人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第03講1.2空間向量基本定理(學(xué)生版+解析)

第03講1.2空間向量基本定理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解并記住共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空間向量基本定理的內(nèi)容及含義。②理解基底與基向量的含義，會(huì)用恰當(dāng)?shù)幕蛄勘硎究臻g任意向量。③會(huì)用相關(guān)的定理解決簡(jiǎn)單的空間幾何問題。1.通過對(duì)空間向量基本定理的意義的掌握與了解，會(huì)用空間向量的基底表示空間任一向量，能用正交分解及坐標(biāo)形式表示空間向量.2.結(jié)合平面向量與空間向量的基本定理，解決平面與立體幾何的相關(guān)問題.知識(shí)點(diǎn)01：空間向量基本定理1、空間向量基本定理如果向量三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任意向量存在有序?qū)崝?shù)組使得2、基底與基向量如果向量三個(gè)向量不共面，那么所有空間向量組成集合就是這個(gè)集合可看作是由向量生成的，我們把叫做空間的一個(gè)基底都叫做基向量．對(duì)基底正確理解，有以下三個(gè)方面：（1）空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間的一個(gè)基底；（2）因?yàn)榭梢暈榕c任意一個(gè)非零向量共線，與任意二個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是；（3）一個(gè)基底是由三個(gè)不共面的向量構(gòu)成的，它是一個(gè)向量組；而一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是不同的概念．【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，E是MN的三等分點(diǎn)，且，用向量表示為（

）

A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋裕裕矗?，所?故選：D

知識(shí)點(diǎn)02：空間向量的正交分解1、單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪保议L(zhǎng)度都是1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用表示．2、正交分解由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量，均可以分解為三個(gè)向量，，使得.像這樣把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．我們把稱作向量在單位正交基底下的坐標(biāo)．記作此時(shí)向量的坐標(biāo)恰是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)其中分別叫做點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)．3、特殊向量的坐標(biāo)表示（1）當(dāng)向量平行于軸時(shí)，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為，即（2）當(dāng)向量平行于軸時(shí)，縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)都為，即（3）當(dāng)向量平行于軸時(shí)，橫坐標(biāo)坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為，即（4）當(dāng)向量平行于平面時(shí)，豎坐標(biāo)為，即（5）當(dāng)向量平行于平面時(shí)，橫坐標(biāo)為，即（6）當(dāng)向量平行于平面時(shí)，縱坐標(biāo)為，即題型01空間向量基底的概念及辨析【典例1】（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知為空間的一個(gè)基底，則下列各選項(xiàng)能構(gòu)成基底的是（

）A． B．C． D．【典例2】（多選）（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)校考期中）設(shè)且是空間的一個(gè)基底，則下列向量組中，可以作為空間一個(gè)基底的向量組有（

）A． B．C． D．【變式1】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中能構(gòu)成基底的一組向量是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式2】（多選）（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）是空間的一個(gè)基底，與、構(gòu)成基底的一個(gè)向量可以是（

）A． B． C． D．題型02用空間基底表示向量【典例1】（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在平行六面體中，，相交于，為的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）四棱錐中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，若，則等于（

）A． B．1 C． D．2【典例3】（2023·陜西·統(tǒng)考一模）空間四邊形中，與是四邊形的兩條對(duì)角線，，分別為線段，上的兩點(diǎn)，且滿足，，若點(diǎn)在線段上，且滿足，若向量滿足，則______．【變式1】（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谥校┰谒拿骟w中，，是的中點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．【變式2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，設(shè)，，．則（

）

A． B．C． D．【變式3】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四面體，是的重心，是上一點(diǎn)，且，若，則為（

）A． B．C． D．【變式4】（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知正方體中，側(cè)面的中心是，若，則_________，_________．

題型03應(yīng)用空間向量基本定理證明線線位置關(guān)系【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知空間四邊形中，，且，，分別是，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：．【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知四面體中三組相對(duì)棱的中點(diǎn)間的距離都相等，求證:這個(gè)四面體相對(duì)的棱兩兩垂直.已知：如圖，四面體，分別為棱的中點(diǎn)，且求證.【典例3】（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學(xué)考試）如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點(diǎn)．(1)用，，表示向量；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出的位置，若不存在，說明理由．【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，求證：直線平面【變式2】（2022秋·北京順義·高二牛欄山一中校考階段練習(xí)）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且．(1)用向量表示向量；(2)求證：共面；(3)當(dāng)為何值時(shí)，．題型04應(yīng)用空間向量基本定理求距離、夾角【典例1】（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為，求與的夾角的余弦值．【典例2】（2023秋·福建三明·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體中，，，，.(1)求的值；(2)已知是線段中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求線段的長(zhǎng).【典例3】（2023秋·浙江杭州·高二杭師大附中?？计谀┤鐖D，平行六面體中，，，(1)求對(duì)角線的長(zhǎng)度；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【典例4】（2023·高一單元測(cè)試）如圖，三棱柱中，，分別是上的點(diǎn)，且．設(shè)，，．(1)試用，，表示向量；(2)若，求的長(zhǎng)．【變式1】（2023春·廣西南寧·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知在平行六面體中，，，且.(1)求的長(zhǎng)；(2)求向量與夾角的余弦值.【變式2】（2023·全國·校聯(lián)考一模）如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)．設(shè)，，.(1)求證；(2)求異面直線和所成角的余弦值．【變式3】（2023秋·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為3，且，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，用、、表示向量，并求的長(zhǎng)．第03講1.2空間向量基本定理A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知為三條不共面的線段，若，那么（

）A．1 B． C． D．2．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）對(duì)于空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，有如下關(guān)系：，則（

）A．四點(diǎn)必共面 B．四點(diǎn)必共面C．四點(diǎn)必共面 D．五點(diǎn)必共面3．（2023春·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是空間的一個(gè)基底，則可以與向量，構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是（

）A． B． C． D．4．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知四面體，G是的重心，P是線段OG上的點(diǎn)，且，若，則為（

）A． B． C． D．5．（2023·高二校考課時(shí)練習(xí)）已知直線AB，BC，不共面，若四邊形的對(duì)角線互相平分，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．6．（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學(xué)考試）在平行六面體中，，，且，，則（

）A． B． C． D．7．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)校考期中）如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，若是與的交點(diǎn)，則（

）．A．9 B．7 C．3 D．8．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)G為的重心，點(diǎn)M在上，且，過點(diǎn)M任意作一個(gè)平面分別交線段，，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，，，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題9．（2023春·江蘇常州·高二校考開學(xué)考試）給出下列命題，其中正確的有（

）A．已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底B．是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一組基底，則共面C．若，則點(diǎn)四點(diǎn)共面D．已知是空間向量的一組基底，若，則也是空間一組基底10．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長(zhǎng)為 D．三、填空題11．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）如圖，在平行六面體中，O是AC與BD交點(diǎn)．記，則________（結(jié)果用表達(dá)）．12．（2023秋·河北唐山·高二統(tǒng)考期末）正四面體ABCD中，若M是棱CD的中點(diǎn)，，，則______.四、解答題13．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知M，N分別為四面體A-BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點(diǎn)，且.求證：B，G，N三點(diǎn)共線.14．（2023春·四川綿陽·高二?？计谥校┤鐖D，在空間四邊形中，已知E是線段的中點(diǎn)，G在上，且．(1)試用表示向量；(2)若，求的值．B能力提升1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，當(dāng)和的長(zhǎng)度都為最短時(shí)，的值是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，，分別為，上的點(diǎn)，且，，（

）A．1 B． C．2 D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，為棱，設(shè)底邊和側(cè)棱長(zhǎng)均為4，則該正四棱錐的外接球表面積為___________；過點(diǎn)A作一個(gè)平面分別交于點(diǎn)E?F?G進(jìn)行切割，得到四棱錐，若，則的值為___________.4．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，P，Q，R分別在AB，，上，并滿足．設(shè)，，．(1)用，，表示，；(2)設(shè)的重心為G，用，，表示；(3)當(dāng)時(shí)，求a的取值范圍．

第03講1.2空間向量基本定理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解并記住共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空間向量基本定理的內(nèi)容及含義。②理解基底與基向量的含義，會(huì)用恰當(dāng)?shù)幕蛄勘硎究臻g任意向量。③會(huì)用相關(guān)的定理解決簡(jiǎn)單的空間幾何問題。1.通過對(duì)空間向量基本定理的意義的掌握與了解，會(huì)用空間向量的基底表示空間任一向量，能用正交分解及坐標(biāo)形式表示空間向量.2.結(jié)合平面向量與空間向量的基本定理，解決平面與立體幾何的相關(guān)問題.知識(shí)點(diǎn)01：空間向量基本定理1、空間向量基本定理如果向量三個(gè)向量a,b,c,不共面，那么對(duì)空間任意向量2、基底與基向量如果向量三個(gè)向量a,b,c,不共面，那么所有空間向量組成集合就是pp=xa對(duì)基底正確理解，有以下三個(gè)方面：（1）空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間的一個(gè)基底；（2）因?yàn)?可視為與任意一個(gè)非零向量共線，與任意二個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是0；（3）一個(gè)基底是由三個(gè)不共面的向量構(gòu)成的，它是一個(gè)向量組；而一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是不同的概念．【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，E是MN的三等分點(diǎn)，且NENM=13，用向量表示OE

A．OE=16C．OE=16【答案】D【詳解】因?yàn)镹ENM=1所以O(shè)M?ON=3(又OM=所以O(shè)E=故選：D

知識(shí)點(diǎn)02：空間向量的正交分解1、單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都是1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i,2、正交分解由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yi，zk使得我們把x,y,z稱作向量在單位正交基底{i,j,k}下的坐標(biāo)．記作a=x,y,z此時(shí)向量a的坐標(biāo)恰是點(diǎn)a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz3、特殊向量的坐標(biāo)表示（1）當(dāng)向量a平行于x軸時(shí)，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0，即a（2）當(dāng)向量a平行于y軸時(shí)，縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)都為0，即a（3）當(dāng)向量a平行于z軸時(shí)，橫坐標(biāo)坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為0，即a（4）當(dāng)向量a平行于xOy平面時(shí)，豎坐標(biāo)為0，即a（5）當(dāng)向量a平行于yOx平面時(shí)，橫坐標(biāo)為0，即a（6）當(dāng)向量a平行于xOz平面時(shí)，縱坐標(biāo)為0，即a題型01空間向量基底的概念及辨析【典例1】（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知a,A．a(chǎn),a?C．2a+2b【答案】B【詳解】因?yàn)閍?2b=3因?yàn)椴皇枪裁嫦蛄浚钥梢詷?gòu)成基底，B正確；因?yàn)?a+2b與a因?yàn)閍+c+故選：B.【典例2】（多選）（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)校考期中）設(shè)且a,bA．a(chǎn),b,C．b,c,【答案】BCD【詳解】如圖所示，令a=AB,b=由A、B1、C、D1四點(diǎn)不共面知：向量x,同理b,c,故選：BCD【變式1】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）a,A．a(chǎn)，a+b，a?b B．bC．c，a+b，a?b D．a(chǎn)【答案】C【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：a=對(duì)選項(xiàng)B：b=對(duì)選項(xiàng)C：假設(shè)c=λa+對(duì)選項(xiàng)D：a+2故選：C【變式2】（多選）（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）a,b,c是空間的一個(gè)基底，與A． B． C．b D．c【答案】ACD【詳解】由于b?c=a+b?因?yàn)閍,b,c是空間的一個(gè)基底，由于不存在實(shí)數(shù)對(duì)x、若成立則x+y=0x=1y=1，顯然方程組無解，故a+b、故選：ACD題型02用空間基底表示向量【典例1】（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M為OCA．14a+C．?14a【答案】C【詳解】

如圖所示，CM=故選：C【典例2】（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若AE=xAB+yA．32 B．1 C．52【答案】A【詳解】因?yàn)锳E=所以2AE=AB+AD所以x+y+z=1故選：A.【典例3】（2023·陜西·統(tǒng)考一模）空間四邊形ABCD中，AC與BD是四邊形的兩條對(duì)角線，M，N分別為線段AB，CD上的兩點(diǎn)，且滿足AM=23AB，DN=34DC，若點(diǎn)G在線段MN上，且滿足【答案】11【詳解】因?yàn)锳G=2所以x+y+z=1故答案：1112【變式1】（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)校考期中）在四面體O?ABC中，PA=2OP，Q是BC的中點(diǎn)，且M為PQ的中點(diǎn)，若OA=a，A．16a+C．13a+【答案】A【詳解】因?yàn)?OP=PA

因?yàn)镼是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)Q=因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn)，所以O(shè)M=故選：A.【變式2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，P是CA1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q

A．QP=310C．QP=310【答案】C【詳解】因?yàn)镻是CA所以AP=又因?yàn)辄c(diǎn)Q在CA1上，且所以AQ=1所以QP=故選：C.【變式3】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四面體O?ABC，G1是ΔABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG=3GA．14,1C．13,1【答案】A【詳解】如圖所示，連接AG1并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，AE=12由題設(shè)，OG=3OG所以x=y=z=1故選：A【變式4】（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，側(cè)面C【答案】12/0.512【詳解】由于AP=所以m=12，故答案為：12；1

題型03應(yīng)用空間向量基本定理證明線線位置關(guān)系【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC．【答案】證明見解析【詳解】在空間四邊形OABC中，令，則|a|=|令∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ則OG=12于是得OG=1因此，OG⊥所以O(shè)G⊥BC.【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知四面體中三組相對(duì)棱的中點(diǎn)間的距離都相等，求證:這個(gè)四面體相對(duì)的棱兩兩垂直.已知：如圖，四面體ABCD，E，F(xiàn)，G，H，K，M分別為棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中點(diǎn)，且EG=FH=【答案】證明見解析【詳解】證明：設(shè)AB則EGFH=KM=∵EG∴?∴a∴又b∴AC⊥DB∴這個(gè)四面體相對(duì)的棱兩兩垂直.【典例3】（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學(xué)考試）如圖所示，三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=a，CB=b，C(1)用a，b，c表示向量A1(2)在線段C1B1上是否存在點(diǎn)M，使AM⊥【答案】(1)?(2)當(dāng)C1M=【詳解】（1）解：因?yàn)镹是AB中點(diǎn)，所以AN=所以A；（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)M，使AM⊥A1N，設(shè)顯然λC1B因?yàn)锳M⊥A1即(c∴∵CA=CB=CC1=1，∴即12解得λ=23，所以當(dāng)C1【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D【答案】證明見解析【詳解】設(shè)AB=a，，，則{a,b,c}為空間的一個(gè)基底且因?yàn)锳B＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以a2=b在平面BDD1B1上，取BD、BB1為基向量，則對(duì)于面BDD1B1上任意一點(diǎn)P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(λ,μ)，使得所以，A1所以A1C是平面BDD1B所以A1C⊥平面BDD1B1.【變式2】（2022秋·北京順義·高二牛欄山一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD?A1B1C1D1(1)用向量AA1，(2)求證：D，M，B(3)當(dāng)AA1AB【答案】(1)MN(2)證明見解析(3)1【詳解】（1）MN=（2）證明：∵DM=AM∴DM=N（3）當(dāng)AA1AB證明：設(shè)AA∵底面ABCD為菱形，則當(dāng)AA1AB∵AC1∠A∴A∴A題型04應(yīng)用空間向量基本定理求距離、夾角【典例1】（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1【答案】6【詳解】設(shè)AB=a，AD=由已知可得a?因?yàn)??AB+AC=所以，BDAC2BD所以BD1=所以，cosB故直線BD1與AC的夾角的余弦值為【典例2】（2023秋·福建三明·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體ABCD中，，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.(1)求BC?(2)已知F是線段CD中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足EB=2AE，求線段【答案】(1)92(2)112【詳解】（1）在四面體ABCD中，設(shè)AB=a，AC=b，AD=?a,b?=∠BAC=60°，BC=|b（2）由（1）知，因?yàn)镋B=2AE，則AE=13AB=于是得EF=因此|=329所以線段EF的長(zhǎng)為112【典例3】（2023秋·浙江杭州·高二杭師大附中?？计谀┤鐖D，平行六面體ABCD?A1B1C(1)求對(duì)角線CA(2)求異面直線CA1與【答案】(1)3；(2)56【詳解】（1）因?yàn)镃B=BD=1，CB⊥所以三角形BCD為等腰直角三角形，所以CD=2又因?yàn)镃C1=CB=1所以三角形CC以向量CB,則有CA兩邊平方得C==1+1+2+2×1×=9，所以|C即|CA所以對(duì)角線CA（2）因?yàn)镃A1=CB+CD+所以C=(==1+=5所以cos<即異面直線CA1與DA所成角的余弦值為【典例4】（2023·高一單元測(cè)試）如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別是A1B,B(1)試用a，b，c表示向量MN；(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CA【答案】(1)(2)5【詳解】（1）解：MN==?=1∴；（2）解：，∵∠BAC=90°,，∴|MN，即MN的長(zhǎng)為53【變式1】（2023春·廣西南寧·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，(1)求DB(2)求向量與AB夾角的余弦值.【答案】(1)15；(2)155【詳解】（1）在平行六面體ABCD?A1B因?yàn)锳B=2，，AD=1且∠DAB=∠則AB?DB所以|=2（2）由（1）知，DB1=又DB1=15，所以向量與AB【變式2】（2023·全國·校聯(lián)考一模）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)．設(shè)AB=a，AC=(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．【答案】(1)證明過程見解析；(2)【詳解】（1）證明：連接DE，因?yàn)榭臻g四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以AC=BC,BD=AD，故CE⊥又因?yàn)镃E∩DE=E，CE,DE?平面CDE，所以AB⊥平面CDE，因?yàn)槠矫鍯DE，所以AB⊥（2）由題意得：△ABC,所以AG=EC=AG=12所以AG==1設(shè)異面直線AG和CE所成角為θ，則cos【變式3】（2023秋·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AM的長(zhǎng)為3，且∠MAB=∠MAD=60°，N是CM的中點(diǎn)，設(shè)，b=AD，c=AM，用a、b、c表示向量BN，并求【答案】BN=?1【詳解】解：因?yàn)镹是CM的中點(diǎn)，底面ABCD是正方形，所以BN=AD又由題意，可得a=AB=2，b=AD∠DAB=90°因此BN=1所以BN=172，即BN第03講1.2空間向量基本定理A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知BA,BC,BB1為三條不共面的線段，若AC1=xA．1 B．76 C．56 【答案】B【詳解】根據(jù)向量加法法則可得：AC即AC因?yàn)锳C所以x=1，2y=1，3z=?1，所以x=1，y=12，z=?1故選：B.2．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）對(duì)于空間任意一點(diǎn)?O?和不共線的三點(diǎn)，有如下關(guān)系：OP=16OAA．O,A,B,C四點(diǎn)必共面 B．P,A,B,C四點(diǎn)必共面C．O,P,B,C四點(diǎn)必共面 D．O,P,A,B,C五點(diǎn)必共面【答案】B【詳解】對(duì)于空間任一點(diǎn)?O?和不共線三點(diǎn)，若點(diǎn)?P?滿足OP=xOA+yOB+zOC而OP=16OA+故選：B.3．（2023春·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a,b,c是空間的一個(gè)基底，則可以與向量m=A．2a+2b?c B．a(chǎn)+4【答案】C【詳解】因?yàn)?aa+4a?2所以向量2a+2b?c，a+4b故選：C4．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知四面體O?ABC，G是△ABC的重心，P是線段OG上的點(diǎn)，且OP=2PG，若，則x,y,z為（

）A．16,16,16 B．【答案】B【詳解】由題意知，∵OP=2∴OP=故選：B．5．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知直線AB，BC，不共面，若四邊形BB1C1C的對(duì)角線互相平分，且ACA．1 B．56 C． D．11【答案】D【詳解】由題意，知AB，BC，BB1不共面，四邊形BB∴ABCC1，又A∴x=2y=3z=1，∴x=1，y=12，∴x+y+z=故選：D.6．（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學(xué)考試）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=1A．1 B．2 C． D．2【答案】C【詳解】以AB,AD,則B=1+2+2?2×=5?4×1∴BD故選：C.7．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，側(cè)面A1ADD1是正方形，且∠A1AB=120°A．9 B．7 C．3 D．7【答案】D【詳解】解：在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，四邊形所以P是C1所以，AP=又AB?AD=2，AB所以AP=14AB故選：D．8．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)G為△ABC的重心，點(diǎn)M在PG上，且PM=3MG，過點(diǎn)M任意作一個(gè)平面分別交線段PA，PB，PC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若PD=mPA，PE=nPB，PF=tA．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)H，以PA,由于G是△ABC的重心，點(diǎn)M在PG上，且PM=3MG，所以PM==1連接DM，因?yàn)镈,E,F,M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)x,y，使得DM=x即PM?PM=1?x?y由①②以及空間向量的基本定理可知：1?x?ym=41?x?y所以1m故選：C二、多選題9．（2023春·江蘇常州·高二?？奸_學(xué)考試）給出下列命題，其中正確的有（

）A．已知向量a∥b，則B．是空間四點(diǎn)，若BA,BM,BNC．若OP+OA+D．已知a,b,c是空間向量的一組基底，若【答案】ABD【詳解】對(duì)A：若a∥b，則a,對(duì)B：若BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一組基底，則對(duì)C：若OP+OA+∵?1+?1故點(diǎn)P,A,B,C四點(diǎn)不共面，C錯(cuò)誤；對(duì)D：∵a,b,若，則a,b,m故選：ABD.10．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為A．BM=12C．AC1的長(zhǎng)為5 【答案】BD【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A選項(xiàng)，BM=對(duì)于B選項(xiàng)，AC對(duì)于C選項(xiàng)，AC1=則AC1對(duì)于AB?AC故選：BD.三、填空題11．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，則B1O=【答案】?【詳解】在平行六面體ABCD?A1B1C1D即BO=所以B1故答案為：?12．（2023秋·河北唐山·高二統(tǒng)考期末）正四面體ABCD中，若M是棱CD的中點(diǎn)，AP=λAM，AB+【答案】【詳解】因?yàn)锳B+BP=即λAM=1下面證明：已知OB=xOA+yOC，若因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在非零實(shí)數(shù)t，使得AB=tAC即OB?OA=t故x=1?t，y=t，所以x+y=1，因?yàn)镸,C,D三點(diǎn)共線，故16λ+1故答案為：四、解答題13．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知M，N分別為四面體A-BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點(diǎn)，且.求證：B，G，N三點(diǎn)共線.【答案】證明見解析.【詳解】證明：取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，因?yàn)镸，N分別為四面體A-BCD的面DCD與面ACD的重心，所以M在BE上，N在AE上，設(shè)AB=a，AC=因?yàn)镸為△BCD的重心，所以AM===因?yàn)镚M=GA=1:3，所以AG=所以BG=同理得BN=∴BN∥又BN∩BG=B，∴B，G，N三點(diǎn)共線14．（2023春·四川綿陽·高二?？计谥校┤鐖D，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點(diǎn)，G在AE上，且AG=2GE．(1)試用表示向量OG；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)28【詳解】（1）∵，∴，∴又∴（2）由（1）可得知=．B能力提升1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，點(diǎn)M滿足AM=xAB+yAC+1?x?yAD(x,y∈R)，點(diǎn)N滿足，當(dāng)AMA． B．?13 C． D．?【答案】A【詳解】因AM=xAB+yAC+而x,y∈R，則DM,DB,DC共面，點(diǎn)又，即CN=λCA，于是得點(diǎn)N在直線AC棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，當(dāng)AM長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)M是點(diǎn)A在平面BCD上的射影，即正△B