得到同樣的結(jié)論。高斯也沒有發(fā)表特殊復(fù)函數(shù)方面的研究成果，可能是因為沒有能從更一般的原理導(dǎo)出它們。數(shù)學(xué)家的故事1830年前后，極值（極大和極?。┰碓诟咚沟奈锢韱栴}和數(shù)學(xué)研究中開始占有重要地位，例如流體保持靜止的條件等問題。這一工作對于能量守恒原理的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。從1830年起高斯就與物理學(xué)家威廉·愛德華·韋伯密切合作。在探討毛細(xì)作用時，他提出了一個數(shù)學(xué)公式能將流體系統(tǒng)中一切粒子的相互作用、引力以及流體粒子和與它接觸的固體或流體粒子之間的相互作用都考慮在內(nèi)。數(shù)學(xué)家的故事由于對地磁學(xué)的共同興趣，他們一起建立了一個世界性的系統(tǒng)觀測網(wǎng)。他們在電磁學(xué)方面最重要的成果是電報的發(fā)展。因為他們的資金有限，所以試驗都是小規(guī)模的。高斯的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事他還把數(shù)學(xué)應(yīng)用于天文學(xué)、大地測量學(xué)和磁學(xué)的研究，發(fā)明了最小二乘法原理。高斯一生共發(fā)表155篇論文，他對待學(xué)問十分嚴(yán)謹(jǐn)，只是把他自己認(rèn)為是十分成熟的作品發(fā)表出來。高斯首先迷戀上的也是自然數(shù)。高斯在1808年談道：“任何一個花過一點(diǎn)功夫研習(xí)數(shù)論的人，必然會感受到一種特別的激情與狂熱?！睌?shù)學(xué)家的故事高斯把前人證明的缺失一一指出來，然后提出自己的見解，他一生中一共給出了四個不同的