《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊(cè) 第2版》課件 13-1 函數(shù)的差分與差分方程的基本概念

第十三章差分方程第一節(jié)函數(shù)的差分與差分方程的基本概念一、差分的概念二、差分方程的概念三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)四、小結(jié)引例某商家經(jīng)營(yíng)一種產(chǎn)品，記第t月初的存貨量是則ΔR(t)記錄的就是商家相鄰兩月庫(kù)存量的改變量.如果記R(t)，第t月的進(jìn)貨量和出售量分別是P(t)和Q(t),則第

一、函數(shù)的差分第t+1

月初的存貨量是R(t+1)應(yīng)是即1、差分的定義函數(shù)的差分.定義1設(shè)有函數(shù)y=f(x)，其中自變量的取值為非負(fù)整數(shù)，函數(shù)y的取值為一個(gè)序列或記為當(dāng)自變量由x改變到x+1時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值的改變量稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x的差分（也稱為一階差分），記為Δyx，即解：例1

解：即：常數(shù)的一階差分為零.例2

一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax（其中a>0且a≠1），解：例3Δyx=ax(a-1).例4解：解：例5解：例6

2、一階差分的運(yùn)算性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則類似.一階差分的幾何意義：由差分的定義，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x的（一階）差分可化為表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x,yx)與點(diǎn)(x+1,yx+1)的直線的斜率.定義2對(duì)于函數(shù)y=f(x)，一階差分函數(shù)Δyx的差分稱為函數(shù)y=f(x)的二階差分，記為Δ2yx，即類似地，可以定義三階差分、四階差分、…二階或二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分．解：例7說(shuō)明：對(duì)于n次多項(xiàng)式，它的n階差分是常數(shù)，n階以上的差分均為零．解：例8可以看到，一階差分Δyx可以用yx的兩個(gè)相鄰的值表示；二階差分Δ2yx可以用yx的三個(gè)相鄰的值表示；三階差分Δ3yx可以用yx的四個(gè)相鄰的值表示．即：n階差分Δnyx是函數(shù)yx的n+1個(gè)相鄰值的線性組合.定理1

設(shè)有函數(shù)yx=f(x)，則定義3含有未知函數(shù)及其差分的等式稱為差分方程.它的一般形式是由定理1，yx的高階差分可以用yx的相鄰值表示，則有二、差分方程的一般概念定義4含有未知函數(shù)的相鄰值的等式稱為差分方程.它的一般形式是或例如:

差分方程可化為又可化為定義5差分方程中含有的未知函數(shù)yx的最大下標(biāo)與最小下標(biāo)的差稱為該差分方程的階.例如，二階三階一階三階定義6對(duì)于n階差分方程若有函數(shù)ux，使得則稱此函數(shù)ux為差分方程的解.若ux中含有n個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，則稱此函數(shù)ux為差分方程的通解；若ux中不含有任意常數(shù)，則稱此函數(shù)ux為差分方程的特解.一般地，為得到差分方程的特解（確定通解中的任意常數(shù)），需要知道一些附加的條件，即定解條件.對(duì)于n階差分方程，常見(jiàn)的定解條件是以下的初始條件：初值問(wèn)題：求滿足給定初始條件的差分方程解的問(wèn)題.其中，是已知的常數(shù).n階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)其中是常數(shù)，當(dāng)不恒等于零時(shí)，稱差分方程是非齊次的；當(dāng)恒等于零時(shí)，稱差分方程是齊次的，即為也是差分方程(2)的解.定理2設(shè)

是齊次線性差分方程(2)的解，則也是差分方程(2)的解，定理3

設(shè)

是齊次線性差分方程(2)的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則與齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)類似.是非齊次線性差分方程(1)的通解.定理4

設(shè)

是非齊次線性差分方程(1)的一個(gè)特解，Yx是方程(1)對(duì)應(yīng)的齊次線性差分方程(2)的通解，則說(shuō)明：“非齊次的通解”=“齊次的通解”+“非齊次的特解”.與非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)類似.定理5設(shè)

分別是以下非齊次線性差分方程的特