《數(shù)學實驗 第4版》課件 1.5 MATLAB符號計算

1第一章準備實驗實驗1.1MATLAB的基本用法實驗1.2矩陣的運算實驗1.4MATLAB繪圖實驗1.3M文件與程序設(shè)計實驗1.5MATLAB符號運算實驗1.5MATLAB符號計算一、MATLAB的符號功能二、求極限三、求導數(shù)四、求積分五、級數(shù)的和六、泰勒多項式七、解方程八、其他一、MATLAB的符號功能什么是符號運算 特點：運算對象可以是沒賦值的符號變量※

數(shù)值運算中必須先對變量賦值，然后才能參與運算。與數(shù)值運算的區(qū)別實驗1.5

MATLAB符號計算※

符號運算無須事先對獨立變量賦值，運算結(jié)果以標準的符號形式表達?？梢垣@得任意精度的解2.建立符號對象的函數(shù)——syms進行符號運算時需要先定義符號變量，一般用syms命令來定義符號變量symsabtxyf=a*(2*x-t)^3+b*sin(4*y)↙f=b*sin(4*y)-a*(t-2*x)^3實驗1.5

MATLAB符號計算二、求極限——limitlimit(f)當符號變量x（或最接近字母x）→0時函數(shù)f的極限limit(f,t,a)當符號變量t→a時函數(shù)f的極限limit(f,t,a,“l(fā)eft”)；limit(f,t,a,“right”)指左右極限例1

求下列極限symsxat；limit(sin(x)/x)↙ans=1實驗1.5

MATLAB符號計算limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)↙limit(1/x,x,0,“right”)↙v=[(1+a/x)^x,exp(-x)]；limit(v,x,+inf)↙ans=exp(6*t)ans=

Infans=[exp(a),0]實驗1.5

MATLAB符號計算例2應用實例——連續(xù)復利問題復利，即利滾利，不僅是一個經(jīng)濟問題，而且是一個古老又現(xiàn)代的社會問題。隨著商品經(jīng)濟的發(fā)展，復利計算將日益普遍，同時復利的期限將日益變短，即不僅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息。

連續(xù)復利，是一種理論上的付息方式，指銀行連續(xù)不斷地向顧客付利息，即在期數(shù)趨于無限大的極限情況下得到的利率，此時不同期之間的間隔很短，可以看作是無窮小量。

某顧客向銀行存入本金p元，n年后他在銀行的存款額是本金及利息之和．設(shè)銀行規(guī)定年復利率為r，試計算連續(xù)復利情況下顧客的最終存款額．若銀行一年活期年利率為0.03，儲戶存10萬元的人民幣，連續(xù)復利比按年一次性結(jié)算會多多少利息？實驗1.5

MATLAB符號計算某顧客向銀行存入本金p元，年利率為r,計算n年后的本利和。我們先假設(shè)每年結(jié)算m次，此時復利率為.n年共結(jié)算mn次，將n年后顧客的存款額記為，則在連續(xù)復利的情況下，顧客最終的存款額為：實驗1.5

MATLAB符號計算symsna=limit(100000*(1+0.03/n)^n,n,inf)formatshort,100000*exp(3/100)下面計算10萬元在連續(xù)復利情況下一年后的本利和a=100000*exp(3/100)ans=1.0305e+05

由此可見，一年后本息總和將穩(wěn)定在103050元，比按年一次性結(jié)算多50元利息,只要年利率不大，復利利息和按季、月、天連續(xù)計算所得結(jié)果相差不大。注：當利率增加時，二者之差會快速增長，因此對待高利息、小周期的“校園貸”等貸款，大家一定要避而遠之。實驗1.5

MATLAB符號計算三、求導數(shù)——diffdiff(f)函數(shù)f對符號變量x或（字母表上）最接近字母x的符號變量求（偏）導數(shù)diff(f,’t’)函數(shù)f對符號變量t求導數(shù)diff(f,n)求n階導數(shù)symsaxf=sin(a*x)↙例如t=-x^2*sin(a*x)f=sin(a*x)g=diff(f)↙g=a*cos(a*x)h=diff(f,'a')↙h=x*cos(a*x)t=diff(f,'a',2)↙實驗1.5

MATLAB符號計算e=diff(f,2)↙

e=-a^2*sin(a*x)int(f)函數(shù)f對符號變量x或最接近字母x的符號變量求不定積分int(f,’t’)函數(shù)f對符號變量t求不定積分int(f,a,b)函數(shù)f對符號變量x或最接近字母x的符號變量求從a到b的定積分int(f,’t’,a,b)函數(shù)f對符號變量t求從a到b的定積分四、求積分——int實驗1.5

MATLAB符號計算g1=-cos(a*x)/a例如symsaxf1=sin(a*x)；g=int(f1)↙h1=int(f1,'a')↙h1=-cos(a*x)/x實驗1.5

MATLAB符號計算f2=exp(-x^2)f2=exp(-x^2)↙g2=int(f2)↙g2=(pi^(1/2)*erf(x))/2其中因為我們知道這個積分無解析表達式．，因此上面根本沒有計算出積分，c=(pi^(1/2)*erf(1))/2c=int(f2,0,1)↙當積分無解析式時，可用double計算定積分的值ans=0.7468double(c)↙實驗1.5

MATLAB符號計算a=int(f1,0,1)↙a=-(cos(a)-1)/ab=int(f1,'a',0,1)↙b=-(cos(x)-1)/x對于二重積分,MATLAB中沒有相應的命令,但由于二重積分可以化成二次積分來進行計算，因此只要確定出積分區(qū)域，就可以反復使用int命令來計算二重積分.例1

計算二重積分，其中D是由直線所圍成的區(qū)域.解

該積分可以寫成或按第一種形式用MATLAB求解如下：實驗1.5

MATLAB符號計算即symsxyI1=int(x^2*exp(-y^2),x,0,y)↙I1=(y^3*exp(-y^2))/3I=int(I1,y,0,1)↙I=1/6-exp(-1)/3實驗1.5

MATLAB符號計算

如果采用第二種形式，手工無法計算，而用MATLAB卻照樣可以算出結(jié)果，求解如下：I=1/6-exp(-1)/3symsxyI1=int(x^2*exp(-y^2),y,x,1)↙I1=(x^2*pi^(1/2)*(erf(1)-erf(x)))/2

I=int(I1,x,0,1)↙實驗1.5

MATLAB符號計算symsum(s,t,a,b):表達式s中的符號變量t從a到b的級數(shù)和（t缺省時，設(shè)定為x或最接近x的字母）五、級數(shù)的和symsum(k,0,n)↙例如：ans=(n*(n+1))/2symsknsymsum(k)↙

ans=k^2/2-k/2

實驗1.5

MATLAB符號計算symsum(k^2,0,n)↙ans=(n*(2*n+1)*(n+1))/6symsum(k^2,0,10)↙ans=385symsum(1/k^2,1,inf)↙ans=pi^2/6symsum(k^4,0,n)↙ans=(n*(2*n+1)*(n+1)*(3*n^2+3*n-1))/30實驗1.5

MATLAB符號計算六、泰勒多項式taylor(f,x,a)：函數(shù)f對符號變量x在a點的5階泰勒多項式taylor(f,x,a,’Order’,n)：求函數(shù)f對符號變量x在a點的n-1階泰勒多項式（a缺省時設(shè)定為0）symsxt；taylor(exp(-x),x)↙

ans=-x^5/120+x^4/24-x^3/6+x^2/2-x+1taylor(sin(x),x,pi/2,'Order',8)↙ans=

(x-pi/2)^4/24-(x-pi/2)^2/2-(x-pi/2)^6/720+1實驗1.5

MATLAB符號計算七、解代數(shù)方程（組）解代數(shù)方程（組）的基本命令是：實驗1.5

MATLAB符號計算solve(eqn,var)solve(eqn,var,name,value)solve(eqns,vars)solve(eqns,vars,name,value)symspxreqn=p*sin(x)==r;s=solve(eqn)↙%x為未知數(shù)，p,r為參數(shù)s=asin(r/p)pi-asin(r/p)x=13y=1-3/2

%以x，y為未知數(shù)的方程組symsxyeqn1=x^2+x*y+y==3;eqn2=x^2-4*x+3==0;[x,y]=solve(eqn1,eqn2)↙實驗1.5

MATLAB符號計算s=

包含以下字段的struct:x:[2×1sym]y:[2×1sym]%對于多元方程組，如果輸出參數(shù)只有一個的話，只給出解的結(jié)構(gòu)symsxyeqn1=x^2+x*y+y==3;eqn2=x^2-4*x+3==0;s=solve(eqn1,eqn2)↙

u=1-(a+(-a)^(1/2))/(a+1)1-(a-(-a)^(1/2))/(a+1)v=-(a+(-a)^(1/2))/(a+1)-(a-(-a)^(1/2))/(a+1)%u，v為未知數(shù)，a為參數(shù)symsuvaeqn1=a*u^2+v^2==0;eqn2=u-v==1;[u,v]=solve(eqn1,eqn2,[u,v])

↙實驗1.5

MATLAB符號計算%a，u，v為未知數(shù)eqn3=a^2-5*a+6==0[a,u,v]=solve(eqn1,eqn2,eqn3)↙a=2233u=1/3-(2^(1/2)*1i)/3(2^(1/2)*1i)/3+1/31/4-(3^(1/2)*1i)/4(3^(1/2)*1i)/4+1/4v=-(2^(1/2)*1i)/3-2/3(2^(1/2)*1i)/3-2/3-(3^(1/2)*1i)/4-3/4(3^(1/2)*1i)/4-3/4實驗1.5

MATLAB符號計算x=-0.66870120500236202933135901833637y=-1.5528386984283889912797441811191注:無代數(shù)解時，只能給出數(shù)值解symsxyeqns=[sin(x+y)-exp(x)*y==0,x^2-y==2];[x,y]=solve(eqns,[x,y])↙實驗1.5

MATLAB符號計算roots:

輸入多項式的系數(shù)（按降冪排列），輸出其全部根．poly：輸入多項式全部根，輸出其系數(shù)fzero(fun,x0)：給出函數(shù)“fun”在x0附近的根如果求方程的數(shù)值解，則有以下命令：ans=

32例如%的全部根roots([1,-5,6])↙實驗1.5

MATLAB符號計算ans=1-56poly([2,3])↙ans=3.1416%sinx=0在3附近的解fzero('sin',3)↙實驗1.5

MATLAB符號計算ans=-0.1999fzero('x^5+5*x+1',0)↙%在0附近的解ans=

0.7528+0.7105i0.7528-0.7105i-0.6530+0.7130i-0.6530-0.7130i-0.1997+0.0000iroots([5,0,0,0,5,1])↙但用roots求數(shù)值解時誤差校大注：當

y是因變量,t是自變量時，用diff(y,t,n)表示“y對t的n階導數(shù)”八、解常微分方程（組）求解常微分方程（組）的一般命令是dsolve(eqn)，dsolve(eqn,cond),

其中eqn為待解的方程，如果有多個，則為求解方程組；cond為初始條件，如果沒有給出初始條件，則求出微分方程（組）的通解.比如：diff(y,t)表示一階導數(shù)diff(y,x,2)表示二階導數(shù)實驗1.5

MATLAB符號計算例4

求微分方程的通解．symsy(x)eqn=2*diff(y,x,2)+diff(y,x)-y==2*exp(x)；y=dsolve(eqn)↙y=exp(x)+C1*exp(-x)+C2*exp(x/2)解例5

求微分方程的通解和滿足初始條件和的特解．解symsy(t)eqn=diff(y,t,4)==y;y=dsolve(eqn)↙y=C3*cos(t)+C2*exp(t)-C4*sin(t)+C1*exp(-t)實驗1.5

MATLAB符號計算symsy(t)eqn=diff(y,t,4)==y;Dy=diff(y,t);D2y=diff(y,t,2);D3y=diff(y,t,3);cond1=y(0)==2;cond2=Dy(0)==2;cond3=D2y(0)==1;cond4=D3y(0)==1;cond=[cond1cond2cond3cond4];y=dsolve(eqn,cond)↙

y=cos(t)/2+(3*exp(t))/2+sin(t)/2即所求特解為：實驗1.5

MATLAB符號計算例6

求微分方程組的通解．解symsx(t)y(t)eqns=[diff(x,t)+diff(y,t)==-x+y+3,diff(x,t)-diff(y,t)==x+y-3];[x,y]=dsolve(eqns)↙

x=cos(t)*(C1+3*cos(t))+sin(t)*(C2+3*sin(t))y=cos(t)*(C2+3*sin(t))-sin(t)*(C1+3*cos(t))實驗1.5

MATLAB符號計算例7求微分方程組的特解．解symsx(t)y(t)eqns=[2*diff(x,t)-4*x+diff(y,t)-y==exp(t),diff(x,t)+3