《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 第4版》課件 4.2 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合

1第四章數(shù)值分析

實(shí)驗(yàn)4.1插值

實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)4.3MATLAB數(shù)值積分與微分實(shí)驗(yàn)4.4常微分方程的數(shù)值解2實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合一、離散數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式擬合二、曲線擬合的線性最小二乘法三、應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合一、離散數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式擬合p=polyfit(x,y,n)用多項(xiàng)式擬合一組離散數(shù)據(jù)就是尋找一組多項(xiàng)式的系數(shù)使得多項(xiàng)式能夠較好的擬合這組數(shù)據(jù).它與實(shí)驗(yàn)4.1的插值法不同,數(shù)據(jù)不能保證都在擬合多項(xiàng)式曲線上，但能使整體擬合誤差較小.在MATLAB中,多項(xiàng)式擬合可以通過polyfit函數(shù)來實(shí)現(xiàn),該函數(shù)的調(diào)用格式為p是多項(xiàng)式系數(shù)按降冪排列得出的行向量.4利用poly2sym(p)可以得出相應(yīng)多項(xiàng)式的表達(dá)式.如果要計(jì)算擬合多項(xiàng)式在x處的值y,輸入y=polyval(p,x),就可輸出y的值.求本章例4中，數(shù)據(jù)組的3次、6次和8次多項(xiàng)式并作圖例6解輸入：x=[0.004.749.0519.0038.0057.0076.0095.00114.00133.00152.00171.00190.00];y=[0.005.238.1011.9716.1517.1016.3414.6312.166.697.033.990.00];p3=polyfit(x,y,3);y1=polyval(p3,x);p6=polyfit(x,y,6);y2=polyval(p6,x);plot(x,y,'*',x,y1,'--',x,y2,'-.')↙實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合5從圖4.6可見，6次擬合多項(xiàng)式比3次多項(xiàng)式的擬合效果好.實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合6在命令窗口輸入：P6=polyfit(x,y,6);y2=polyval(p6,x);P8=polyfit(x,y,8);y3=polyval(p8,x);plot(x,y,'*'x,y2,'—.',x,y3)↙實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合由圖4.7所示，8次多項(xiàng)式比6次的擬合效果更好.可見，隨著多項(xiàng)式次數(shù)的不斷增加，擬合的效果也越來越好，當(dāng)擬合多項(xiàng)式的次數(shù)就能得出較好的效果.那么利用多項(xiàng)式進(jìn)行擬合時(shí)，是否多項(xiàng)式的次數(shù)越高擬合效果一定就越好呢？7設(shè)已知數(shù)據(jù)來自函數(shù)8次多項(xiàng)式擬合，并作圖.例7解試用生成的數(shù)據(jù)進(jìn)行3次、6次和在命令窗口輸入：x0=-1:.01:1;y0=1./(1+9*x0.^2);p3=polyfit(x0,y0,3);y1=polyval(p3,x0);p6=polyfit(x0,y0,6);y2=polyval(p6,x0);p8=polyfit(x0,y0,8);y3=polyval(p8,x0);plot(x0,y0,'*',x0,y1,'--',x0,y2,'-.',x0,y3)↙8由圖4.8可以看出,多項(xiàng)式擬合的效果并不一定總是很精確的.下面我們來介紹另一種方法—曲線擬合的線性最小二乘法.實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合圖4.89二、曲線擬合的線性最小二乘法最小,就是曲線擬合得最好.曲線擬合常用的方法是線性最小二乘法.

曲線擬合（curvefitting）是指選擇適當(dāng)?shù)那€類型來擬合觀測數(shù)據(jù)，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關(guān)系.實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合已知某函數(shù)的一組測量數(shù)據(jù)根據(jù)這組數(shù)據(jù)尋求曲線逼近曲線因?yàn)闇y量時(shí)可能產(chǎn)生誤差,所以我們不要求都經(jīng)過這些點(diǎn),只要與的距離最為接近,即10一般情況下,可以假設(shè)數(shù)據(jù)擬合曲線為將（2）代入(1),上述問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)多元函數(shù)極值的必要條件實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合11可以證明方程組(4)的系數(shù)矩陣是可逆的,則方程組(4)有唯一解于是有這種求擬合曲線的方法稱為曲線擬合的線性最小二乘法.實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合12在MATLAB優(yōu)化工具箱中，提供了函數(shù)lsqcurvefit,求解最小二乘曲線擬合問題.該函數(shù)的調(diào)用格式為a=lsqcurvefit(fun,a0,x,y)其中，fun是自定義函數(shù)的MATLAB表示，可以用inline('函數(shù)內(nèi)容'，自變量列表)；a0是a的初始預(yù)測值，使用方法見例8.實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合13三、應(yīng)用舉例用切削機(jī)床進(jìn)行金屬品加工時(shí)，為了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整機(jī)床，需要測定刀具的磨損速度.在一定的時(shí)間測量刀具的厚度，得數(shù)據(jù)如下表所示：例8切削時(shí)間t/h012345678刀具厚度y/cm30.029.1

28.428.1

28.0

27.727.5

27.227.0切削時(shí)間t/h910111213141516刀具厚度y/cm26.8

26.5

26.326.125.725.324.824.0假設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式是試用最小二乘法確定實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合14解定義函數(shù)f，在命令窗口輸入:f=inline('a(1).*t.^3+a(2).*t.^2+a(3).*t+a(4)','a','t')確定經(jīng)驗(yàn)公式的系數(shù)并作圖，在命令窗口輸入:t=[0:1:16];y=[30.029.128.428.128.027.727.527.227.026.826.526.326.125.725.324.824.0];a0=[0,0,0,0]a=lsqcurvefit(f,a0,t,y)y1=a(1).*t.^3+a(2).*t.^2+a(3).*t+a(4);plot(t,y,'*',t,y1)↙實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合a=-0.00290.0678-0.713329.824915系數(shù)散點(diǎn)及擬合曲線圖，實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合如圖4.9所示.16例9在加壓實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系測試點(diǎn)的數(shù)據(jù)如下表所示：已知應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以用一條指數(shù)曲線來描述.即假設(shè)使用最小二乘法確定參數(shù)實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合17解選取指數(shù)函數(shù)作擬合時(shí),在擬合前需作變量代換,化為將(6)變形后取對數(shù)，得令式（7）化為在命令窗口輸入：x=[500*1.0e-61000*1.0e-61500*1.0e-62000*1.0e-62375*1.0e-6];y=[3.100*1.0e+32.470*1.0e+31.953*1.0e+31.515*1.0e+31.217*1.0e+3];實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合18w=[1.552.472.933.032.89];plot(x,w,'*')↙holdon,y1=exp(8.3020)*x.*exp(-495.4888*x);plot(x,y1,'r-'),holdoff↙實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合z=log(y)↙z=8.03927.81207.57717.32327.1041a=polyfit(x,z,1)↙a=-495.48888.3020k1=exp(8.2959)