數(shù)學模塊綜合測評（一）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精模塊綜合測評（一）（時間120分鐘,滿分150分）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題(請把正確答案填入括號內(nèi)，每小題5分,共60分）1。下列有關坐標系的說法，錯誤的是（）A。在直角坐標系中,通過伸縮變換圓可以變成橢圓B.在直角坐標系中，平移變換不會改變圖形的形狀和大小C。任何一個參數(shù)方程都可以轉化為直角坐標方程和極坐標方程D.同一條曲線可以有不同的參數(shù)方程解析：直角坐標系是最基本的坐標系，在直角坐標系中,伸縮變換可以改變圖形的形狀,但是必須是相近的圖形可以進行伸縮變化得到,例如圓可以變成橢圓；而平移變換不改變圖形的形狀和大小而只改變圖形的位置；對于參數(shù)方程,有些比較復雜的是不能化成普通方程的,同一條曲線根據(jù)參數(shù)選取的不同可以有不同的參數(shù)方程。答案：C2.把函數(shù)y=sin2x的圖象經(jīng)過__________變化，可以得到函數(shù)y=sinx的圖象.(）A。橫坐標縮短為原來的倍,縱坐標伸長為原來的2倍B.橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標伸長為原來的2倍C。橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標縮短為原來的倍D。橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標縮短為原來的倍解析:本題主要考查直角坐標系的伸縮變換,根據(jù)變換的方法和步驟,可知把函數(shù)y=sin2x的圖象的橫坐標伸長為原來的2倍可得y=sinx的圖象,再把縱坐標縮短為原來的，得到y(tǒng)=sinx的圖象.答案:D3.極坐標方程ρ2—ρ(2+sinθ)+2sinθ=0表示的圖形是(）A。一個圓與一條直線B.一個圓C。兩個圓D.兩條直線解析：所給方程可以化為（ρ-2)(ρ—sinθ）=0，即ρ=2或ρ=sinθ.化成直角坐標方程分別為x2+y2=4和x2+y2-y=0，可知分別表示兩個圓.答案：C4.極坐標ρ2cos2θ-2ρcosθ=1表示的曲線是（）A.圓B。橢圓C。拋物線D。雙曲線解析：所給的極坐標方程可以化為ρ2(cos2θ-sin2θ)-2ρcosθ=1，化為直角坐標方程是x2—y2—2x=1，即=1，顯然表示雙曲線.答案：D5.極坐標系中，圓ρ=4cosθ+3sinθ的圓心的極坐標是()A.(，arcsin)B.(5，arcsin）C.(5，arcsin）D.(，arcsin）解析：將原方程化為直角坐標方程得(x—2)2+(y—)2=，圓心坐標為（2,），化為極坐標為(，arcsin)。答案：A6.圓心是（ρ0，θ0）,半徑為r的圓的極坐標方程為（)A.ρ2-2ρ0ρcos(θ—θ0）+ρ02-r2=0B。ρ2+2ρ0ρcos（θ—θ0）+ρ02—r2=0C。ρ2—2ρ0ρcos（θ+θ0）+ρ02-r2=0D.ρ2+2ρ0ρcos(θ+θ0)+ρ02-r2=0解析:根據(jù)圓的定義，極坐標系內(nèi)兩點的距離公式，M（ρ,θ)是圓上任意一點，O′(ρ0，θ0）為圓心。則有｜MM0|==rρ2+ρ02—2ρ0ρcos(θ-θ0)—r2=0.答案:A7。曲線（θ為參數(shù)）上的點到兩坐標軸的距離之和的最大值是()A.B.C.1D。解析:因為曲線表示單位圓,其圓心在原點,半徑為1，所以曲線上的點到兩坐標軸的距離之和不小于1,且不會恒等于1（這是因為直角三角形兩直角邊之和大于斜邊之緣故),故最大值必大于1，排除A、B、C，選D。答案：D8。由方程x2+y2—4tx—2ty+3t2—4=0(t為參數(shù)）所表示的一組圓的圓心軌跡是（)A.一個定點B.一個橢圓C.一條拋物線D.一條直線解析:由原方程,得(x-2t）2+(y—t）2=4+2t2。設圓心坐標為（x,y），則消去t，得x=2y。軌跡是一條直線。答案：D9.已知雙曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，在下列直線的參數(shù)方程中(以上方程中,t為參數(shù)),可以作為雙曲線C的漸近線方程的是(）A。①③⑤B。①⑤C。①②④D.②④⑤解析:由雙曲線的參數(shù)方程知在雙曲線中對應的a=3，b=4且雙曲線的焦點在x軸上，因此其漸近線方程是y=±43x。檢驗所給直線的參數(shù)方程可知只有①③⑤適合條件.答案：A10。已知P點的柱坐標是(2,，1）,點Q的球坐標為（1，,），根據(jù)空間坐標系中兩點A(x1,y1,z1）、B(x2，y2，z2)之間的距離公式｜AB|=（x1—x2)2+(y1-y2）2+(z1—z2）2,可知P、Q之間的距離為（）A。3B.2C。5D.解析：首先根據(jù)柱坐標和空間直角坐標之間的關系,把P點的柱坐標轉化為空間直角坐標(，,1),再根據(jù)球面坐標與空間直角坐標之間的關系把Q點的球坐標轉化為空間直角坐標(,，0),代入兩點之間的距離公式即可得到距離為.答案：B11。已知一個圓的參數(shù)方程是（θ為參數(shù))，那么圓的擺線方程中參數(shù)φ=對應的點的坐標與點(，2）之間的距離為()A。—1B。C。D。解析：根據(jù)圓的參數(shù)方程可知圓的半徑是3,那么其對應的擺線的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)）,把φ=代入?yún)?shù)方程易得代入距離公式,可得距離為答案：C12.過拋物線（t為參數(shù)）的焦點的弦長為2，則該弦所在直線的傾斜角為(）A.B.或C.D.或解析一：將拋物線的參數(shù)方程化成普通方程為y2=x，它的焦點為（,0）。設弦所在直線的方程為y=k（x—）。由消去y，得64k2x2-48(k2+2）x+9k2=0,設弦的兩端點坐標為（x1，y1)、（x2,y2），則｜x1-x2|====∵∴=2。∴k2=3,k=±.∴直線的傾斜角為。解析二：由拋物線的參數(shù)方程得y2=x，它的焦點為（，0）。設弦所在直線的參數(shù)方程為(m為參數(shù))，代入y2=x,得m2sin2α-cosα·m—=0?！?4，即9cos2α+9sin2α=16sin4α?！鄐in4α=,sin2α=34,sinα=±?！唳?或α=.答案:B第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（請把正確答案直接填到題后的橫線上，每小題4分，共16分）13。極坐標方程ρ=cos(-θ)所表示的曲線是___________。解析：方程可化為ρ=（cosθ+sinθ)，所以ρ2=（ρcosθ+ρsinθ）.轉化為直角坐標方程為x2+y2=(x+y）,即(x-)2+(y—）2=。答案：以（,）為圓心,半徑為的圓14.將參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為___________.解析：將x=t+兩邊平方，得x2=t2++2,∴y=x2—2。其中y=t2+≥2t2·=2.答案:y=x2—2(y≥2)15。拋物線y2=2px(p＞0)的一條過焦點的弦被焦點分成m、n長的兩段，則=___________.解析：利用參數(shù)方程，結合參數(shù)的幾何意義.設過焦點（p2,0）的直線方程為（t為參數(shù)），代入拋物線的方程得(tsinθ)2=p+2tcosθ,即t2sin2θ—2tcosθ-p=0。設此方程的兩個實根分別為t1、t2,則根據(jù)根與系數(shù)關系可得t1+t2=，t1t2=—.而根據(jù)參數(shù)的幾何意義可得代入化簡即得答案。答案：16.漸開線（φ為參數(shù))的基圓的圓心在原點,把基圓的橫坐標伸長為原來的2倍得到的曲線的焦點坐標為___________。解析：根據(jù)擺線方程可知基圓的半徑為6,則基圓的方程為x2+y2=36，把橫坐標伸長為原來的2倍，得到橢圓方程+y2=36,即=1，對應的焦點坐標為(6,0）和(-6,0)。答案:(6，0）和(—6,0)三、解答題（請寫出詳細的做題步驟,共74分）17.（本小題滿分12分）說明由函數(shù)y=2x的圖象經(jīng)過怎樣的圖象變換可以得到函數(shù)y=4x-3+1的圖象.解析：本題主要考查直角坐標的變換方法,主要有平移變換和伸縮變換,平移變換改變圖象的位置，伸縮變換改變圖象的形狀或大小。解：因為y=4x-3+1=22x-6+1,所以只需把y=2x的圖象經(jīng)過下列變換就可以得到y(tǒng)=4x-3+1的圖象。先把縱坐標不變，橫坐標向右平移6個單位，得到函數(shù)y=2x-6的圖象；然后把橫坐標縮短為原來的12，縱坐標不變,得到函數(shù)y=22x—6的圖象；再把所得函數(shù)圖象的橫坐標不變,縱坐標向上平移1個單位即得函數(shù)y=4x-3+1的圖象。18。（本小題滿分12分)在平面內(nèi)一動點P到兩定點A、B距離之積等于這兩定點間距離的一半的平方,求P點軌跡的極坐標方程.解析：首先根據(jù)條件建立合適的極坐標系,結合圖形，根據(jù)動點滿足的關系,建立方程,化簡即得所求軌跡的極坐標方程.解：如圖,以A、B兩點連線的中點O為極點,OB射線為極軸建立極坐標系。設｜AB|=2a,則A（a，π)，B(a,0),P(ρ，θ在△POA和△POB中，｜PA|=|PB|=.∵|PA｜·｜PB|=a2，∴=a2?；喌忙?=2a2cos2θ19。(本小題滿分12分)設拋物線以O為頂點,F為焦點，PQ是過焦點F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，求△OPQ的面積。解析：由本題條件|PQ｜=b，求△OPQ的面積,宜建立極坐標系。根據(jù)拋物線的極坐標方程的特點，可以把拋物線的焦點作為極點，以拋物線的對稱軸為極軸建立極坐標系。解：如圖，以F為極點，拋物線的對稱軸為極軸建立極坐標系.則拋物線的方程為ρ=設點P的極角為θ〔θ∈（0,π）〕，則點Q的極角為π+θ。所以｜PQ|=ρP+ρQ=,即=b。所以sinθ=2。又S△OPF=12a·｜PF｜sinθ，S△OQF=a｜FQ|sinθ，故S△OPQ=S△OPF+S△OQF=a(|FP|+｜FQ｜）sinθ=absinθ=a.20。(本小題滿分12分)已知A1（-a，0)、A2(a,0）是橢圓長軸的兩個端點（a〉0)，橢圓離心率為，P是橢圓上異于A1、A2的動點，直線l1過A1且垂直于PA1，直線l2過A2且垂直于PA2,求l1與l2的交點Q的軌跡方程.解析:本題是設參數(shù)求動點軌跡的典型問題.由于動點的坐標x、y直接的關系比較復雜，不容易直接求得,故而改為求x、y與第三個變量(參數(shù)）之間的關系。聯(lián)立即得動點的軌跡參數(shù)方程，消去參數(shù)即得普通方程.解：因為e=a2=4b2,故橢圓的方程為x2+4y2=a2.由橢圓的參數(shù)方程（θ為參數(shù))（a〉b>0）,可設P（acosθ,a2sinθ），則kPA1=，kPA2=所以直線l1的方程為直線l2的方程為以上兩個方程聯(lián)立就是動點Q的軌跡方程。兩式相除可得cosθ=—,代入①可得∵sin2θ+cos2θ=1,∴=1.化簡得4x2+y2=4a2,這就是動點Q21.(本小題滿分12分)已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），它與曲線（y—2）2—x2=1交于A、B兩點。（1)求｜AB｜的長;（2)求點P（—1,2）到線段AB中點C的距離.解析:本題主要考查直線參數(shù)方程以及直線與曲線的位置關系。首先把直線的參數(shù)方程代入曲線方程,可以得到關于參數(shù)t的二次方程,根據(jù)參數(shù)的有關意義可以解決此問題.解：（1）把直線的參數(shù)方程對應的坐標代入曲線方程并化簡得7t2+6t-2=0。設A、B對應的參數(shù)分別為t1、t2,則t1+t2=—67，t1t2=—。所以線段|AB|的長為｜t1—t2｜=5（2)根據(jù)中點坐標的性質可得AB中點C對應的參數(shù)為。所以由t的幾何意義可得點P（—1,2)到線段AB中點C的距離為·｜-｜=。22。（本小題滿分14分）已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上且長軸長為4,短軸長為2,直線l的參數(shù)方