《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊(cè) 第2版》習(xí)題及答案 第8、9章 向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微分學(xué)

習(xí)題8-1（A）1．求空間兩點(diǎn)與之間的距離．解：．2．寫出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)：（1）分別關(guān)于、、平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分別關(guān)于軸、軸、軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；（3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)．答案：（1）；；．（2）；；．（3）．3．判斷由，，三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的形狀．解：因?yàn)椋?，，進(jìn)一步，計(jì)算可得，所以為直角三角形．4．求點(diǎn)到各個(gè)坐標(biāo)軸之間的距離．答案：點(diǎn)到軸的距離，點(diǎn)到軸的距離，點(diǎn)到軸的距離．5．在軸上求一點(diǎn)，使它到點(diǎn)和的距離相等．解：由題意設(shè)點(diǎn)，且滿足，即，解得，所以．6．一動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離為，求動(dòng)點(diǎn)所滿足的方程．解：由題意，所以，即．一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)與距離相等，求動(dòng)點(diǎn)所滿足的方程．解：由題意，即，整理得．

習(xí)題8-2（A）1．設(shè)向量，，求．解：．2．已知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是線段外一點(diǎn)，若，，求．解：由題意知，，因此，．3．設(shè)點(diǎn)分別是四邊形兩對(duì)角線與之中點(diǎn)，若，，求．解：設(shè)中點(diǎn)為，中位線，中位線，所以在中，．4．已知向量，求以及與平行的單位向量．解：，與平行的單位向量．5．若，，且向量與的夾角為，求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．6．已知向量、，求、及．解：；；，，由可知，所以．7．設(shè)，，求向量的方向角和方向余弦．解：，，方向余弦，，方向角，，．8．一向量的終點(diǎn)為且它在軸、軸、軸上的投影依次為，和，求這個(gè)向量的起點(diǎn)的坐標(biāo)．解：由題意可知，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，解得，，，所有點(diǎn)坐標(biāo)為．9．若向量與向量垂直，求值．解：，解得或．10．求與向量、都垂直的單位向量．解：由題意，且，故所求單位向量為．11.已知點(diǎn)，，，求．解：因?yàn)?，，所以，因此?2．若與垂直且都是單位向量，求以，為鄰邊的平行四邊形面積．答案：．解析：由題意，由向量積的幾何意義可知該平行四邊形的面積為：．習(xí)題8-2（B）1．證明向量與向量垂直．證：，因?yàn)椋?，所以?．用向量證明三角不等式．證：設(shè)，，，則，兩邊平方得，即．又因，，，又，所以即，故．3．已知向量滿足，，，求．解：，，，所以．4．已知向量滿足，且，，求．解：，因?yàn)?，，，則，又因，，所以．5．已知向量、、兩兩垂直，且、、，設(shè)，求以及與的夾角．解：，所以.又因，所以，故與的夾角．6．兩個(gè)非零向量和滿足如下條件：向量與垂直，并且向量與垂直，求向量，的夾角．解：設(shè)向量與的夾角為，由，有；由，有，上述兩個(gè)方程聯(lián)立，解得，得，所以向量與的夾角為．

習(xí)題8-3（A）分別求滿足下列各條件的平面方程：（1）過(guò)點(diǎn)且垂直于軸；（2）過(guò)點(diǎn)且平行于平面；（3）過(guò)點(diǎn)且與線段垂直，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)；（4）過(guò)三點(diǎn)，，；（5）線段的垂直平分面，其中，；（6）平行于平面且過(guò)點(diǎn)；（7）過(guò)軸和點(diǎn)；（8）過(guò)軸且垂直于平面；（9）過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)且垂直平面；（10）過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上的截距分別為和．解：（1）由于所求平面垂直于軸，故所求平面平行于平面，所以所求平面的方程為；（2）設(shè)所求平面為，又因?yàn)槠溥^(guò)點(diǎn)，代入得，所以所求平面方程為；（3）向量即為所求平面的法向量，又平面過(guò)點(diǎn)，所以所求平面方程為，即；（4）所求平面的法向量為，代入點(diǎn)，得到所求平面方程為，即；（5）即為所求平面的法向量，且過(guò)線段的中點(diǎn)，所以所求平面方程為，即；（6）由題意所求平面垂直于軸，且過(guò)點(diǎn)，所以所求平面方程為；（7）設(shè)所求平面方程為，代入點(diǎn)得，所以所求平面方程為；（8）所求平面的法向量為，且過(guò)原點(diǎn)，所以所求平面方程為；（9）所求平面的法向量為，所以所求平面方程為；（10）由題意設(shè)所求平面的截距式方程為，其中為平面在軸上的截距，代入點(diǎn)，解得，所以所求平面為．指出下列各平面的特殊位置，并作平面的草圖：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．答案：（1）平面；（2）垂直于軸的平面；（3）平行于軸的平面；（4）平行于軸的平面；（5）在軸、軸和軸上截距全為1的平面；（6）在軸、軸和軸上截距分別為2、和4的平面；求平面與平面的夾角．解：，，，所以兩平面夾角．一平面過(guò)點(diǎn)且在各坐標(biāo)軸上的截距相等，求該平面方程．解：由題意設(shè)所求平面方程為，代入得，所以所求平面為．一平面過(guò)點(diǎn)，且與平面和都垂直，求該平面方程．解：由題意知所求平面的法向，又知其過(guò)點(diǎn)，所以得到所求平面方程為，即．求點(diǎn)到平面的距離．解：由點(diǎn)到平面的距離公式可得．習(xí)題8-3（B）1．一平面過(guò)兩點(diǎn)，,且在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之和為零，求該平面方程．解：設(shè)所求平面方程為，且，將點(diǎn)，代入平面方程中，聯(lián)立方程組解得，或，所以所求平面方程為或．2．一動(dòng)點(diǎn)與平面的距離等于它到軸的距離，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡．解：由題意點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，所以，解得，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡．3．設(shè)平面位于平面與平面之間，且將此兩平面的距離分為︰，求平面的方程．解：平面與之間的距離為．設(shè)所求平面方程為，則與的距離應(yīng)為，與的距離應(yīng)為，而，于是，得，所以所求平面方程為．4．一平面與平面平行，若點(diǎn)到兩平面的距離相等，求該平面的方程．解：依題意設(shè)所求平面方程為，又點(diǎn)到兩平面的距離相等，則，即，得，（舍），所以所求平面方程為．5．求過(guò)軸且與點(diǎn)的距離為的平面方程．解：由過(guò)軸，設(shè)所求平面方程為，由點(diǎn)到的距離為，有，即，得，所求方程為，即．6．求平行于平面且與三坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積為個(gè)單位的平面的方程．解：設(shè)所求平面的方程為，即，由題意，解得，所求平面方程為．

習(xí)題8-4（A）分別求滿足下列各條件的直線方程：過(guò)點(diǎn)且與直線平行；過(guò)原點(diǎn)垂直于平面；過(guò)兩點(diǎn)，；過(guò)點(diǎn)且與兩平面及都平行；過(guò)點(diǎn)且與直線平行．答案：（1）；（2）；（3）（或）；（4）；（5）．分別求滿足下列各條件的平面方程：過(guò)點(diǎn)且垂直于直線過(guò)點(diǎn)及直線；過(guò)軸，且平行于直線：過(guò)兩平行直線與．答案：（1）；（2）；（3）；（4）．用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線解：先在直線上找一點(diǎn)，令，解方程組，得.故點(diǎn)在直線上．再求直線的方向向量，由題意可知，所以對(duì)稱式方程為，從而參數(shù)式方程為求兩直線與的夾角．解：由已知，有直線的方向向量為，直線的方向向量為，由夾角公式可得，所以．求直線與平面的夾角．解：直線的方向向量，平面的法線向量，由直線與平面的夾角公式，有．6．試確定下列各組中的直線與平面的位置關(guān)系：（1）和；（2）和；（3）和；（4）和．答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行；（4）垂直．求直線與平面的交點(diǎn)．解：將直線改寫為參數(shù)方程，將其代入到平面方程之中，有，即，得，再將代到直線的參數(shù)方程之中，得，所以直線與平面的交點(diǎn)為．8．設(shè)直線，，求同時(shí)平行于且與它們等距的平面方程．解：所求平面的法向量，則其方程為，下面求．在上取點(diǎn)，在上取點(diǎn)，利用點(diǎn)到平面距離相等可得：，解得.因此，所求平面為．9．求點(diǎn)在平面點(diǎn)上的投影．解：做過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線方程為，該直線與平面的交點(diǎn)即為所求的投影點(diǎn)．習(xí)題8-4（B）1．求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．解：設(shè)，過(guò)做平面，則的方程為，求得直線與平面的交點(diǎn)為，則點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，因此由中點(diǎn)公式得．2．求原點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn).解：過(guò)原點(diǎn)做該平面的垂線，代入平面方程解得，得直線與平面的交點(diǎn)為．設(shè)所求對(duì)稱點(diǎn)為，則有，所以．3．求點(diǎn)到直線的距離．解：過(guò)點(diǎn)作一個(gè)垂直于直線的平面，方程為，即將直線的參數(shù)方程代入到平面方程中，得所以直線與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)與交點(diǎn)的距離，即所求距離為．4．設(shè)直線在平面上的投影方程為，在平面上的投影方程為，求直線在平面上的投影方程．解：設(shè)過(guò)直線的平面束方程為，即，若該平面與軸平行，則有，所以在平面上的投影方程為．5．若直線與相交，求的值及其交點(diǎn)的坐標(biāo)．解：兩直線相交即共面，有，，，所以．下面求交點(diǎn)：將直線方程改寫為參數(shù)方程，，與相交時(shí)，下列方程組應(yīng)有解：，解得，代入?yún)?shù)方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)為．求過(guò)直線且與球面相切的平面方程．解：所求平面為，即，球心為原點(diǎn)，到平面的距離等于半徑，所以，分子分母平方相等化簡(jiǎn)得，即，解得或，代入方程，得所求平面為或．7．求過(guò)原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)到直線的垂線的平面方程．解：由已知得的方向向量，過(guò)點(diǎn)做直線的垂直平面，其方程為，即.設(shè)交點(diǎn)為直線與此平面的交點(diǎn)，解得.由于所求平面過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)其方程為,將、坐標(biāo)代入平面方程得：解得.故所求平面方程為．

習(xí)題8-5（A）分別寫出滿足下列各條件的曲面方程：（1）以點(diǎn)為球心，為半徑的球面方程；（2）以點(diǎn)為球心，且過(guò)原點(diǎn)的球面方程；（3）與兩定點(diǎn)和等距的動(dòng)點(diǎn)軌跡；（4）與原點(diǎn)及定點(diǎn)的距離之比為1﹕2的動(dòng)點(diǎn)軌跡．答案：（1）；（2）；（3）；（4）．2．求出下列球面方程的球心坐標(biāo)及半徑：（1）；（2）．答案：（1）球心，半徑；（2）球心，半徑．寫出滿足下列條件的旋轉(zhuǎn)曲面方程：（1）面上拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周；（2）面上直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周；（3）面上橢圓分別繞及軸旋轉(zhuǎn)一周；（4）面上雙曲線分別繞及軸旋轉(zhuǎn)一周．答案：（1）；（2）；（3）繞軸：，繞軸：；（4）繞軸：；繞軸：．4．分別在平面直角坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系下，指出下列方程所表示的圖形名稱：（1）；（2）；（3）.答案：（1）在平面直角坐標(biāo)系下表示一條直線，在空間直角坐標(biāo)系下表示一個(gè)平面；（2）在平面直角坐標(biāo)系下表示一條雙曲線，在空間直角坐標(biāo)系下表示一個(gè)雙曲柱面；（3）在平面直角坐標(biāo)系下表示一個(gè)橢圓，在空間直角坐標(biāo)系下表示一個(gè)橢圓柱面；．5．畫出下列各方程所表示的曲面：（1）；（2）（3）；（4）．答案：略．習(xí)題8-5（B）一球面過(guò)原點(diǎn)和、和，求該球面的方程．解：設(shè)球面方程為，由于它過(guò)、和，因此解得因此，該球面的方程為．畫出下列各曲面所圍立體的圖形:（1），，，，（在第一卦限內(nèi)）；（2），，，，（在第一卦限內(nèi)）．答案：略．

習(xí)題8-6（A）說(shuō)出下列曲線的名稱，指出曲線的特點(diǎn)并作出曲線的草圖.（1）（2）（3）（4）答案：（1）直線；（2）圓；（3）雙曲線；（4）拋物線．2．分別在平面直角坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系下，指出下列方程所表示的圖形名稱．（1）（2）答案：（1）在平面直角坐標(biāo)系下表示一個(gè)點(diǎn)，在空間直角坐標(biāo)系下表示一條直線；（2）在平面直角坐標(biāo)系下表示兩個(gè)點(diǎn)，在空間直角坐標(biāo)系下表示兩條直線.求曲線在面上的投影．解：由有.因此，曲線在面上的投影為求曲線在面上的投影．解：由有.因此，曲線在面上的投影為畫出下列空間區(qū)域的草圖．（1）由平面及三個(gè)坐標(biāo)面圍成；（2）由圓錐面及上半球面圍成；（3）由拋物面，平面，及圍成；（4）是由不等式及確定的第一卦限的部分．答案：略．6．作出下列空間區(qū)域在面及面上的投影區(qū)域．（1）介于球面內(nèi)的圓柱體；（2）由圓錐面及拋物柱面圍成．答案：略．習(xí)題8-6（B）分別求母線平行于軸與軸且都通過(guò)曲線的柱面方程．答案：平行于軸：；平行于軸：．求曲線的參數(shù)方程．答案：．

總習(xí)題八一、填空題1．設(shè)向量，，且，，與的夾角，則向量與的數(shù)量積；答案：．解析：．2．同時(shí)垂直于和的單位向量為；答案：．解析：，所以，即為所求單位向量．3．設(shè)單位向量的兩個(gè)方向余弦為，，則向量的坐標(biāo)為；答案：．解析：設(shè)第三個(gè)方向角為，由，得所以．4．過(guò)點(diǎn)且平行于直線和直線的平面方程是；答案：．解析：由題意可求得兩直線的方向向量分別為，，所以所求平面的法向量為，又因?yàn)樗笃矫孢^(guò)點(diǎn)，由點(diǎn)法式得平面方程為，化簡(jiǎn)得．5．過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線方程為；答案：．解析：因?yàn)樗笾本€與所給平面垂直，所以方向向量為由對(duì)稱式得所求直線方程為．6．過(guò)點(diǎn)且通過(guò)直線的平面方程是；答案：．解析：點(diǎn)與題中的直線共面，所以點(diǎn)和直線通過(guò)的點(diǎn)所形成的向量，直線的方向向量為，所求平面的法向量為，所求平面方程為．7．平面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程是，繞軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程是；答案：繞軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程是，繞軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程是．8．曲線在平面上的投影是；答案：．解析：曲線在坐標(biāo)平面上的投影是坐標(biāo)平面上的柱面與坐標(biāo)平面的交線，坐標(biāo)平面上的柱面方程是，坐標(biāo)平面的，故投影方程是．二、選擇題：1．設(shè)向量與滿足，則與一定（）；(A)平行(B)同向(C)反向(D)垂直答案：C．解析：當(dāng)與反向時(shí)，，故選C．2．設(shè)向量，則有（）；.(A)與垂直(B)與垂直(C)與垂直(D)與平行答案：C．解析：兩邊乘以，則，故與垂直.3.已知向量的方向平行于向量和之間的角平分線，且，則（）；(A) (B)(C)(D)答案：A．解析：由題意可知，則，，于是可設(shè)，又因，故，解得，所以，選A．4．設(shè)空間直線的方程為，則該直線必定（）；(A)過(guò)原點(diǎn)且垂直于軸 (B)不過(guò)原點(diǎn)但垂直于軸(C)過(guò)原點(diǎn)且垂直于軸 (D)不過(guò)原點(diǎn)但垂直于軸答案：A．解析：直線通過(guò)原點(diǎn)，且直線的方向向量為，軸的單位向量為，所以，，選A．5．已知平面通過(guò)點(diǎn)，且垂直于直線，則平面的方程是（）；(A)(B)(C)(D)答案：B．解析：由題意所求平面的法向量就是所給直線的方向向量，即，所以平面的方程為，選B．6．若直線與直線垂直，則（）；(A)(B)(C)(D)答案：.解析：直線的方向向量，直線的方向向量，由題意知，故，所以.7．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）；(A)表示橢圓拋物面(B)表示雙葉雙曲面(C)表示圓錐面(D)表示拋物柱面 答案：B.解析：雙葉雙曲面的方程為，故選擇B.8．曲線在坐標(biāo)平面上的投影是（）；(A)(B)(C)(D)答案：C．解析：聯(lián)立兩個(gè)曲面和，消去得到在坐標(biāo)平面上的柱面方程為，該柱面與坐標(biāo)平面的交線即為所求投影，故選C．三、解答題.1．一單位向量與軸軸的夾角相等，與軸夾角是前者的倍，求向量.解：設(shè)，由，有，即，所以或（舍去），于是或.2．設(shè)非零向量滿足，計(jì)算極限．解：原式．3．求平面與的等分角平面方程．解：設(shè)所求平面為，即，依題意有，解得，代入所設(shè)方程有和．4．過(guò)點(diǎn)，求垂直于直線且與軸相交的直線方程.解：設(shè)所求直線方程為，由與已知直線垂直，有=1\*GB3①；又設(shè)與軸交點(diǎn)為，有=2\*GB3②，由=1\*GB3①、=2\*GB3②兩式得，所求直線方程是.5．求與已知直線及相交，且平行于直線的直線方程．解：由題意可知所求直線的方向向量，以參數(shù)形式表示直線和，則與和的交點(diǎn)分別為和，顯然只需確定和之中的一點(diǎn)即可，因，故，即，解得，從而知，所以所求直線方程經(jīng)整理得．6．指出下列方程所表示的曲面的名稱，若是旋轉(zhuǎn)面，指出它是什么曲線繞什么軸旋轉(zhuǎn)而成的．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．答案：（1）旋轉(zhuǎn)橢球面．可看成橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成，或者橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成．（2）單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面．可看成雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成，或者雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成．（3）雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面．可看成雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成，或者雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成．（4）旋轉(zhuǎn)拋物面．可看成拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)而成，或者拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)而成．（5）雙曲拋物面．（6）旋轉(zhuǎn)錐面．可看成射線繞軸旋轉(zhuǎn)而成，或者射線繞軸旋轉(zhuǎn)而成．7．指出曲面在下列各平面上的截痕是什么曲線，并寫出其方程：（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）雙曲線，方程為（2）橢圓，方程為（3）兩條直線，方程為和（4）雙曲線，方程為習(xí)題9-1（A）1．求下列各函數(shù)的表達(dá)式：（1）設(shè)函數(shù)，求，．解：，．（2）設(shè)函數(shù)，已知時(shí)，，求及的表達(dá)式．解：由時(shí)，，有，即，所以；而．（3）設(shè)函數(shù)，求．解：．（4）設(shè)函數(shù)，求的表達(dá)式．解：（方法1）因?yàn)?，所以．（方?）令，則，于是，所以．2．求下列各函數(shù)的定義域，并作定義域草圖：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由且，得定義域．（2）由及，有，得定義域．（3）由，有，得定義域．（4）由，有，或，得定義域．3．求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）．（2）．（3）因?yàn)橛薪?，而，所以．?）．（5）（6）．4．證明下列極限不存在：（1）；（2）．證明：（1）沿取極限，則，當(dāng)取不同值時(shí)，該極限值不同，所以極限不存在．（2）沿取極限，；沿取極限，．由于，所以極限不存在．習(xí)題9-1（B）1．某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)銷售，銷售價(jià)格分別為（單位：元），兩個(gè)市場(chǎng)的銷售量各自是銷售價(jià)格的均勻遞減函數(shù)，當(dāng)售價(jià)為10元時(shí)，銷售量分別為2400、850件，當(dāng)售價(jià)為12元時(shí)，銷售量分別為2000、700件．如果生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本函數(shù)是，試用表示該廠生產(chǎn)此產(chǎn)品的利潤(rùn)．解：根據(jù)已知，設(shè)，由時(shí)，；時(shí)，，有得，于是．由時(shí)，；時(shí)，，有得，于是．兩個(gè)市場(chǎng)銷售該產(chǎn)品的收入為，該產(chǎn)品的成本．根據(jù)利潤(rùn)等于收入減去成本，得．2．求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）．（2）法1：令，則當(dāng)時(shí)，，所以．法2：因?yàn)闀r(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，所以．（3）因?yàn)?，而，，根?jù)“夾逼準(zhǔn)則”得．（4）令，則當(dāng)時(shí)，（其中在區(qū)間內(nèi)任意變化），所以．3．證明極限不存在．證明：沿取極限，；沿取極限，．因此，極限不存在．4．討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性．解：沿取極限，由，有，所以函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)．

習(xí)題9-2（A）1.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．解：（1），．（2），．（3），．（4），．（5），．（6），．（7），由變量的對(duì)稱性，得．（8），．（9），，．（10），，．2.求曲線在點(diǎn)處的切線與軸正向的夾角．解：，，用表示曲線在點(diǎn)處的切線與軸正向的夾角，則，所以．3.設(shè)，求及．解：因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕?.求下列函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)，求.解：（2）設(shè)，求，和；解：，，，，，．5.驗(yàn)證：（1）設(shè)函數(shù)，證明．證：因?yàn)?，，，，，，所以，．?）設(shè)，求證.證明：原結(jié)論成立．習(xí)題9-2（B）1．設(shè)一種商品的需求量是其價(jià)格及某相關(guān)商品價(jià)格的函數(shù)，如果該函數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)，稱為需求對(duì)價(jià)格的彈性、為需求對(duì)價(jià)格的交叉彈性．如果某種數(shù)碼相機(jī)的銷售量與其價(jià)格及彩色噴墨打印機(jī)的價(jià)格有關(guān)，為，當(dāng)，時(shí)，求需求對(duì)價(jià)格的彈性、需求對(duì)價(jià)格的交叉彈性．解：由，，有，，當(dāng)，時(shí)，需求對(duì)價(jià)格的彈性：，需求對(duì)價(jià)格的交叉彈性：．2.設(shè)，求，.解：.3.設(shè)函數(shù)證明在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不存在．證：因?yàn)闃O限不存在，極限不存在，所以在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不存在．4.設(shè)，求，和．解：，，，，．5.設(shè)函數(shù)，證明．證明：將函數(shù)改寫為，則，，由變量的對(duì)稱性，有，，所以．習(xí)題9-3（A）1．求下列函數(shù)的全微分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）因?yàn)椋?，所以．?）因?yàn)椋?，所以．?）因?yàn)椋?，所以．?）因?yàn)?，，所以?）因?yàn)?，，，所以．?）因?yàn)?，，，所以?.求函數(shù)在點(diǎn)處的全微分．解:在點(diǎn)處，分別有因此，我們有3.求函數(shù)當(dāng)，時(shí)的全微分．解因?yàn)椋?，，，所以?.求函數(shù)在點(diǎn)處當(dāng)時(shí)的全微分．解由于所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)（2，1）處的全微分為習(xí)題9-3（B）1.計(jì)算的近似值．解：設(shè)函數(shù)．顯然，要計(jì)算的值是函數(shù)在時(shí)的函數(shù)值取因?yàn)樗杂晒降茫?．計(jì)算的近似值．解：考慮函數(shù)，取，而，，、、，則．3.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)處討論偏導(dǎo)數(shù)的存在性、偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性以及函數(shù)的可微性．解：因?yàn)?，，所以在點(diǎn)處函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且．再討論可微性，函數(shù)在處的全增量用表示，則，記，則不存在（沿取極限，其值為；沿取極限，其值為），所以函數(shù)在點(diǎn)處不可微．進(jìn)而得偏導(dǎo)（函）數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)（若偏導(dǎo)（函）數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，根據(jù)可微的充分條件，則函數(shù)在點(diǎn)可微，與函數(shù)不可微矛盾）．

習(xí)題9-4（A）1.求下列函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)函數(shù)，求；（2）設(shè)函數(shù)，而，，求全導(dǎo)數(shù)；（3）設(shè)函數(shù)而是的可微函數(shù)，求．解：（1）=.（2）（3）2.求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)函數(shù)，而，，求和；（2）設(shè)函數(shù)，求和．解：（1），，（2）這是冪指函數(shù)求導(dǎo)，為方便求導(dǎo)，將它寫作復(fù)合函數(shù)，為此令，則，．3.求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（其中函數(shù)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)）：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1），．（2），．（3），．（4），，．4.設(shè)函數(shù)，其中是可微函數(shù)，證明．證：因?yàn)?，，所以?.設(shè)函數(shù)，其中是可微函數(shù)，證明．證：因?yàn)?，，所以?.利用全微分形式的不變性求函數(shù)的全微分．解令，由一階全微分形式的不變性，我們有，注意到又都是的函數(shù)，并且將它們帶入上式，得習(xí)題9-4（B）1.求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)（其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：（1）；（2）；解：（1），，，，．（2），，，，．2.設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求．解：，．3.設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且.求，并證明解由鏈?zhǔn)椒▌t，得于是有

習(xí)題9-5（A）1.若函數(shù)分別由下列方程確定，分別求：（1）；（2）；（3）；解（1）法1：設(shè)，則，所以法2：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，解得．（2）方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，解得．（3）令則2.設(shè)由方程所確定的隱函數(shù)，求解令，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，.3.設(shè)函數(shù)，而函數(shù)由方程確定，求全導(dǎo)數(shù)．解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，得，．4.若函數(shù)分別由下列方程確定，求及．（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）法1：設(shè)，則，所以．法2：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，得，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，得．（以下都按方法2作）（2）方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，得，方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，得（或由變量的對(duì)稱性，得）．（3）方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，即，而，所以，得，由變量對(duì)稱性有．（4）方程改寫為，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，得，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，得．5.設(shè)，求.解：令則6.若函數(shù)，，都是由方程確定的隱函數(shù)，其中有一階連續(xù)非零的偏導(dǎo)數(shù)，證明．證：因?yàn)?，所以?.若是的函數(shù)，并由確定，求.解：令因此，，習(xí)題9-5（B）1.設(shè)函數(shù)，而函數(shù)、分別由方程及確定，求全導(dǎo)數(shù)．解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，得，方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，得，所以．2．設(shè)函數(shù)，而由方程確定，求．解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，用、代入，有，得．于是，所以．3．設(shè)，求，，.解：令則把看成的函數(shù)對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得整理得把看成的函數(shù)對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得整理得把看成的函數(shù)對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得整理得4.若函數(shù)由方程確定，求．解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，得，由變量的對(duì)稱性，得．法１：等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，即所以．法２：．5.設(shè)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，方程（其中是非零常數(shù)）確定是的隱函數(shù)，且，求.解：令因此.6.求由下列方程組所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：（1）求和．（2）求及．解：（1）方程組兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有消去，有，得，而．（2）方程組兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有（1）（2），有，得，再代入到（2）之中得．方程組兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有與前面解法類似，得，．

習(xí)題9-6（A）1.求下列函數(shù)的極值：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）定義域?yàn)槿矫?，并且函?shù)處處可微．由得唯一駐點(diǎn)．，，根據(jù)二元函數(shù)極值的充分條件，點(diǎn)是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為，該函數(shù)無(wú)極小值．（2）定義域?yàn)槿矫妫⑶液瘮?shù)處處可微．由即得函數(shù)的所有駐點(diǎn)是．，對(duì)上述諸點(diǎn)列表判定：所以函數(shù)的極大值為，極小值為．（3）定義域?yàn)槿矫?，并且函?shù)處處可微．由得唯一駐點(diǎn)．，、、，，根據(jù)二元函數(shù)極值的充分條件，點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值，該函數(shù)無(wú)極大值．（4）定義域?yàn)槿矫?，函?shù)處處可微．由得唯一駐點(diǎn)．由于在點(diǎn)處函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)不存在，不能用定理8.2判定，為此根據(jù)極值的定義，當(dāng)（即非點(diǎn)）時(shí)，所以點(diǎn)是該函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為，該函數(shù)無(wú)極小值．2.求函數(shù)的極值．解：由，解出在點(diǎn)處，所以函數(shù)在處由極小值.3.求曲面上到原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)．解：設(shè)，則，解出因?yàn)槭窃跁r(shí)的唯一駐點(diǎn)，由題意可知在的曲面上存在與原點(diǎn)距離最小的點(diǎn)，所以即為所求的點(diǎn)．4.將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)之和使得為最大.解令,則解得唯一駐點(diǎn)，故最大值為5.用面積為12（m2）鐵板做一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋水箱，問(wèn)如何設(shè)計(jì)容積最大？解設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為，體積為，則目標(biāo)函數(shù)為（），附加條件是．設(shè)（），由得唯一可能極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際意義，當(dāng)長(zhǎng)方體表面積一定是其體積有最大值，所以當(dāng)長(zhǎng)、寬都為2（m），高為1（m）時(shí)無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱容積最大(此時(shí)體積為4（m3）)．6.在斜邊長(zhǎng)為的直角三角形中，求周長(zhǎng)最大的三角形及其周長(zhǎng)．解：設(shè)兩直角邊長(zhǎng)分別為，三角形周長(zhǎng)為，則目標(biāo)函數(shù)是（），附加條件為．設(shè)，由在時(shí)得唯一可能極值點(diǎn)，由實(shí)際意義，斜邊長(zhǎng)為一定的直角三角形中，周長(zhǎng)有最大值，所以當(dāng)兩直角邊長(zhǎng)都為（即等腰直角三角形）時(shí)，其周長(zhǎng)最大，且最大周長(zhǎng)為．7.有一寬為24的長(zhǎng)方形鐵板，把它折起來(lái)做成一斷面為等腰梯形的水槽．問(wèn)怎么折才能使斷面的面積最大．解設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為，傾角為（圖8-17），那么梯形的下底長(zhǎng)為，上底長(zhǎng)為，高為，所以斷面的面積為，即.為求其最大值，我們先來(lái)解方程組由于，將上述方程組兩邊約分，得解這個(gè)方程組，得根據(jù)題意，斷面面積的最大值一定存在，又由的定義，因此最大值點(diǎn)只可能在區(qū)域的內(nèi)部或開(kāi)邊界上取到．但當(dāng)時(shí)，的最大值為72．因此，該函數(shù)的最大值只能在區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)處取得，而它只有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，因此可以斷定是其最大值．即將鐵板折起8，并使其與水平線成角時(shí)所得斷面面積最大．習(xí)題9-6（B）1.求由方程確定的函數(shù)的極值..解將方程兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)由函數(shù)取極值的必要條件知,駐點(diǎn)為,將上方程組再分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),故,函數(shù)在有極值.將代入原方程,有（舍去）.此時(shí)，,所以為極大值.2.求二元函數(shù)在直線，軸和軸所圍成的閉區(qū)域上的最大值與最小值.解令得區(qū)域內(nèi)唯一駐點(diǎn),且,再求在邊界上的最值在邊界和上,在邊界上，即，于是,由,得比較后可知為最大值,為最小值.3.求橢圓上豎坐標(biāo)的最小值與最大值．解：目標(biāo)函數(shù)為，附加條件是，及．設(shè)，由得可能極值點(diǎn).由于橢圓是有界閉曲線，它的豎坐標(biāo)一定有最小值與最大值，所以當(dāng)時(shí)最小，且最小值為，當(dāng)時(shí)最大，且最大值為．4.平面截圓柱面得一橢圓周，求此橢圓周上到原點(diǎn)的最近點(diǎn)及最遠(yuǎn)點(diǎn)．解這是求空間中既在平面也在圓柱面上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離或函數(shù)的最大值與最小值．因此函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，條件及都是變量滿足的約束條件．為此構(gòu)造拉格朗日函數(shù).解方程組解得可能極值點(diǎn)為于是，經(jīng)過(guò)比較得到，到原點(diǎn)的距離最近點(diǎn)為到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)點(diǎn)是習(xí)題9-71.為了弄清楚某企業(yè)利潤(rùn)和產(chǎn)值的函數(shù)關(guān)系，我們把該企業(yè)從2010年到2019年間的利潤(rùn)（百萬(wàn)元）和產(chǎn)值（百萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)列表如下：年份20102011201220132014201520162017201820194.925.004.934.904.904.954.984.995.02