《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊(cè) 第2版》課件 11-3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

第十一章無窮級(jí)數(shù)第三節(jié)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、絕對(duì)收斂與條件收斂三、小結(jié)一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法其形式為定義1

如果級(jí)數(shù)的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的，那么稱該級(jí)數(shù)為

交錯(cuò)級(jí)數(shù).其中或如：那么交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且其和，其余項(xiàng)的絕對(duì)值．如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：（2）.（1）；定理1（萊布尼茨定理）證：所以數(shù)列是單調(diào)增加的又所以數(shù)列是有界的如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：（2）.（1）；定理1（萊布尼茨定理）證：所以級(jí)數(shù)收斂于和，且余項(xiàng)滿足收斂的兩個(gè)條件,也為交錯(cuò)級(jí)數(shù)那么交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且其和，其余項(xiàng)的絕對(duì)值．解：因?yàn)槔?判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性．且由萊布尼茨定理可知是收斂的，且其和，如果取前n項(xiàng)的和作為s的近似值，所產(chǎn)生的誤差．解：該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由于一般項(xiàng)極限例2判定級(jí)數(shù)的斂散性．不存在因此，可知發(fā)散．例3判定級(jí)數(shù)的斂散性．分析：作輔助函數(shù)，顯然當(dāng)時(shí)，在為單調(diào)減函數(shù)求解：于是，有下式成立：（1）故在為單調(diào)減函數(shù)（2）由萊布尼茨定理可知收斂，且其和例3判定級(jí)數(shù)的斂散性．則注意：1、萊布尼茨判別法是判定級(jí)數(shù)收斂的充分而非必要條件；2、判定的方法（3）相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性.（2）思考：萊布尼茨判別法的條件其中之一不成立，結(jié)果如何？（1）二、絕對(duì)收斂與條件收斂定義2

正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)取絕對(duì)值問題:

如何研究任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問題？定義3絕對(duì)收斂：如果級(jí)數(shù)各項(xiàng)的絕對(duì)值所構(gòu)成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；條件收斂：如果級(jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)條件收斂．通過正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.定理2

如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，那么級(jí)數(shù)必定收斂．證：收斂顯然且又令收斂收斂解：（1）由，而收斂，例4判定級(jí)數(shù)的收斂性，若收斂，指出是絕對(duì)收斂還是條件收斂．（1）（3）（2）故級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂．解：例4判定級(jí)數(shù)的收斂性，若收斂，指出是絕對(duì)收斂還是條件收斂．（1）（3）（2）（2）由于而級(jí)數(shù)發(fā)散，故發(fā)散.又因?yàn)橛扇R布尼茨定理知級(jí)數(shù)（2）收斂.綜上，級(jí)數(shù)(2)條件收斂解：例4判定級(jí)數(shù)的收斂性，若收斂，指出是絕對(duì)收斂還是條件收斂．（1）（3）（2）（3）由于而發(fā)散,因此發(fā)散.解：例4判定級(jí)數(shù)的收斂性，若收斂，指出是絕對(duì)收斂還是條件收斂．（1）（3）（2）所以有令則故在區(qū)間上為單增的函數(shù),從而函數(shù)在區(qū)間上為單減的正值函數(shù).由萊布尼茨定理可知級(jí)數(shù)是收斂的且是條件收斂．（3）證：由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值審斂法可知：定理3

如果任意項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足條件（其中

可以為），則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散．（1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，從而級(jí)數(shù)收斂且為絕對(duì)收斂；（2）當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，從而，故有級(jí)數(shù)是發(fā)散的．解：（1）由于例5判定下列級(jí)數(shù)的斂散性．（1）（2）因此級(jí)數(shù)發(fā)散．所以此級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂．例5判定下列級(jí)數(shù)的斂散性．（1）（2）解：