六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 【典型例題系列】典型例題系列之第一單元圓柱與圓錐提高篇（一） 帶解析（北師大）

六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列之第一單元圓柱與圓錐提高篇（一）（解析版）編者的話：《六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列》是基于教材知識(shí)點(diǎn)和常年考點(diǎn)考題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要包含典型例題和專項(xiàng)練習(xí)兩大部分。典型例題部分是按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。專項(xiàng)練習(xí)部分是從?？碱}和期末真題中選取對(duì)應(yīng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。本專題是第一單元圓柱與圓錐提高篇（一）。本部分內(nèi)容主要選取圓柱與圓錐單元較有難度的題型，也是期末考試常見的考點(diǎn)考題，建議把該部分作為本章核心內(nèi)容進(jìn)行講解，一共劃分為十一個(gè)考點(diǎn)，歡迎使用?！究键c(diǎn)一】圓柱表面積的三種增減變化：高的變化引起表面積的變化。【方法點(diǎn)撥】底面積不變，圓柱高的變化引起表面積的變化，由于底面積沒有變，所以實(shí)際上發(fā)生變化的是側(cè)面積，由此可以求出底面周長(zhǎng)，進(jìn)而求出表面積。底面周長(zhǎng)C=變化的表面積÷變化的高度。【典型例題】一個(gè)圓柱被截去10厘米后（如下圖），圓柱的表面積減少了628平方厘米，原來圓柱的表面積是多少平方厘米？（π取3.14）解析：圓柱的底面周長(zhǎng)：628÷10=62.8（厘米）底面半徑：62.8÷2÷3.14=10（厘米）原來圓柱的表面積：3.14×102×2+62.8×（15+10）=628+1570=2198（平方厘米）答：原來圓柱的表面積是2198平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓柱體，高減少2厘米，表面積就減少了50.24平方厘米，圓柱的底面積是多少平方厘米？解析：底面周長(zhǎng)：50.24÷2=25.12（厘米）底面圓的半徑：25.12÷2÷3.14=4（厘米）底面積：3.14×42=50.24（平方厘米）答：圓柱的底面積是50.24平方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓柱的底面直徑為4厘米，如果高增加1厘米，表面積增加多少平方厘米。解析：底面周長(zhǎng)：3.14×4=12.56（厘米）表面積增加：12.56×1=12.56（平方厘米）答：表面積增加12.56平方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓柱的底面周長(zhǎng)和高相等，如果高縮短了2厘米，表面積就減少12.56平方厘米，求這個(gè)圓柱體原來的表面積？解析：底面周長(zhǎng)：12.56÷2=6.28（厘米）側(cè)面積：6.28×6.28=39.4384（平方厘米）兩個(gè)底面積：6.28×3.14÷2=1（厘米）3.14×12×2=6.28（平方厘米）表面積：39.4384+6.28=45.7184（平方厘米）答：圓柱原來的表面積是45.7184平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)4】一個(gè)圓柱被截去后，圓柱的表面積減少了（如下圖），原來圓柱的表面積是多少平方厘米？解析：底面周長(zhǎng)：62.8÷10＝6.28（cm）底面半徑：6.28÷3.14÷2＝2÷2＝1（cm）原來的表面積：3.14×12×2＋6.28×（10＋15）＝6.28＋6.28×25＝6.28＋157＝163.28（cm2）答：原來圓柱的表面積是163.28平方厘米?！究键c(diǎn)二】圓柱表面積的三種增減變化：橫切引起的表面積變化?！痉椒c(diǎn)撥】平行于底面切（橫切）一刀：多出的兩個(gè)面是底面，即兩個(gè)圓?！镜湫屠}】如圖，一根長(zhǎng)4米，橫截面是半徑為2分米的圓柱形木料被截成同樣長(zhǎng)的2段后。表面積比原來增加了多少平方分米？（π取3.14）解析：3.14×22×2=25.12（平方分米）答：增加了25.12平方分米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】把一段長(zhǎng)1米，側(cè)面積18.84平方米的圓柱體的木料，沿著平行于底面的方向截成兩段，這時(shí)它的表面積增加了多少平方米？解析：底面圓的周長(zhǎng)：18.84÷1=18.84（米）底面圓的半徑：18.84÷3.14÷2=3（米）增加的面積：3.14×32×2=56.52（平方米）答：增加了56.52平方米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】把一個(gè)半徑2分米、長(zhǎng)1米的圓木平均截成3段，表面積共增加多少平方分米？解析：（3.14×22）×6＝12.56×6＝75.36（平方分米）所以，表面積共增加了75.36平方分米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】把一個(gè)底面半徑是40cm，長(zhǎng)是12分米的圓柱形木頭鋸成長(zhǎng)短不同的4小段圓柱形木頭，表面積增加了多少平方分米？解析：40cm＝4dm3.14×42×6＝3.14×16×6＝50.24×6＝301.44（dm2）答：表面積增加了301.44平方分米?！究键c(diǎn)三】圓柱表面積的三種增減變化：豎切引起的表面積變化。【方法點(diǎn)撥】垂直于底面切（豎切）：多出的兩個(gè)面是長(zhǎng)方形，即以底面圓的直徑為長(zhǎng)，以圓柱的高為寬的長(zhǎng)方形?！镜湫屠}】工人把一根高是1米的圓柱形木料，沿底面直徑平均分成兩部分，這時(shí)兩部分的表面積之和比原來增加了0.8平方米。求這根木料原來的表面積。解析：由題意可知，增加了兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積。一個(gè)長(zhǎng)方形的面積：0.8÷2=0.4（平方米）底面圓的直徑：0.4÷1=0.4（米）底面圓的半徑：0.4÷2=0.2原來的表面積：3.14×0.22×2+3.14×0.4×1=1.5072（平方米）答：原來的表面積是1.5072平方米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)底面半徑4cm，高5cm的圓柱，如果沿底面直徑把它平均切成兩半，它的表面積增加了多少平方厘米？解析：由題意可知，表面積增加了2個(gè)長(zhǎng)方形。2×4×5×2=80（平方厘米）答：表面積增加了80平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，把一個(gè)高10厘米的圓柱沿底面直徑垂直切成兩部分，這兩部分的表面積之和比原來增加了200平方厘米，原來圓柱的表面積是多少平方厘米？（結(jié)果可用含有的式子表示）解析：200÷2＝100（平方厘米）100÷10＝10（厘米）π×10×10＋π×（10÷2）2×2＝100π＋50π＝150π（平方厘米）答：原來圓柱的表面積是150π平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)底面周長(zhǎng)是、高是的圓柱，沿底面直徑垂直把它切割成完全相同的兩部分后，切割面的面積一共是多少平方厘米？解析：切割后如圖所示，切面是兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形，寬是圓柱的底面直徑，即，長(zhǎng)是圓柱的高，即。根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式可求出切割面的面積一共是多少。；＝18×2＝36（平方厘米）答：切割面的面積一共是。【對(duì)應(yīng)練習(xí)4】把一個(gè)高為5厘米的圓柱從直徑處沿高剖成兩上半圓柱，這兩個(gè)半圓柱的表面積比原來增加80平方厘米，求原來圓柱的表面積。解析：圓柱的直徑是：80÷2÷5＝8（厘米）圓柱的表面積是：3.14×（8÷2）2×2＋3.14×8×5＝3.14×16×2＋3.14×8×5＝100.48＋125.6＝226.08（平方厘米）答：原來圓柱的表面是226.08平方厘米?！究键c(diǎn)四】圓柱表面積的三種增減變化方式在體積中的應(yīng)用?！痉椒c(diǎn)撥】1.圓柱高的變化引起表面積的變化：由于底面積沒有變，所以實(shí)際上發(fā)生變化的是側(cè)面積，由此可以求出底面周長(zhǎng)，進(jìn)而求出表面積，即底面周長(zhǎng)C=變化的表面積÷變化的高度。2.橫切引起的表面積變化。平行于底面切（橫切）一刀，多出的兩個(gè)面是底面，即兩個(gè)圓。3.豎切引起的表面積變化。垂直于底面切（豎切），多出的兩個(gè)面是長(zhǎng)方形，即以底面圓的直徑為長(zhǎng)，以圓柱的高為寬的長(zhǎng)方形。【典型例題1】一個(gè)圓柱，如果把它的高截短3m，它的表面積就會(huì)減少，那么這個(gè)圓柱的體積減少多少立方米？解析：；答：這個(gè)圓柱的體積減少235.5立方米。【典型例題2】把一根長(zhǎng)4米的圓柱形鋼材截成兩段，表面積比原來增加15.7平方厘米。這根鋼材的體積是多少立方厘米？解析：4米＝400厘米15.7÷2×400＝3140（立方厘米）答：這根鋼材的體積是3140立方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】將一根底面直徑是的圓柱形木料，沿高切成形狀、大小完全相同的兩塊后，表面積增加了。這根圓柱形木料的體積是多少立方分米？解析：＝180÷6＝30（分米）＝28.26×30＝847.8（立方分米）答：這根圓柱形木料的體積是?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】把一根長(zhǎng)為1.2米的圓柱形鋼材截成3段,表面積增加了6.28平方分米，原來這根鋼材的體積是多少?解析：1.2米=12分米6.28÷4=1.57（平方分米）1.57×12=18.84（立方分米）答：這根鋼材原來的體積是18.84立方分米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓柱高為15厘米，把它的高增加2厘米后表面積增加25.12平方厘米，求原來圓柱的體積。解析：圓柱的底面周長(zhǎng)：25.12÷2=12.56（厘米）底面半徑：12.56÷3.14÷2=2（厘米）體積：3.14×22×15=3.14×4×15=188.4（立方厘米）答：原來圓柱的體積是188.4立方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)4】底面直徑是20厘米的圓鋼，將其截成兩段同樣的圓鋼，兩段表面積的和為7536平方厘米，原來圓鋼的體積是多少立方厘米？解析：4個(gè)底面積是：3.14×（20÷2）2×4＝3.14×100×4＝1256（平方厘米）側(cè)面積是：7536﹣1256＝6280（平方厘米）高是：6280÷3.14÷20＝100（厘米）所以原來圓鋼的體積是：3.14×（20÷2）2×100＝3.14×100×100＝31400（立方厘米）答：原來圓鋼的體積是31400立方厘米。【考點(diǎn)五】圓柱與長(zhǎng)方體的拼切轉(zhuǎn)化問題?！痉椒c(diǎn)撥】將一個(gè)底面半徑為r，高為h的圓柱沿著高切成若干等份，并將其拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，此時(shí)這個(gè)圓柱和長(zhǎng)方體的體積相等，拼成的長(zhǎng)方體的表面積比圓柱多2個(gè)面積大小為hr的長(zhǎng)方形?！镜湫屠}】把一個(gè)底面半徑是的圓柱切拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體后（如圖），表面積增加了，原來圓柱的體積是多少立方厘米？解析：圓柱的高：圓柱體積：答：原來圓柱的體積是?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】把一個(gè)高為1米的圓柱體切成底面是許多相等的扇形，再拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，已知拼成后長(zhǎng)方體表面積比原來圓柱表面積增加了40平方分米，原來圓柱體的體積是多少立方分米？解析：1米＝10分米圓柱的底面半徑為：40÷2÷10＝2（分米）體積：3.14×22×10＝3.14×4×10＝125.6（立方分米）答：這個(gè)圓柱的體積是125.6立方分米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】把高5厘米的圓柱底面分成若干等份，把圓柱切開拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體表面積比圓柱增加20平方厘米。求原來圓柱的體積。解析：底面半徑：20÷2÷5＝2（厘米）圓柱體積：3.14×22×5＝62.8（立方厘米）答：圓柱的體積是62.8立方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖所示，把底面直徑為8厘米的圓柱切成若干等份，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體。這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積比原來增加80平方厘米。（1）同學(xué)們回憶圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，用自己喜歡的方式將它記錄下來。（2）那么圓柱的高是多少厘米？長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？解析：（1）把圓柱底面平均分成若干等份的小扇形，沿圓柱的高切開，拼成一近似的長(zhǎng)方體。發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱的底面積，長(zhǎng)方體的高等于圓柱的高，長(zhǎng)方體的體積等于底面積乘高，所以圓柱的體積也等于底面積乘高。若體積用字母∨表示，底面積用字母S表示，高用h表示，即體積為：V＝Sh。（2）80÷2÷（8÷2）＝40÷4＝103.14×（8÷2）2×10＝3.14×160＝502.4（立方厘米）答：圓柱的高是10厘米，長(zhǎng)方體的體積是502.4立方厘米。【考點(diǎn)六】比在圓柱中的三種應(yīng)用方式?！痉椒c(diǎn)撥】1.當(dāng)圓柱的底面積相等時(shí)，已知高之比，求體積之比：高之比就是體積之比。2.當(dāng)圓柱的高相等時(shí)，已知底面積之比，求體積之比：底面積之比就是體積之比。3.已知底面積之比和高之比，求體積之比：分別用對(duì)應(yīng)的底面積×對(duì)應(yīng)的高求得對(duì)應(yīng)體積，再求體積之比?！镜湫屠}1】已知兩個(gè)圓柱的底面積相等，高的比是1∶2，體積比是（）。解析：1∶2【典型例題2】已知兩個(gè)圓柱的高相等，底面積比是2∶3，體積比是（）。解析：2∶3?！镜湫屠}3】?jī)蓚€(gè)圓柱高的比是2∶3，半徑比是1∶2，則體積比是多少?解析：1:6?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】?jī)蓚€(gè)圓柱的高相等，半徑比是1∶2，則體積比是多少?解析：1∶4?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】?jī)蓚€(gè)等高的圓柱底面半徑的比是4∶3，它們的體積比是多少解析：16:9。【考點(diǎn)七】比在圓錐體積中的應(yīng)用?！痉椒c(diǎn)撥】1.圓錐的底面積相等時(shí)，高的比就是體積的比。2.圓錐的高相等時(shí)，底面積的比就是體積的比。3.圓錐和圓柱如果底面積和高均相等，那么圓錐和圓柱的體積之比是1∶3?！镜湫屠}】（1）兩個(gè)圓錐的底面積相等，高比是1∶2，體積比（）。（2）兩個(gè)圓錐的高相等，底面積比是2∶3，體積比是（）。（3）兩個(gè)圓錐高的比是3∶4，半徑比是1∶3，則體積比是多少?解析：（1）1:2；（2）2:3；（3）1:12【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】有一塊體積為60的圓柱形橡皮泥，如果把這塊橡皮泥重新捏成底面積和高均和圓柱相等的圓錐，問剩余的橡皮泥體積是多少?解析：40【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一塊圓柱形橡皮泥，高是2。把這塊橡皮泥重新捍成一個(gè)圓錐（沒有剩余），已知圓錐的底面積和圓柱相等，求圓錐的高。解析：6【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】已知兩個(gè)圓錐的底面半徑比是2∶3，高的比是2∶3，則兩個(gè)圓錐的體積比是多少？解析：8:27【對(duì)應(yīng)練習(xí)4】如果兩個(gè)圓錐的底面半徑比為1∶2，高的比是2∶1，它們的體積比是多少？解析：1:2【對(duì)應(yīng)練習(xí)5】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的體積和高分別相等，已知圓柱的底面積是6平方厘米，則圓錐的底面積是（）平方厘米。解析：18【對(duì)應(yīng)練習(xí)6】一個(gè)圓柱和圓錐，圓柱的高是圓錐的，圓柱和圓錐底面積的比是5∶4。圓柱和圓錐體積的比是多少？解析：5:2【考點(diǎn)八】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法。【方法點(diǎn)撥】直角三角形與圓錐之間的聯(lián)系沿著直角三角形的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，即可得到一個(gè)圓錐，旋轉(zhuǎn)的軸是圓錐的高，另一條直角邊是圓錐的底面半徑?！镜湫屠}1】以下圖直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)什么圖形?所得的圖形的底面直徑和高各是多少厘米?解析：（1）以6cm長(zhǎng)的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，得到一個(gè)直徑為16cm，高為6cm的圓錐。（2）以8cm長(zhǎng)的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，得到一個(gè)直徑為12cm，高為8cm的圓錐?！镜湫屠}2】下圖是一個(gè)直角三角形，如果以邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得立體圖形的體積是多少立方厘米？解析：3.14×2×2×3÷3＝12.56×3÷3＝12.56（立方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)等腰直角三角形的直角邊為6cm，以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的高、底面直徑和體積分別是()cm、()cm、()立方厘米。解析：據(jù)分析知，高是6厘米底面直徑：6×2＝12（厘米）體積：（3.14×6×6）×6÷3＝113.04×6＝678.24÷3＝226.08（立方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一塊直角三角形硬紙板（如圖），兩條直角邊AB與BC的長(zhǎng)度比是3∶2，AB長(zhǎng)9cm。如果以其中一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么形成的圓錐體積最大是()立方厘米。解析：2×9÷3＝6（厘米）3.14×92×6÷3＝3.14×81×6÷3＝508.68（立方厘米）所以，形成的圓錐體積最大是508.68立方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】下圖是一個(gè)直角三角形，如果以BC邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得立體圖形的體積是()立方厘米。解析：×3.14×32×2＝9.42×2＝18.84（立方厘米）【考點(diǎn)九】求正方體削成圓柱的表面積?！痉椒c(diǎn)撥】把正方體削成一個(gè)圓柱，正方體的棱長(zhǎng)是圓柱的高，也是圓柱底面圓的直徑。【典型例題】如果把棱長(zhǎng)是2分米的正方體木塊削成一個(gè)最大的圓柱，這個(gè)圓柱的表面積是多少平方分米？解析：3.14×2×2＋3.14×（2÷2）2×2＝3.14×2×2＋3.14×2＝12.56＋6.28＝18.84（平方分米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)正方體木塊的棱長(zhǎng)是2dm，現(xiàn)在把它削成一個(gè)最大的圓柱．削成的圓柱側(cè)面積是多少dm2？削成的圓柱的體積占原來正方體體積的百分之幾？解析：（1）3.14×2×2＝6.28×2＝12.56（平方分米）（2）3.14×（2÷2）2×2÷（2×2×2）＝3.14×2÷8＝6.28÷8＝78.5＝78.5%答：略?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】張叔叔制作一個(gè)模型，他拿來一個(gè)棱長(zhǎng)是8分米的正方體鐵塊，選擇其中一個(gè)面，從正中間打一個(gè)直徑為4分米的圓孔，一直穿通到對(duì)面（如圖）。為了防止生銹，王師傅給這個(gè)模型中可能與空氣接觸的表面都噴上油漆，需噴油漆的面積是多少平方分米？解析：8×8×6－3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×8＝8×8×6－3.14×4×2＋3.14×4×8＝64×6－12.56×2＋12.56×8＝384－25.12＋100.48＝358.88＋100.48＝459.36（dm2）答：需噴油漆的面積是459.36平方分米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】把一個(gè)棱長(zhǎng)4cm的正方體木塊削成一個(gè)最大的圓柱，這個(gè)圓柱的表面積是多少平方厘米？解析：4÷2＝2（厘米）S圓柱＝πr2×2＋πdh＝3.14×22×2＋3.14×4×4＝3.14×8＋3.14×16＝3.14×24＝75.36（平方厘米）答：這個(gè)圓柱表面積是75.36平方厘米?！究键c(diǎn)十】求正方體削成最大圓柱的體積?！痉椒c(diǎn)撥】把正方體加工成一個(gè)最大的圓柱，圓柱的底面直徑等于正方體的棱長(zhǎng)，圓柱的高也等于正方體的棱長(zhǎng)，再利用圓柱的體積公式V柱＝πr2h求圓柱的體積?！镜湫屠}】為豐富校園文化生活，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，學(xué)校要舉辦2021年度的大型科技文化節(jié)?？萍冀M在制作過程中需要將一塊正方體木料加工成一個(gè)最大的圓柱（如下圖），已知它的棱長(zhǎng)是8dm，求這個(gè)圓柱的體積是多少？代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。解析：3.14×2×8＝3.14×16×8＝401.92（dm3）答：這個(gè)圓柱的體積是401.92dm3。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】有塊正方體的木料，它的棱長(zhǎng)是4dm，把這塊木料加工成一個(gè)最大的圓柱。這個(gè)圓柱體