人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修三講義)第12講7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差(學(xué)生版+解析)

第05講7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①通過具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量分布列的方差。②能解決與離散型隨機(jī)變量相關(guān)的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題中與方差的求解問題。③能解決一些穩(wěn)定性的簡(jiǎn)單問題與決策性問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),要求掌握離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的求解，能解決與之相關(guān)的簡(jiǎn)單問題，有關(guān)決策性問題的處理意見與建議。知識(shí)點(diǎn)1：離散型隨機(jī)變量的方差（1）離散型隨機(jī)變量的方差的概念一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布列為：…………則稱為隨機(jī)變量的方差，有時(shí)也記為.稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.（2）離散型隨機(jī)變量的方差的深層理解①離散型隨機(jī)變量的方差是個(gè)數(shù)值，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù).描述了()相對(duì)于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均值，刻畫了隨機(jī)變量的取值與其均值的平均偏離程度.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性和波動(dòng)、集中與離散程度，越大，表明平均偏離程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近.②標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方.③均值與方差的關(guān)系在實(shí)際問題中僅靠均值還不能全面地說明隨機(jī)變量的特征，還必須研究隨機(jī)變量的集中與離散程度，這就需要求出方差.④方差公式的變形：⑤方差也是一個(gè)常數(shù)，它不具有隨機(jī)性，方差的值一定非負(fù).（3）兩點(diǎn)分布的方差公式一般地，如果隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，那么:.10【即學(xué)即練1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，若，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】∵，，∴，∵，，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，，且.故選：D（4）方差的性質(zhì)若與都是隨機(jī)變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）若隨機(jī)變量滿足，則（

）A．0.8 B．1.6 C．3.2 D．0.2【答案】C【詳解】因?yàn)?，所?故選：C知識(shí)點(diǎn)2：樣本方差與離散型隨機(jī)變量方差的比較（1）樣本方差樣本數(shù)據(jù)；；；；記均值：，其中.方差：（2）離散型隨機(jī)變量方差離散型隨機(jī)變量的分布列…………均值方差：【即學(xué)即練3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩種零件某次性能測(cè)評(píng)的分值，的分布如下，則性能更穩(wěn)定的零件是．8910P0.30.20.58910P0.20.40.4【答案】乙【詳解】由題意知：，，所以，，因?yàn)椋砸腋€(wěn)定．故答案為:乙．知識(shí)點(diǎn)3：求離散型隨機(jī)變量的方差步驟(1)理解離散型隨機(jī)變量的意義，寫出所有可能的取值.(2)判斷離散型隨機(jī)變量是否服從特殊分布（如兩點(diǎn)分布等).若服從特殊分布，則可利用公式直接求解；若不服從特殊分布，則繼續(xù)下面步驟.(3)求出離散型隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率.(4)寫出離散型隨機(jī)變量的分布列.(5)利用均值的定義求.(6)利用求方差.其中求均值的關(guān)鍵是寫出離散型隨機(jī)變量的分布列，前提是準(zhǔn)確列出所有可能的取值，并真正理解取值的意義.題型01求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差【典例1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）甲乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃，第一次由甲投；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差．【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）袋中有形狀、大小完全相同的3個(gè)球，編號(hào)分別為1，2，3.用表示取出的2個(gè)球中的最大號(hào)碼，有放回地從袋中取兩次，每次取1個(gè)球(1)寫出的分布列；(2)求的均值與方差.【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望.(3)設(shè)用表示甲學(xué)校的總得分，比較和的大小（直接寫出結(jié)果）.【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃；第一次由甲投籃，已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，．在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為X，求X的概率分布、均值及標(biāo)準(zhǔn)差．【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）小王去自動(dòng)取款機(jī)取款，發(fā)現(xiàn)自己忘記了6位密碼的最后一位數(shù)字，他決定從0~9中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試，直到輸對(duì)密碼，或者輸錯(cuò)三次銀行卡被鎖定為止．(1)求小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設(shè)小王嘗試輸入該銀行卡密碼的次數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．【變式3】（2023下·湖北宜昌·高二?？茧A段練習(xí)）新高考數(shù)學(xué)試卷中多選題規(guī)定：在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．在做數(shù)學(xué)卷多選題時(shí)考生通常有以下兩種策略：策略A：為避免有選錯(cuò)得0分，在四個(gè)選項(xiàng)中只選出一個(gè)自己最有把握的選項(xiàng)，將多選題當(dāng)作“單選題”來做；策略B：爭(zhēng)取得5分，選出自己認(rèn)為正確的全部選項(xiàng)，本次考試前，某同學(xué)通過模擬訓(xùn)練得出其在兩種策略下作完成下面小題的情況如下表：策略概率每題耗時(shí)（分鐘）第11題第12題A選對(duì)選項(xiàng)0.80.53B部分選對(duì)0.60.26全部選對(duì)0.30.7已知該同學(xué)作答兩題的狀態(tài)互不影響，若該同學(xué)此次考試決定用以下方案：第11題采用策略B，第12題采用策略A，設(shè)他這兩題得分之和為X，求X的分布列、均值及方差．題型02離散型隨機(jī)變量的方差公式及性質(zhì)【典例1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量的分布列如表：012mn若，則．【典例2】（2024上·陜西渭南·高二?？计谀╇S機(jī)變量的分布列如下表，則；.012【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）離散型隨機(jī)變量X的分布為：01245若離散型隨機(jī)變量Y滿足，則下列結(jié)果正確的為．①；②；③；④．【變式1】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)隨機(jī)變量的方差，則的值為.【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別為1和4，若，，且的均值為5，則方差為.【變式3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則.X－101Pab題型03兩點(diǎn)分布的方差【典例1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量滿足，，其中.令隨機(jī)變量，則（

）A． B．C． D．【變式1】（2023下·廣東中山·高二統(tǒng)考期末）已知離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，則隨機(jī)變量X的方差為．題型04方差的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時(shí)誤差分別為X和Y(單位：s)，其分布列為甲品牌的走時(shí)誤差分布列X－101P0.10.80.1乙品牌的走時(shí)誤差分布列Y－2－1012P0.10.20.40.20.1試對(duì)兩種品牌手表的性能作出描述：．【典例2】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)500位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為45元，其余3個(gè)均為15元，求顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是30000元，為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)從如下兩種方案中選擇一種，并說明理由.方案一：袋中的4個(gè)球由2個(gè)標(biāo)有面值15元和2個(gè)標(biāo)有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個(gè)球由2個(gè)標(biāo)有面值20元和2個(gè)標(biāo)有面值40元的兩種球組成.【典例3】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知某商業(yè)銀行甲、乙兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)理財(cái)項(xiàng)目的年利潤(rùn)率分別為和，利潤(rùn)率為負(fù)表示虧損，根據(jù)往年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到和的分布列：510-2P0.60.150.254612-2.5P0.20.50.10.2現(xiàn)有200萬(wàn)元資金準(zhǔn)備投資到甲、乙兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)理財(cái)項(xiàng)目一年．(1)在甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，和分別表示投資項(xiàng)目甲和乙所獲得的年利潤(rùn)，求和；(2)項(xiàng)目甲投資x萬(wàn)元，項(xiàng)目乙投資萬(wàn)元，其中，，用表示投資甲項(xiàng)目的年利潤(rùn)方差與投資乙項(xiàng)目的年利潤(rùn)方差之和，問該如何分配這200萬(wàn)元資金，能使的數(shù)值最??？【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)有甲、乙兩地生產(chǎn)的兩批原棉，它們的纖維長(zhǎng)度X，Y的分布如表1、表2所示．表1X252423222120P0.10.20.30.10.10.2表2Y252423222120P0.050.20.250.30.10.1試問：這兩批原棉的質(zhì)量哪一批較好？【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了解某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的(1)班(8)班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：

(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)1人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)若從以上統(tǒng)計(jì)的高一（2）班和高一（4）班的學(xué)生中各抽出1人，設(shè)表示2人中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（）．寫出方差的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）．【變式3】（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，營(yíng)造良好的文化氛圍，增強(qiáng)文化自覺和文化自信，某區(qū)組織開展了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，該活動(dòng)有單人賽和PK賽，每人只能參加其中的一項(xiàng).據(jù)統(tǒng)計(jì)，中小學(xué)生參與該項(xiàng)知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)的人數(shù)共計(jì)4.8萬(wàn)，其中獲獎(jiǎng)學(xué)生情況統(tǒng)計(jì)如下：獎(jiǎng)項(xiàng)組別單人賽PK賽獲獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)中學(xué)組4040120100小學(xué)組3258210100(1)從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，求抽到的學(xué)生來自中學(xué)組的概率；(2)從中學(xué)組和小學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人，以表示這2人中PK賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中來自中學(xué)組的人數(shù)為，來自小學(xué)組的人數(shù)為，試判斷與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023下·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）若隨機(jī)變量滿足，則（

）A． B． C． D．2．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列是X123P0.40.20.4則等于（

）A．0 B．0.8 C．2 D．13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若數(shù)據(jù)，，…，的方差為3，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為（

）A．12 B．9 C．6 D．34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示：012若，則（

）A．>，> B．<，>C．>，< D．<，<5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為：則隨機(jī)變量的方差的最大值為（

）A． B． C． D．6．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：若，則的最小值等于（

）A．0 B．2C．1 D．7．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為012Pb則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（

）A．增大B．減小C．先減小后增大D．先增大后減小8．（2023下·廣東東莞·高二東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的概率分布如表.當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，方差的變化為（

）X1PA．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大二、多選題9．（2023下·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．離散型隨機(jī)變量的均值反映了取值的概率的平均值B．離散型隨機(jī)變量的方差反映了取值的平均水平C．離散型隨機(jī)變量的均值反映了取值的平均水平D．離散型隨機(jī)變量的方差反映了取值的概率的平均值三、填空題11．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第二中學(xué)?？计谀╇x散型隨機(jī)變量的分布列為，，2，3，…，6，其期望為，若，則.12．（2023下·福建福州·高二校聯(lián)考期中）隨機(jī)變量的概率分布列如下：－101其中，，成等差數(shù)列，若隨機(jī)變量的期望，則其方差＝．四、解答題13．（2023上·江西上饒·高二?？计谀┠尘W(wǎng)站為研究新聞點(diǎn)擊量的變化情況，收集得到了該網(wǎng)站連續(xù)30天的新聞點(diǎn)擊量變化數(shù)據(jù)，如下表所示.在描述新聞點(diǎn)擊量變化時(shí)，用“↑”表示“上漲”，即當(dāng)天新聞點(diǎn)擊量比前一天新聞點(diǎn)擊量高；用“↓”表示“下降”，即當(dāng)天新聞點(diǎn)擊量比前一天新聞點(diǎn)擊量低；用“－”表示“不變”，即當(dāng)天新聞點(diǎn)擊量與前一天新聞點(diǎn)擊量相同.時(shí)段新聞點(diǎn)擊量第1天到第15天↑-↑↓↑-↓↑-↓↑↓-↓↓第16天到第30天-↑-↑-↑↓↑↓↑-↓↑↓↑用頻率估計(jì)概率.(1)試估計(jì)該網(wǎng)站新聞點(diǎn)擊量“下降”的概率；(2)從樣本中的前15天和后15天中各隨機(jī)抽取1天，記表示其中該網(wǎng)站新聞點(diǎn)擊量“上漲”的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從樣本給出的30天中任取1天，用“”表示該天新聞點(diǎn)擊量“上漲”，“”表示該天新聞點(diǎn)擊量“下降”或“不變”，然后繼續(xù)統(tǒng)計(jì)接下來的10天的新聞點(diǎn)擊量，其中有6天“上漲”、3天“下降”、1天“不變”，相應(yīng)地，從這40天中任取1天，用“”表示該天新聞點(diǎn)擊量“上漲”，“”表示該天新聞點(diǎn)擊量“下降”或“不變”，直接寫出方差，大小關(guān)系.14．（2023下·新疆巴音郭楞·高二?？计谀┮阎S機(jī)變量X的分布列為X01xPp若，(1)求的值;(2)若，求的值.B能力提升1．（2023上·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了解顧客對(duì)五種款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿意度，廠家隨機(jī)選取了2000名顧客進(jìn)行回訪，調(diào)查結(jié)果如表：運(yùn)動(dòng)鞋款式ABCDE回訪顧客（人數(shù)）700350300250400滿意度注：1．滿意度是指：某款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值；2．對(duì)于每位回訪顧客，只調(diào)研一種款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿意度．假設(shè)顧客對(duì)各款式運(yùn)動(dòng)鞋是否滿意相互獨(dú)立，用顧客對(duì)某款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿意度估計(jì)對(duì)該款式運(yùn)動(dòng)鞋滿意的概率．(1)從所有的回訪顧客中隨機(jī)抽取1人，求此人是C款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客且對(duì)該款鞋滿意的概率；(2)從A、E兩種款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)其中滿意的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用“”和“”分別表示對(duì)A款運(yùn)動(dòng)鞋滿意和不滿意，用“”和“”分別表示對(duì)B款運(yùn)動(dòng)滿意和不滿意，試比較方差與的大?。ńY(jié)論不要求證明）2．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨(dú)立．根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5，0.6，0.4．經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6，0.5，0.75．(1)求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率；(2)經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望與方差．3．（2023·上海奉賢·上海市奉賢中學(xué)?？既＃┠硵?shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的5位學(xué)生在一次考試后調(diào)整了學(xué)習(xí)方法，一段時(shí)間后又參加了第二次考試．兩次考試的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆M分100分）學(xué)生1學(xué)生2學(xué)生3學(xué)生4學(xué)生5第一次8289789281第二次8390759576(1)在5位學(xué)生中依次抽取3位學(xué)生．在前2位學(xué)生中至少有1位學(xué)生第一次成績(jī)高于第二次成績(jī)的條件下，求第三位學(xué)生第二次考試成績(jī)高于第一次考試成績(jī)的概率；(2)設(shè)（，2，…，5）表示第i位學(xué)生第二次考試成績(jī)減去第一次考試成績(jī)的值．從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組5位學(xué)生中隨機(jī)選取2位，得到數(shù)據(jù)，定義隨機(jī)變量X如下：求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX和方差．第05講7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①通過具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量分布列的方差。②能解決與離散型隨機(jī)變量相關(guān)的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題中與方差的求解問題。③能解決一些穩(wěn)定性的簡(jiǎn)單問題與決策性問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),要求掌握離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的求解，能解決與之相關(guān)的簡(jiǎn)單問題，有關(guān)決策性問題的處理意見與建議。知識(shí)點(diǎn)1：離散型隨機(jī)變量的方差（1）離散型隨機(jī)變量的方差的概念一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布列為：…………則稱為隨機(jī)變量的方差，有時(shí)也記為.稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.（2）離散型隨機(jī)變量的方差的深層理解①離散型隨機(jī)變量的方差是個(gè)數(shù)值，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù).描述了()相對(duì)于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均值，刻畫了隨機(jī)變量的取值與其均值的平均偏離程度.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性和波動(dòng)、集中與離散程度，越大，表明平均偏離程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近.②標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方.③均值與方差的關(guān)系在實(shí)際問題中僅靠均值還不能全面地說明隨機(jī)變量的特征，還必須研究隨機(jī)變量的集中與離散程度，這就需要求出方差.④方差公式的變形：⑤方差也是一個(gè)常數(shù)，它不具有隨機(jī)性，方差的值一定非負(fù).（3）兩點(diǎn)分布的方差公式一般地，如果隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，那么:.10【即學(xué)即練1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，若，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】∵，，∴，∵，，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，，且.故選：D（4）方差的性質(zhì)若與都是隨機(jī)變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）若隨機(jī)變量滿足，則（

）A．0.8 B．1.6 C．3.2 D．0.2【答案】C【詳解】因?yàn)椋?故選：C知識(shí)點(diǎn)2：樣本方差與離散型隨機(jī)變量方差的比較（1）樣本方差樣本數(shù)據(jù)；；；；記均值：，其中.方差：（2）離散型隨機(jī)變量方差離散型隨機(jī)變量的分布列…………均值方差：【即學(xué)即練3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩種零件某次性能測(cè)評(píng)的分值，的分布如下，則性能更穩(wěn)定的零件是．8910P0.30.20.58910P0.20.40.4【答案】乙【詳解】由題意知：，，所以，，因?yàn)椋砸腋€(wěn)定．故答案為:乙．知識(shí)點(diǎn)3：求離散型隨機(jī)變量的方差步驟(1)理解離散型隨機(jī)變量的意義，寫出所有可能的取值.(2)判斷離散型隨機(jī)變量是否服從特殊分布（如兩點(diǎn)分布等).若服從特殊分布，則可利用公式直接求解；若不服從特殊分布，則繼續(xù)下面步驟.(3)求出離散型隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率.(4)寫出離散型隨機(jī)變量的分布列.(5)利用均值的定義求.(6)利用求方差.其中求均值的關(guān)鍵是寫出離散型隨機(jī)變量的分布列，前提是準(zhǔn)確列出所有可能的取值，并真正理解取值的意義.題型01求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差【典例1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）甲乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃，第一次由甲投；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差．【答案】分布列見解析，均值為，方差為.【詳解】依題意，的所有可能取值為0,1,2，；；，所以的概率分布為：012P數(shù)學(xué)期望，方差.【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）袋中有形狀、大小完全相同的3個(gè)球，編號(hào)分別為1，2，3.用表示取出的2個(gè)球中的最大號(hào)碼，有放回地從袋中取兩次，每次取1個(gè)球(1)寫出的分布列；(2)求的均值與方差.【答案】(1)123(2)；【詳解】（1）題意知的可能取值為1，2，3，當(dāng)時(shí)，有一種情況；當(dāng)時(shí)，有，，三種情況；當(dāng)時(shí)，有，，，，五種情況；則，，，所以的分布列：123（2）的均值為：，方差為.【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望.(3)設(shè)用表示甲學(xué)校的總得分，比較和的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）.【答案】(1)(2)分布列見解析，的期望為(3)【詳解】（1）甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，可以得到兩個(gè)學(xué)校每場(chǎng)比賽獲勝的概率如下表：第一場(chǎng)比賽第二場(chǎng)比賽第三場(chǎng)比賽甲學(xué)校獲勝概率0.50.40.8乙學(xué)校獲勝概率0.50.60.2甲學(xué)校要獲得冠軍，需要在3場(chǎng)比賽中至少獲勝2場(chǎng)，①甲學(xué)校3場(chǎng)全勝，概率為：，②甲學(xué)校3場(chǎng)獲勝2場(chǎng)敗1場(chǎng)，概率為：，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為：；（2）乙學(xué)校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：，，，，則的分布列為：01020300.160.440.340.06的期望；（3）甲學(xué)校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：，，，，則的分布列為：01020300.060.340.440.16的期望；故，由（2）可得，故.【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃；第一次由甲投籃，已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，．在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為X，求X的概率分布、均值及標(biāo)準(zhǔn)差．【答案】分布列見解析，均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為【詳解】由題意，得X的所有可能取值為0,1,2，故X的概率分布為:X012P，，所以.【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）小王去自動(dòng)取款機(jī)取款，發(fā)現(xiàn)自己忘記了6位密碼的最后一位數(shù)字，他決定從0~9中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試，直到輸對(duì)密碼，或者輸錯(cuò)三次銀行卡被鎖定為止．(1)求小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設(shè)小王嘗試輸入該銀行卡密碼的次數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望，方差．【詳解】（1）設(shè)“小王的該銀行卡被鎖定”為事件A，則．（2）由題意，X的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以X的分布列為X123P所以數(shù)學(xué)期望，方差．【變式3】（2023下·湖北宜昌·高二校考階段練習(xí)）新高考數(shù)學(xué)試卷中多選題規(guī)定：在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．在做數(shù)學(xué)卷多選題時(shí)考生通常有以下兩種策略：策略A：為避免有選錯(cuò)得0分，在四個(gè)選項(xiàng)中只選出一個(gè)自己最有把握的選項(xiàng)，將多選題當(dāng)作“單選題”來做；策略B：爭(zhēng)取得5分，選出自己認(rèn)為正確的全部選項(xiàng)，本次考試前，某同學(xué)通過模擬訓(xùn)練得出其在兩種策略下作完成下面小題的情況如下表：策略概率每題耗時(shí)（分鐘）第11題第12題A選對(duì)選項(xiàng)0.80.53B部分選對(duì)0.60.26全部選對(duì)0.30.7已知該同學(xué)作答兩題的狀態(tài)互不影響，若該同學(xué)此次考試決定用以下方案：第11題采用策略B，第12題采用策略A，設(shè)他這兩題得分之和為X，求X的分布列、均值及方差．【答案】分布列見解析，均值為3.7，方差為3.61.【詳解】設(shè)事件為“第11題得0分”，事件為“第11題得2分”，事件為“第11題得5分”，事件為“第12題得0分”，事件為“第12題得2分”，則，，，，，由題意知，X的可能取值為0，2，4，5，7，所以，，，，，所以X的分布列為X02457P0.050.350.30.150.15所以，.題型02離散型隨機(jī)變量的方差公式及性質(zhì)【典例1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量的分布列如表：012mn若，則．【答案】【詳解】，①，又②，聯(lián)立①②得，所以，則．故答案為：．【典例2】（2024上·陜西渭南·高二校考期末）隨機(jī)變量的分布列如下表，則；.012【答案】12.4【詳解】由題知：，，.，.故答案為：，【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）離散型隨機(jī)變量X的分布為：01245若離散型隨機(jī)變量Y滿足，則下列結(jié)果正確的為．①；②；③；④．【答案】①③【詳解】由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)，可得，則，，所以①③正確；又由離散型隨機(jī)變量Y滿足，所以，，所以②④錯(cuò)誤，故答案為：①③．【變式1】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)隨機(jī)變量的方差，則的值為.【答案】12【詳解】故答案為：12【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別為1和4，若，，且的均值為5，則方差為.【答案】【詳解】由題設(shè)，則，所以.故答案為：【變式3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則.X－101Pab【答案】5【詳解】依題意可得，解得，所以，所以.故答案為：5.題型03兩點(diǎn)分布的方差【典例1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量滿足，，其中.令隨機(jī)變量，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】隨機(jī)變量滿足,,其中.則隨機(jī)變量的分布列為:所以隨機(jī)變量,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以隨機(jī)變量的分布列如下表所示(當(dāng)時(shí),只有一個(gè)情況,概率為1):則當(dāng)即,解得.所以A、B錯(cuò)誤.恒成立.所以C錯(cuò)誤,D正確故選:D【變式1】（2023下·廣東中山·高二統(tǒng)考期末）已知離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，則隨機(jī)變量X的方差為．【答案】【詳解】因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，設(shè)，所以，所以，代入有：，解得：，，因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，所以.故答案為：.題型04方差的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時(shí)誤差分別為X和Y(單位：s)，其分布列為甲品牌的走時(shí)誤差分布列X－101P0.10.80.1乙品牌的走時(shí)誤差分布列Y－2－1012P0.10.20.40.20.1試對(duì)兩種品牌手表的性能作出描述：．【答案】甲種手表的性能更好，更穩(wěn)定【詳解】由甲品牌的走時(shí)誤差分布列，可得：，；由乙品牌的走時(shí)誤差分布列，可得：，,則甲、乙兩種手表走時(shí)誤差的期望一樣，但甲種手表的方差小于乙種手表的方差，所以認(rèn)為甲種手表的性能更好，更穩(wěn)定．【典例2】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)500位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為45元，其余3個(gè)均為15元，求顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是30000元，為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)從如下兩種方案中選擇一種，并說明理由.方案一：袋中的4個(gè)球由2個(gè)標(biāo)有面值15元和2個(gè)標(biāo)有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個(gè)球由2個(gè)標(biāo)有面值20元和2個(gè)標(biāo)有面值40元的兩種球組成.【答案】(1)(2)方案二，理由見解析【詳解】（1）設(shè)顧客的獎(jiǎng)勵(lì)額為X,依題意得（2）根據(jù)方案一，設(shè)顧客的獎(jiǎng)勵(lì)額為其可能取值為30，，30m60，90，，根據(jù)方案二，設(shè)顧客的獎(jiǎng)勵(lì)額為其可能取值為40，60，80，，商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是30000元，故每個(gè)顧客平均獎(jiǎng)勵(lì)額最多為60，兩方案均符合要求，但方案二獎(jiǎng)勵(lì)的方差比方案一小，所以應(yīng)選擇方案二【典例3】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知某商業(yè)銀行甲、乙兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)理財(cái)項(xiàng)目的年利潤(rùn)率分別為和，利潤(rùn)率為負(fù)表示虧損，根據(jù)往年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到和的分布列：510-2P0.60.150.254612-2.5P0.20.50.10.2現(xiàn)有200萬(wàn)元資金準(zhǔn)備投資到甲、乙兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)理財(cái)項(xiàng)目一年．(1)在甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，和分別表示投資項(xiàng)目甲和乙所獲得的年利潤(rùn)，求和；(2)項(xiàng)目甲投資x萬(wàn)元，項(xiàng)目乙投資萬(wàn)元，其中，，用表示投資甲項(xiàng)目的年利潤(rùn)方差與投資乙項(xiàng)目的年利潤(rùn)方差之和，問該如何分配這200萬(wàn)元資金，能使的數(shù)值最小？【答案】(1)，(2)投資甲項(xiàng)目105萬(wàn)元，投資乙項(xiàng)目95萬(wàn)元時(shí)有最小值【詳解】（1）由題意可知（萬(wàn)元）和（萬(wàn)元）的分布列分別為510-2P0.60.150.254612-2.5P0.20.50.10.2所以．．于是．（2）由題意可知，根據(jù)方差性質(zhì)可得．由二次函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．因此投資甲項(xiàng)目105萬(wàn)元，投資乙項(xiàng)目95萬(wàn)元時(shí)有最小值．【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)有甲、乙兩地生產(chǎn)的兩批原棉，它們的纖維長(zhǎng)度X，Y的分布如表1、表2所示．表1X252423222120P0.10.20.30.10.10.2表2Y252423222120P0.050.20.250.30.10.1試問：這兩批原棉的質(zhì)量哪一批較好？【答案】乙地原棉比甲地原棉的質(zhì)量要好一些【詳解】?jī)膳蘩w維長(zhǎng)度的均值分別為，．這兩批原棉的纖維平均長(zhǎng)度相等．兩批原棉纖維長(zhǎng)度的方差分別為，．這說明乙地原棉纖維更加齊整，故乙地原棉比甲地原棉的質(zhì)量要好一些．【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了解某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的(1)班(8)班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：

(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)1人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)若從以上統(tǒng)計(jì)的高一（2）班和高一（4）班的學(xué)生中各抽出1人，設(shè)表示2人中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（）．寫出方差的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）．【答案】(1)(2)分布列見解析，1(3)【詳解】（1）從高一年級(jí)（1）班~（8）班學(xué)生中抽測(cè)了80人，其中身體素質(zhì)檢測(cè)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)有人，所以，優(yōu)秀的概率是

因?yàn)槭请S機(jī)抽樣，所以用樣本估計(jì)總體，可知從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)一人，該生身體素質(zhì)檢測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率是（2）因?yàn)楦咭唬?）班抽出的10名同學(xué)中，身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)有6人，不優(yōu)秀的有4人，因?yàn)楦咭唬?）班抽出的10名同學(xué)中，身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)有4人，不優(yōu)秀的有6人，所以從中抽出2人，的可能取值為，，，所以的分布列為數(shù)學(xué)期望（3），理由：由于且服從二點(diǎn)分布，所以，由于在單調(diào)遞減，所以.【變式3】（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，營(yíng)造良好的文化氛圍，增強(qiáng)文化自覺和文化自信，某區(qū)組織開展了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，該活動(dòng)有單人賽和PK賽，每人只能參加其中的一項(xiàng).據(jù)統(tǒng)計(jì)，中小學(xué)生參與該項(xiàng)知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)的人數(shù)共計(jì)4.8萬(wàn)，其中獲獎(jiǎng)學(xué)生情況統(tǒng)計(jì)如下：獎(jiǎng)項(xiàng)組別單人賽PK賽獲獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)中學(xué)組4040120100小學(xué)組3258210100(1)從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，求抽到的學(xué)生來自中學(xué)組的概率；(2)從中學(xué)組和小學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人，以表示這2人中PK賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中來自中學(xué)組的人數(shù)為，來自小學(xué)組的人數(shù)為，試判斷與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為(3)，理由見解析【詳解】（1）若事件表示抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，事件表示抽到的學(xué)生來自中學(xué)組，所以抽到的1個(gè)學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，學(xué)生來自中學(xué)組的概率為，由表格知：，則.（2）由題意，可能值為，，，，的分布列如下：012所以.（3）由題設(shè)知，所以.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023下·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）若隨機(jī)變量滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A2．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列是X123P0.40.20.4則等于（

）A．0 B．0.8 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的方差公式求解即可.【詳解】∵，∴．故選:B.3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若數(shù)據(jù)，，…，的方差為3，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為（

）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】A【分析】由方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】數(shù)據(jù)，，…，的方差，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為.故選：A4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示：012若，則（

）A．>，> B．<，>C．>，< D．<，<【答案】A【分析】通過計(jì)算期望和方差來求得正確答案.【詳解】，，由于，所以.，同理可得.，所以.故選：A5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為：則隨機(jī)變量的方差的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由隨機(jī)變量的分布列，求出的值，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【詳解】解：由題意可得，，則，當(dāng)，有最大值為．故選：A．6．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：若，則的最小值等于（

）A．0 B．2C．1 D．【答案】A【分析】由分布列的性質(zhì)求出，由期望公式可得，由方差公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得，所以，即.又，所以當(dāng)時(shí)，取最小值為0.故選:A.7．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為012Pb則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（

）A．增大B．減小C．先減小后增大D．先增大后減小【答案】A【分析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，結(jié)合方差的公式、二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，所以，所以，所以，因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，故選：A8．（2023下·廣東東莞·高二東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的概率分布如表.當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，方差的變化為（

）X1PA．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大【答案】D【分析】求出期望與方差，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷方差的單調(diào)性．【詳解】由分布列可得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．故選：D．二、多選題9．（2023下·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)期望及方差的性質(zhì)即可求解.【詳解】，則,故A正確，B錯(cuò)誤；，則，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC10．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．離散型隨機(jī)變量的均值反映了取值的概率的平均值B．離散型隨機(jī)變量的方差反映了取值的平均水平C．離散型隨機(jī)變量的均值反映了取值的平均水平D．離散型隨機(jī)變量的方差反映了取值的概率的平均值【答案】ABD【分析】由均值和方差的定義，均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，即可判斷A、C是否正確；方差反映了隨機(jī)變量取值的集中分散情況，即可判斷B、D是否正確；即可得答案．【詳解】離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，故C正確，A錯(cuò)誤；離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度，故B、D錯(cuò)誤.故選：ABD．三、填空題11．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第二中學(xué)?？计谀╇x散型隨機(jī)變量的分布列為，，2，3，…，6，其期望為，若，則.【答案】【分析】根據(jù)方差的定義求得，然后利用方差性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意及方差定義知，所以.故答案為：12．（2023下·福建福州·高二校聯(lián)考期中）隨機(jī)變量的概率分布列如下：－101其中，，成等差數(shù)列，若隨機(jī)變量的期望，則其方差＝．【答案】【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)，分布列中概率和為1以及均值的計(jì)算公式構(gòu)建方程求得，，，再由方差的計(jì)算公式求得答案.【詳解】因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，又由分布列的性質(zhì)，則，所以得，又因?yàn)殡S機(jī)變量的均值且,故解得，，所以.故答案為：.四、解答題13．（2023上·江西上饒·高二校考期末）某網(wǎng)站為研究新聞點(diǎn)擊量的變化情況，收集得到了該網(wǎng)站連續(xù)30天的新聞點(diǎn)擊量變化數(shù)據(jù)，如下表所示.在描述新聞點(diǎn)擊量變化時(shí)，用“↑”表示“上漲”，即當(dāng)天新聞點(diǎn)擊量比前一天新聞點(diǎn)擊量高；用“↓”表示“下降”，即當(dāng)天新聞點(diǎn)擊量比前一天新聞點(diǎn)擊量低；用“－”表示“不變”，即當(dāng)天新聞點(diǎn)擊量與前一天新聞點(diǎn)擊量相同.時(shí)段新聞點(diǎn)擊量第1天到第15天↑-↑↓↑-↓↑-↓↑↓-↓↓第16天到第30天-↑-↑-↑↓↑↓↑-↓↑↓↑用頻率估計(jì)概率.(1)試估計(jì)該網(wǎng)站新聞點(diǎn)擊量“下降”的概率；(2)從樣本中的前15天和后15天中各隨機(jī)抽取1天，記表示其中該網(wǎng)站新聞點(diǎn)擊量“上漲”的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從樣本給出的30天中任取1天，用“”表示該天新聞點(diǎn)擊量“上漲”，“”表示該天新聞點(diǎn)擊量“下降”或“不變”，然后繼續(xù)統(tǒng)計(jì)接下來的10天的新聞點(diǎn)擊量，其中有6天“上漲”、3天“下降”、1天“不變”，相應(yīng)地，從這40天中任取1天，用“”表示該天新聞點(diǎn)擊量“上漲”，“”表示該天新聞點(diǎn)擊量“下降”或“不變”，直接寫出方差，大小關(guān)系.【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)，理由見解析【詳解】（1）30天中，有10天點(diǎn)擊量下降，故估計(jì)該網(wǎng)站新聞點(diǎn)擊量“下降”的概率為；（2）前15