2024-2025學(xué)年廣西壯族自治區(qū)南寧市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣西壯族自治區(qū)南寧市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)，則z的虛部為（）A. B. C. D.3.已知空間向量，，且與垂直，則等于（）A. B. C. D.4.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若實(shí)數(shù)m滿足，則曲線與曲線的（）A.離心率相等 B.焦距相等 C.實(shí)軸長(zhǎng)相等 D.虛軸長(zhǎng)相等6.已知橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若，則的面積為（）A. B. C. D.7.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的右半支上，點(diǎn)，則的最小值為（）A B.4 C.6 D.8.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)Px1,y1是A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B.若，則直線傾斜角為C.若直線過點(diǎn)，且它的傾斜角為，則這條直線必過點(diǎn)D.直線的縱截距為10.已知點(diǎn)在拋物線（）上，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）A. B.點(diǎn)F的坐標(biāo)為C.直線AQ與拋物線相切 D.11.已知正方體棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)N是底面正方形ABCD內(nèi)及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括點(diǎn)），已知，P為MN中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.無論M，N在何位置，為異面直線 B.若M是棱中點(diǎn)，則點(diǎn)P軌跡長(zhǎng)度為C.M，N存在唯一的位置，使平面 D.AP與平面所成角的正弦最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.兩條平行直線與之間的距離是__________.13.若圓與圓相內(nèi)切，則______.14.已知雙曲線焦點(diǎn)分別為為雙曲線上一點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為____________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.分別求出適合下列條件的方程：（1）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程；（2）已知圓C的圓心在軸上，并且過原點(diǎn)和，求圓C的方程.16.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是等邊三角形，平面分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.18.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，求證：（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為定值.19.已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)直線交雙曲線于兩點(diǎn).（1）若離心率時(shí)，求的值．（2）若為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)，若，求的取值范圍．2024-2025學(xué)年廣西壯族自治區(qū)南寧市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】首先求，再求交集.【詳解】，，所以.故選：B2.復(fù)數(shù)，則z的虛部為（）A B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而可求虛部.【詳解】，故的虛部為，故選：B3.已知空間向量，，且與垂直，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意可得，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，且與垂直，則，解得.故選：A.4.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】先求出兩直線垂直的充要條件，進(jìn)而根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若直線與直線垂直，則，解得，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：A.5.若實(shí)數(shù)m滿足，則曲線與曲線的（）A.離心率相等 B.焦距相等 C.實(shí)軸長(zhǎng)相等 D.虛軸長(zhǎng)相等【正確答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一分析判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以曲線與曲線都是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，，所以兩曲線的焦點(diǎn)和焦距都相同，故B正確；因?yàn)?，所以離心率不相等，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?shí)軸長(zhǎng)不相等，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以虛軸長(zhǎng)不相等，故D錯(cuò)誤.故選：B.6.已知橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若，則的面積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】首先得，進(jìn)一步得焦距，由橢圓定義結(jié)合得，由此即可進(jìn)一步求解.【詳解】由題意，所以，因?yàn)椋?，而，所以，所以的面積為.故選：C.7.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的右半支上，點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.4 C.6 D.【正確答案】D【分析】首先利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化，再結(jié)合圖象，求的最小值，再聯(lián)立方程求交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題意并結(jié)合雙曲線的定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.而直線的方程為，由可得，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為32,所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為32,12時(shí)，的最小值為故選：D.8.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)Px1,y1是A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由點(diǎn)Px1,y1在上，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式和橢圓的定義求出即，再利用內(nèi)切圓的性質(zhì)得到，即可求出的離心率.【詳解】設(shè)，則F1?c,0，；由點(diǎn)Px1,y1在上，則有所以；又，所以，，則；如圖1，由焦點(diǎn)的內(nèi)切圓可得：，，，所以；又，所以，即，故選：A．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是推理出二級(jí)結(jié)論：點(diǎn)Px1,y1在橢圓上，則，，再結(jié)合內(nèi)切圓的性質(zhì)，建立關(guān)于的等量關(guān)系二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B.若，則直線的傾斜角為C.若直線過點(diǎn)，且它的傾斜角為，則這條直線必過點(diǎn)D.直線的縱截距為【正確答案】BCD【分析】根據(jù)每一個(gè)選項(xiàng)具體直線，以及直線的性質(zhì)判斷每一個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】?jī)A斜角為銳角，斜率為正；傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，故A錯(cuò)；由于的橫坐標(biāo)相等，即直線與軸垂直，故傾斜角為，故B對(duì)；由題設(shè)，直線方程為，顯然在直線上，故C對(duì)；直線在軸上的截距為，故D對(duì).故選：BCD10.已知點(diǎn)在拋物線（）上，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）A. B.點(diǎn)F坐標(biāo)為C.直線AQ與拋物線相切 D.【正確答案】AC【分析】將代入拋物線可得，即可判斷ABD,根據(jù)直線與拋物線聯(lián)立后判別式為0，即可求解.【詳解】將代入中可得，故，F(xiàn)1,0,A正確，B錯(cuò)誤，,則AQ方程為，則，，故直線AQ與拋物線相切，C正確，由于軸，所以不成立，故D錯(cuò)誤，故選：AC11.已知正方體棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)N是底面正方形ABCD內(nèi)及邊界上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括點(diǎn)），已知，P為MN中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.無論M，N在何位置，為異面直線 B.若M是棱中點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C.M，N存在唯一的位置，使平面 D.AP與平面所成角的正弦最大值為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)相交，而即可判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算可判斷P的軌跡長(zhǎng)度為半徑為的圓的，即可判斷B，根據(jù)法向量與方向向量垂直即可判斷C,根據(jù)線面角的向量法，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由于相交，而，因此為異面直線，A正確，當(dāng)M是棱中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè),故，且，由于，故，化簡(jiǎn)得，由于，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為半徑為的圓的，故長(zhǎng)度為，B正確，設(shè),則，且，，,設(shè)平面的法向量為，則，令，則,，故，由于，故，化簡(jiǎn)得，聯(lián)立，故解不唯一，比如取，則或取，故C錯(cuò)誤，由于平面，平面，故,又四邊形為正方形，所以,平面，所以平面，故平面的法向量為，設(shè)AP與平面所成角為，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，x∈0,2時(shí)，令，則，故，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，由且可得因此，由于，，故的最大值為，故D正確，、故選：ABD方法點(diǎn)睛：立體幾何中與動(dòng)點(diǎn)軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對(duì)點(diǎn)線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動(dòng)點(diǎn)符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計(jì)算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.兩條平行直線與之間的距離是__________.【正確答案】12##【分析】借助兩平行線間的距離公式計(jì)算即可得.【詳解】平行直線與之間的距離為.故答案為.13.若圓與圓相內(nèi)切，則______.【正確答案】-23【分析】求出兩圓的圓心，確定在圓外部，所以圓內(nèi)切于圓，由圓心距得到方程，計(jì)算即可.【詳解】由，顯然，圓相內(nèi)切，將點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程知，即在圓外部，所以圓內(nèi)切于圓，則有，解之得.故14.已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為為雙曲線上一點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為____________.【正確答案】【分析】設(shè)，先利用余弦定理得，然后根據(jù)，兩邊同時(shí)平方得，進(jìn)而計(jì)算可得答案.【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)，又，所以，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，所以兩邊平方得，所以，即，即，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.分別求出適合下列條件的方程：（1）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程；（2）已知圓C的圓心在軸上，并且過原點(diǎn)和，求圓C的方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)拋物線定義，確定值，即可求解.（2）由已知,設(shè)出圓C方程x2+(y?b)2=r2r>0，代入原點(diǎn)和，可得【小問1詳解】因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，準(zhǔn)線為，故，則，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】因?yàn)閳AC的圓心在軸上，則設(shè)圓C方程為x2由已知，圓C過原點(diǎn)和，由已知，解得，所以圓C方程為.16.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).【正確答案】（1）（2）.【分析】（1）根據(jù)二倍角公式，結(jié)合正弦定理邊角互化，即可求解，（2）根據(jù)面積公式可得的值，結(jié)合余弦定理即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所?根據(jù)正弦定理，得，因?yàn)椋?又，所以.【小問2詳解】在中，由已知，因?yàn)橛捎嘞叶ɡ砜傻茫?，即，又,所以.所以的周長(zhǎng)周長(zhǎng)為.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是等邊三角形，平面分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由線面垂直得到，再由線面垂直的判定定理得到結(jié)果即可；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，代入空間二面角公式求解即可；【小問1詳解】是等邊三角形，是的中點(diǎn)，，又平面平面，又平面平面平面.【小問2詳解】由（1）得平面，連接，建立以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，則，，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則取，則平面的法向量為，又平面的法向量為，平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知橢圓左?右焦點(diǎn)分別為為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，求證：（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為定值.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由題意可得，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算可得，即可得；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合面積公式與所給等式計(jì)算即可得解.【小問1詳解】根據(jù)題意，，在橢圓上頂點(diǎn)，此時(shí).所以，則求橢圓的方程；【小問2詳解】如圖所示，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程得，.，又，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，且，所以，綜上，的面積為定值.19.已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn).（1）若離心率時(shí)，求的值．（2）若為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)，若，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)離心率公式計(jì)算即可；（2）分三角形三邊分別為底討論即可；（3）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再代入計(jì)算向量數(shù)量積的等式計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意得，則，．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，雙曲線，其中，，因?yàn)闉榈妊切?，則①當(dāng)以為底時(shí)，顯然點(diǎn)在直線上，這與點(diǎn)在第一象限矛盾，故舍去；②當(dāng)以為底時(shí)，，設(shè)，則,聯(lián)立解得或或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一