2024-2025學年廣東省珠海市香洲區(qū)紫荊中學九年級（上）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學年廣東省珠海市香洲區(qū)紫荊中學九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）若關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m＝1 B．m≠1 C．m≥1 D．m≠02．（3分）2024年7月27日，第33屆夏季奧運會在法國巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運會項目圖標中（）A． B． C． D．3．（3分）已知⊙O的半徑為3cm，點P到圓心O的距離為5cm，則點P（）A．在圓內(nèi) B．在圓上 C．在圓外 D．在圓上或圓外4．（3分）已知拋物線y＝（x+3）2﹣2經(jīng)過點P（1，y1）和Q（3，y2），則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＝y(tǒng)2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．無法確定5．（3分）在“雙減政策”推動下，某校學生課后作業(yè)時長明顯減少．原來每天作業(yè)平均時長為100min，經(jīng)過兩個學期的調(diào)整后，則所列方程為（）A．100（1﹣x2）＝70 B．70（1+x2）＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．70（1+x）2＝1006．（3分）△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)65°后得到△COD，若∠AOB＝30°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．65°7．（3分）如圖，已知AC是直徑，AB＝6，D是弧BC的中點，則DE＝（）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣1，），將點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點A'，則點A'坐標為（）A．（1，﹣） B．（﹣，1） C．（0，2） D．（，1）9．（3分）二次函數(shù)y＝kx2﹣6x+3的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）A．k≤3且k≠0 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k＜310．（3分）如圖所示，邊長為2的等邊△ABC是三棱鏡的一個橫截面．一束光線ME沿著與AB邊垂直的方向射入到BC邊上的點D處（點D與B，C不重合），反射光線沿DF的方向射出去，且入射光線和反射光線使∠MDK＝∠FDK．設(shè)BE的長為x，△DFC的面積為y（）A． B． C． D．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）拋物線y＝﹣（x﹣1）2+3的頂點坐標是；與y軸的交點坐標是．12．（3分）已知m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，則代數(shù)式mn+m2﹣2m的值為．13．（3分）拋物線y＝（x+2）2﹣5先向左平移1個單位長度，再向上平移6個單位長度得到的拋物線解析式為．14．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點、且∠D＝130°度．15．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（﹣1，0）和點（3，0）．（填寫序號）①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＝0：④當y＞0時；⑤m為任意實數(shù)，則am2+bm＞a+b；⑥若，且x1≠x2，則x1+x2＝2．三、解答題（一）（每小題7分，共21分）16．（7分）解方程：（1）x2+3x＝0；（2）x2﹣6x﹣7＝0．17．（7分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點坐標分別是A（﹣1，2）（﹣3，1）、C（0，﹣1）．（1）畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A1B1C1；（2）畫出△ABC繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△DEC，并寫出點A的對應(yīng)點D的坐標．18．（7分）雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點）的一部分，如圖所示．（1）求演員彈跳離地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.6米，在一次表演中，人梯到起跳點A的水平距離是4米四、解答題（二）（每小題9分，共27分）19．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．（1）求證：對于任意實數(shù)m，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的一個根是1，求m的值及方程的另一個根．20．（9分）如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB于點C，點E在⊙O上．（1）若∠BED＝28°，則∠AOD的度數(shù)為；（2）若點B是的中點，求證：DE＝AB；（3）若CD＝3，AB＝12，求⊙O的半徑長．21．（9分）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個，調(diào)查表明：這種臺燈的售價每上漲0.5元（1）為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應(yīng)定為多少元？這時應(yīng)進臺燈多少個？（2）當臺燈的售價定為多少元時，獲得的月利潤最大？五、解答題（三）（22題13分，23題14分，共27分）22．（13分）如圖，在正方形ABCD中，線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），延長BE至點F使得CB＝CF，取線段EF的中點G（1）求證：△ADE≌△CDF．（2）如圖（2），當E恰好是BF中點時，求證：．（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，∠BGC的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求出∠BGC的度數(shù)，請說明理由．（4）若AB＝4，在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出△GDC的面積最大值．23．（14分）如圖所示，拋物線y＝ax2+2x+c的對稱軸為直線x＝1，與x軸交于點A、點B，與y軸交于點C（0，5），E兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）平移線段CD，若點C的對應(yīng)點C'落在拋物線上，點D的對應(yīng)點D'落在直線DE上（3）如圖（2），將DE上方的拋物線沿著直線DE翻折，P的對應(yīng)點為點Q，連接PQ交DE于點G．①當四邊形DPEQ是菱形時，請直接寫出點P的坐標；②在點P的運動過程中，求線段PQ的最大值．

2024-2025學年廣東省珠海市香洲區(qū)紫荊中學九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）若關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m＝1 B．m≠1 C．m≥1 D．m≠0【解答】解：由題意得：m﹣1≠0，解得：m≠3，故選：B．2．（3分）2024年7月27日，第33屆夏季奧運會在法國巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運會項目圖標中（）A． B． C． D．【解答】解：A．圖形既不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B．圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C．圖形既不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D．圖形既是中心對稱圖形，故本選項符合題意故選：D．3．（3分）已知⊙O的半徑為3cm，點P到圓心O的距離為5cm，則點P（）A．在圓內(nèi) B．在圓上 C．在圓外 D．在圓上或圓外【解答】解：∵點P到圓心O的距離為5cm＞3cm，∴點P在圓外．故選：C．4．（3分）已知拋物線y＝（x+3）2﹣2經(jīng)過點P（1，y1）和Q（3，y2），則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＝y(tǒng)2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．無法確定【解答】解：當x＝1時，y1＝（8+3）2﹣7＝14；當x＝3時，y2＝（5+3）2﹣6＝34．∵14＜34，∴y1＜y2．故選：C．5．（3分）在“雙減政策”推動下，某校學生課后作業(yè)時長明顯減少．原來每天作業(yè)平均時長為100min，經(jīng)過兩個學期的調(diào)整后，則所列方程為（）A．100（1﹣x2）＝70 B．70（1+x2）＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．70（1+x）2＝100【解答】解：根據(jù)題意得100（1﹣x）2＝70．故選：C．6．（3分）△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)65°后得到△COD，若∠AOB＝30°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．65°【解答】解：∵△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)65°得到△COD，∴∠AOC＝∠BOD＝65°，∵∠AOB＝30°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝35°，故選C．7．（3分）如圖，已知AC是直徑，AB＝6，D是弧BC的中點，則DE＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：連接OB，∵D是弧BC的中點，∴∠BOD＝∠COD，∵OB＝OD，∴OD⊥BC，BE＝×8＝6，∵AC是圓的直徑，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10，∴OB＝AC＝4，∴OE＝＝＝3，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣2＝2．故選：B．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣1，），將點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點A'，則點A'坐標為（）A．（1，﹣） B．（﹣，1） C．（0，2） D．（，1）【解答】解：如圖所示，過A作AB⊥x軸于B，∵∠AOA'＝90°＝∠ABO＝∠OCA'，∴∠BAO+∠AOB＝90°＝∠A'OC+∠AOB，∴∠BAO＝∠COA'，又∵AO＝OA'，∴△AOB≌△OA'C（AAS），∴A'C＝BO＝1，CO＝AB＝，∴點A′坐標為（，1），故選：D．9．（3分）二次函數(shù)y＝kx2﹣6x+3的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）A．k≤3且k≠0 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k＜3【解答】解：∵二次函數(shù)y＝kx2﹣6x+4的圖象與x軸有交點，∴k≠0且Δ＝（﹣6）7﹣4k?3≥8，∴k≤3且k≠0．故選：A．10．（3分）如圖所示，邊長為2的等邊△ABC是三棱鏡的一個橫截面．一束光線ME沿著與AB邊垂直的方向射入到BC邊上的點D處（點D與B，C不重合），反射光線沿DF的方向射出去，且入射光線和反射光線使∠MDK＝∠FDK．設(shè)BE的長為x，△DFC的面積為y（）A． B． C． D．【解答】解：∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝2，∵ME⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BDE＝30°，又∵BE＝x，ME沿著與AB邊垂直的方向射入到BC邊上的點D處（點D與B，∴2＜x＜1，∴BD＝2x，CD＝6﹣2x．∵∠MDK＝∠FDK，DK與BC垂直，∴∠CDF＝∠BDE＝30°，∴∠DFC＝180°﹣∠CDF﹣∠C＝90°，∴FC＝CD＝，F(xiàn)D＝CD?sin60°＝（8﹣2x）×＝，∴y＝FC?FD＝（7﹣x）×＝（1﹣x）2．∴函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，其對稱軸為直線x＝5．故選：A．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）拋物線y＝﹣（x﹣1）2+3的頂點坐標是（1，3）；與y軸的交點坐標是（0，2）．【解答】解：由題意，∵拋物線為y＝﹣（x﹣1）2+2，∴其頂點為（1，3）．又令x＝4，∴y＝﹣（0﹣1）3+3＝2．∴與y軸的交點坐標為（2，2）．故答案為：（1，2），2）．12．（3分）已知m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，則代數(shù)式mn+m2﹣2m的值為0．【解答】解：∵m、n是方程x2﹣2x﹣5＝0的兩個根，∴m2﹣7m﹣3＝0，mn＝﹣3，∴m2﹣2m＝5，∴mn+m2﹣2m＝﹣2+3＝0．故答案為：4．13．（3分）拋物線y＝（x+2）2﹣5先向左平移1個單位長度，再向上平移6個單位長度得到的拋物線解析式為y＝（x+3）2+1．【解答】解：由題知，將拋物線y＝（x+2）2﹣8向左平移1個單位長度后，所得拋物線的解析式為y＝（x+3）6﹣5，再將所得拋物線向上平移6個單位長度后，所得拋物線的解析式為y＝（x+7）2+1．故答案為：y＝（x+2）2+1．14．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點、且∠D＝130°40度．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝180°﹣∠D＝50°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．15．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（﹣1，0）和點（3，0）①③⑥．（填寫序號）①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＝0：④當y＞0時；⑤m為任意實數(shù)，則am2+bm＞a+b；⑥若，且x1≠x2，則x1+x2＝2．【解答】解：由所給函數(shù)圖象可知，a＞0，b＜0，所以abc＞2．故①正確．因為拋物線與x軸交于點（﹣1，0）和點（7，所以拋物線的對稱軸為直線x＝，則，所以2a+b＝0．故②錯誤．因為拋物線經(jīng)過點（﹣2，0），所以a﹣b+c＝0，又因為b＝﹣2a，所以a﹣（﹣2a）+c＝0，即8a+c＝0．故③正確．由函數(shù)圖象可知，當x＜﹣1或x＞8時，函數(shù)圖象在x軸上方，所以當y＞0時，x＜﹣1或x＞4．故④錯誤．因為拋物線開口向上，且對稱軸為直線x＝1，所以當x＝1時，函數(shù)取值最小值為a+b+c，則對于拋物線上任意一點（橫坐標為m），且函數(shù)值不小于a+b+c，所以am4+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b．故⑤錯誤．因為，所以．又因為x1≠x8，所以，即x1+x7＝2．故⑥正確．故答案為：①③⑥．三、解答題（一）（每小題7分，共21分）16．（7分）解方程：（1）x2+3x＝0；（2）x2﹣6x﹣7＝0．【解答】解：（1）∵x2+3x＝4，∴x（x+3）＝0，則x＝6或x+3＝0，解得x7＝0，x2＝﹣6；（2）∵x2﹣6x﹣2＝0，∴（x﹣7）（x+8）＝0，則x﹣7＝4或x+1＝0，解得x4＝7，x2＝﹣8．17．（7分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點坐標分別是A（﹣1，2）（﹣3，1）、C（0，﹣1）．（1）畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A1B1C1；（2）畫出△ABC繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△DEC，并寫出點A的對應(yīng)點D的坐標．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C6即為所求．（2）如圖，△DEC即為所求．由圖可得，點D的坐標為（﹣3．18．（7分）雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點）的一部分，如圖所示．（1）求演員彈跳離地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.6米，在一次表演中，人梯到起跳點A的水平距離是4米【解答】解：（1）由題意，∵二次函數(shù)為y＝﹣x5+2x+2＝﹣（x﹣）2+，∴當x＝時，y有最大值，y最大值＝．∴演員彈跳離地面的最大高度是4.4米．（2）能成功表演．理由是：當x＝4時，y＝﹣2+2×4+2＝3.3．即點B（4，3.6）在拋物線y＝﹣x5+2x+2上，因此，能表演成功．四、解答題（二）（每小題9分，共27分）19．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．（1）求證：對于任意實數(shù)m，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的一個根是1，求m的值及方程的另一個根．【解答】（1）證明：∵（x﹣3）（x﹣2）＝|m|，∴x5﹣5x+6﹣|m|＝7，∵Δ＝（﹣5）2﹣5（6﹣|m|）＝1+2|m|，而|m|≥0，∴Δ＞0，∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：∵方程的一個根是6，∴|m|＝2，解得：m＝±2，∴原方程為：x2﹣5x+4＝5，解得：x1＝1，x2＝4．即m的值為±2，方程的另一個根是6．20．（9分）如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB于點C，點E在⊙O上．（1）若∠BED＝28°，則∠AOD的度數(shù)為56°；（2）若點B是的中點，求證：DE＝AB；（3）若CD＝3，AB＝12，求⊙O的半徑長．【解答】（1）解：∵OD⊥AB于點C，交⊙O于點D，∴弧AD＝弧BD，∵∠DEB＝28°，∴∠AOD＝2∠DEB＝56°，故答案為：56°；（2）證明：∵點B是的中點，∴＝，∵OD⊥AB于點C，交⊙O于點D，∴＝，∴+＝+，即＝，∴DE＝AB；（3）解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝，∵CD＝4，∴OC＝OD﹣CD＝OA﹣CD，在直角三角形AOC中，AO2＝OC2+AC3，∴AO2＝（OA﹣3）2+62，解得AO＝，∴⊙O的半徑長為．21．（9分）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個，調(diào)查表明：這種臺燈的售價每上漲0.5元（1）為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應(yīng)定為多少元？這時應(yīng)進臺燈多少個？（2）當臺燈的售價定為多少元時，獲得的月利潤最大？【解答】解：（1）設(shè)這種臺燈的售價應(yīng)定為x元，則平均每月可售出[[600﹣，∴（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，∴x2﹣130x+4000＝0，∴x7＝50，x2＝80．又∵每個臺燈的利潤不得高于進價的90%，即利潤≤30×90%＝27，∴x﹣30≤27．∴x≤57．∴x＝50．∴這時應(yīng)進臺燈為：600﹣（50﹣40）＝500（個）．答：為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應(yīng)定為50元．（2）由題意，設(shè)臺燈的售價為x元，依題意：y＝（x﹣30）[600﹣，∴y＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250．又∵0＜x≤57．∴當x＝57時，y最大＝11610元．答：這種臺燈的售價應(yīng)定為57元，每月的最大利潤是11610元．五、解答題（三）（22題13分，23題14分，共27分）22．（13分）如圖，在正方形ABCD中，線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），延長BE至點F使得CB＝CF，取線段EF的中點G（1）求證：△ADE≌△CDF．（2）如圖（2），當E恰好是BF中點時，求證：．（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，∠BGC的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求出∠BGC的度數(shù)，請說明理由．（4）若AB＝4，在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出△GDC的面積最大值．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∵線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到線段AE，∴AB＝AE，∠BAE＝α，∴∠DAE＝90°﹣α，∠ABE＝90°﹣，∴∠CBF＝，∵BC＝CF，∴∠CBF＝∠CFB＝，CF＝CD＝AD＝AE，∴∠BCF＝180°﹣α，∴∠DCF＝90°﹣α，∴∠DCF＝∠DAE，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）證明：如圖2，連接BD，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∵G是EF的中點，∴DG＝EG＝GF，DG⊥EF，∴∠DGB＝90°＝∠BCD，∠DEG＝45°，∴點G，點D，點C四點共圓，∴∠BGC＝∠BDC＝45°，∴∠DEG＝∠BGC，∴DE∥CG，∵BC＝CF，點E是BF中點，∴CE⊥BF，BE＝EF＝6DG，∴DG∥CE，∴四邊形DGCE是平行四邊形，∴CE＝DG，∴CF＝＝＝DG，∴AE＝DG；（3）解：∠BGC的度數(shù)不會改變，理由如下：如圖2，連接BD，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∵G是EF的中點，∴DG＝EG＝GF，DG⊥EF，∴∠DGB＝90°＝∠BCD，∠DEG＝45°，∴點G，點D，點C四點共圓，∴∠BGC＝∠BDC＝45°；（4）解：如圖7，連接AC，連接OG，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，∴CD＝AB＝4，AC＝BD＝2，∵點G，點D，點C四點共圓，∴點G在以O(shè)為圓心，OD為半徑的圓上運動，∵線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（8°＜α＜90°）得到線段AE，∴點G在上運動，∴當OG⊥CD時，△GDC的面積有最大值，∵OD⊥OC，OD＝OC，∴OH＝CH＝DH＝2，∴△GDC的面積的最大值＝×4×（2﹣4．23．（14分）如圖所示，拋物線y＝ax2+2x+