應(yīng)用隨機過程課件 ch7布朗運動

應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE10/60第七章布朗運動第七章布朗運動應(yīng)用隨機過程中國人民大學(xué)出版社引言引言離散時間馬氏鏈的狀態(tài)和時間均是離散的；而連續(xù)時間馬氏鏈則是狀態(tài)離散、時間連續(xù)的。實際上，還有一類滿足馬氏性，并且時間和狀態(tài)均連續(xù)的隨機過程，稱為馬氏過程vprocess，其中最具有代表布朗運動簡史布朗運動簡史布朗運動（Brownianmotion）是由英國生物學(xué)家羅伯特?布朗（RobertBrown，1773—1858）于1828年首先觀察到的花粉顆粒浮于液體內(nèi)不規(guī)則運動的物理現(xiàn)象。1900年，法國數(shù)學(xué)家路易斯?巴舍利耶（LouisBachelier，1870—1946）在他的博士論文中正式將布朗運動引入證券市場，用來描述股價的變動。阿爾伯特?愛因斯坦（AlbertEinstein，1879—1955）1905年在研究狹義相對論的過程中，獨立地對布朗運動進行了數(shù)學(xué)刻畫。之后，諾伯特?維納（NorbertWiener，1894—1964）1923年研究了布朗運動的數(shù)學(xué)理論，并對其嚴格定義，因此布朗運動也被稱為維納過程（ienerproces。本章內(nèi)容本章內(nèi)容1隨機游走1隨機游走的含義對稱隨機游走按比例縮小型對稱隨機游走2布朗運動及其性質(zhì)2布朗運動的定義及其性質(zhì)布朗運動的變換布朗運動的瞬時增量及其性質(zhì)3布朗運動的首中時刻首中時刻的概念3

首中時刻的性質(zhì)4首中時刻在金融中的應(yīng)用反射原理與布朗運動的最大值4反射原理布朗運動的最大值567反射原理在金融中的應(yīng)用反正弦律567馬氏過程布朗運動的變化形式布朗橋有漂移的布朗運動幾何布朗運動隨機游走的含義隨機游走的含義隨機游走的含義隨機游走假設(shè)一個粒子每隔?t時間做一次向上或向下的運動，其中向上運動的概率為p，移動的距離為1個單位；向下運動的概率為q=1?p，移動的距離也為隨機游走的含義隨機游走粒子向下運動的位移即為?1個單位。將每次粒子的位移記作隨機變量Zi，其中i表示移動的次數(shù)。相應(yīng)地，粒子的上下運動稱作隨機游走（randomk。因此有：P(Zi=1)=p, P(Zi=?1)=q=1?p假設(shè)隨機變量Zi是獨立同分布的，當t=n?t時，將t時間段內(nèi)粒子的位移記作X(t)，則有：X(t)=Z1+Z2+···+Zn應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE6/60隨機游走的含義隨機游走的含義(cont.)隨機游走的含義隨機游走的含義隨機游走

E(Zi)=1·P(Zi=1)+(?1)·P(Zi=?1)=p?qiE(Z2)=12·P(Zi=1)+(?1)2·P(Zi=?1)=1iiVar(Zi)=E(Z2)?[E(Zi)]2=4pqi由于期望具有線性性質(zhì)，因此：E[X(t)]=E(Z1)+E(Z2)+···+E(Zn)=n(p?q)另外，基于隨機變量Zi是獨立同分布的前提假設(shè)可得：Var[X(t)]=Var(Z1)+Var(Z2)+···+Var(Zn)=4npq隨機游走 隨機游走 隨機游走的含義隨機游走示意圖X(X(t)t12345678910?1?2隨機游走 隨機游走 對稱隨機游走對稱隨機游走若隨機游走的粒子上下運動的概率均為50%，即p=q=0.5，可以得到粒子位移X(t)的均值和方差分別為：E[X(t)]=n(p?q)=0Var[X(t)]=4npq=n對應(yīng)的每次粒子位移Zi的均值和方差分別為：E(Zi)=0, Var(Zi)=1此時的隨機游走稱作對稱隨機游走（crandomk。其中，位移的期望為零，方差則與位移次數(shù)n有關(guān)。n=t/?t，也就是t位移的期望為零，方差則與位移次數(shù)n有關(guān)。對稱隨機游走的二次變差對稱隨機游走的二次變差對稱隨機游走隨機游走截至t時刻的對稱隨機游走的二次變差（對稱隨機游走隨機游走?? ? ?nX,X(t)= (Xi Xi?1)2i=1由于增量Zi=Xi?Xi?1=±1，因此：?X,X?(t)=n由此不難看出，對稱隨機游走的二次變差在數(shù)值上等于其方差，即：Var[X(t)]=n=?X,X?(t)隨機游走 隨機游走 對稱隨機游走對稱隨機游走的二次變差與方差Var[X(t)]=n=?X,X?(t)二次變差?X,X?(t)=n與隨機游走中上下運動的概率無關(guān)；而方差Var[X(t)]=n成立的前提是對稱隨機游走，即p=q=0.5。正因如此，二次變差?X,X?(t)是沿著隨機游走的單條路徑計算得到，而方差Var[X(t)]則是對所有的路徑，以其概率權(quán)重求平均得到。隨機游走 隨機游走 按比例縮小型對稱隨機游走按比例縮小型對稱隨機游走在原先的對稱隨機游走的基礎(chǔ)上，引入按比例縮小型對稱隨機游走（dsymmetricrandomwalk，將原先的t時間段粒子位移的次數(shù)n劃?t=t/n劃分成距離相等的m?t?t/mn次mnZiW(m)(s)，從而可得：W(m)

1(s)=√mZms, s∈[0,t]按比例縮小型對稱隨機游走的示意圖按比例縮小型對稱隨機游走的示意圖隨機游走隨機游走按比例縮小型對稱隨機游走W(100)(t)34t120?1隨機游走 隨機游走 按比例縮小型對稱隨機游走按比例縮小型對稱隨機游走(cont.)EW(m)

()＿

=0,

(s)＿=

（ ＼1（ ＼√m

11=m對于[s,t]時間段內(nèi)的增量W(m)(t)?W(m)(s)而言，粒子發(fā)生了m(t?s)次位移，根據(jù)獨立增量的性質(zhì)可得：E(m)()?W(m)(s)＿=0,mr(m)()?W(m)(s)＿=1·(t?s)=t?sm接下來考慮二次變差，可得：／W(m),W()＼

(t)=

mt?Wj?W

（j＼mm

（?1＼l2mmj=1=√mZj=m=m·j=1=√mZj=m=m·mt=t

mt1 1jj=1j=1 j=1j=1因此，按比例縮小型對稱隨機游走的均值、方差和二次變差分別如下：EW()(t)＿=0, rW()(t)＿=t, ／W(m),W()＼(t)=t0t的正態(tài)分布。當按比例縮小型對稱隨機游走的參數(shù)m→∞時，隨機游走就變成了布朗運動。根據(jù)中心極限定理，當固定t≥0時，W(m)(t)在時刻t取值的分布將收斂于均應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE15/60布朗運動的定義布朗運動的定義布朗運動的定義及其性質(zhì)布朗運動及其性質(zhì){W(t)t≥0}W(t)為標準布朗運動（dBrownianmotion，簡稱為布朗運動Brownianmotio布朗運動的定義及其性質(zhì)布朗運動及其性質(zhì)W(t)連續(xù)且W(0)=0；W(t)～N(0,t)；W(s+t)?W(s)～N(0,t)；注意：W(t)是獨立增量過程。注意：結(jié)合條件結(jié)合條件2和3可知，布朗運動具有平穩(wěn)增量的特征。應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社16/60布朗運動的增量獨立性布朗運動的增量獨立性布朗運動的定義及其性質(zhì)布朗運動及其性質(zhì)若0≤s1<t1≤s2<t2，則W(t1)?W(s1)和W(t2)?W(s2布朗運動的定義及其性質(zhì)布朗運動及其性質(zhì)Cov[W(t1)?W(s1),W(t2)?W(s2)] l=Cov[W(t1?s1),W(t2?s l=EW(t1?s1)W(t2?s2)?E[W(t1?s1)]E[W(t2?s2)]對于正態(tài)分布而言，獨立意味著不相關(guān)，因此：Cov[W(t1)?W(s1),W(t2)?W(s2)]=0又由于布朗運動的增量均值為0，從而可得：EW(t1?s1)W(t2?s2)l=0應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社17/應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社17/60布朗運動的性質(zhì)布朗運動的性質(zhì)布朗運動的定義及其性質(zhì)布朗運動及其性質(zhì) lE[W(布朗運動的定義及其性質(zhì)布朗運動及其性質(zhì) lVar[W(t)]=t=EW2(t)；若s<t，則Cov[W(s),W(t)]=E[W(s)W(t)]=s∧t=s。應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社18/60布朗運動的協(xié)方差布朗運動的協(xié)方差布朗運動的定義及其性質(zhì)布朗運動及其性質(zhì) l lCov[W(s),W(t)]=EW(s)W(t)?E[W(布朗運動的定義及其性質(zhì)布朗運動及其性質(zhì) l l｛ ｝=EW(s)W(t｛ ｝｛ ｝ l=EW(s)[W(t)?W(s)+W(s｛ ｝ l｛ ｝=EW(s)[W(t)?W(s)]+EW2(s｛ ｝ l根據(jù)增量獨立性，EW(s)[W(t)?W(s lCov[W(s),W(t)]=EW2(s)=s更進一步地，上式可以表示如下：Cov[W(s),W(t)]=min(s,t)=s∧t其中，符號∧表示取兩值中的較小值。布朗運動及其性質(zhì) 布朗運動及其性質(zhì) 布朗運動的定義及其性質(zhì)舉例1應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE24/60解答：假設(shè)0<s<t，求W(s)+W(t)的均值和方差。解答：W(s)+W(t)可以如下變形：W(s)+W(t)=2W(s)+[W(t)?W(s)]根據(jù)期望的線性性質(zhì)可得：E[W(s)+W(t)]=E[W(s)]+E[W(t)]=0根據(jù)布朗運動的增量獨立性，有：Var[W(s)+W(t)]=Var[2W(s)+W(t)?W(s)]=4Var[W(s)]+Var[W(t)?W(s)]=4Var[W(s)]+(t?s)=4s+(t?s)=3s+t布朗運動及其性質(zhì) 布朗運動及其性質(zhì) 布朗運動的定義及其性質(zhì)舉例2解答：對于在直線上做布朗運動的粒子而言，其在時刻2的坐標為1，求其在時刻5的坐標不超過3的概率。解答：該概率是一個條件概率，表達式為：P[W(5)≤3|W(2)=1]，因此：P[W(5)≤3|W(2)=1]=P[W(5)?W(2)≤2|W(2)=1]=P[W(5)?W(2)≤2]=P[W(3)≤2]（ ＼由于W(3)～N(0,3)（ ＼2P[W(3)≤2]=N √3其中，N(·)是標準正態(tài)分布的分布函數(shù)

=0.876布朗運動及其性質(zhì) 布朗運動及其性質(zhì) 布朗運動的變換布朗運動的變換對于布朗運動W(t)，如下變換后的隨機過程X(t)仍然是布朗運動：反射變換(reflection)：X(t)=?W(t)。1平移變換(translation)：X(t)=W(t+s)?W(s),?s≥0。縮放變換(rescaling)：X(t)=√aW(at),?a>0。1證明的思路：反轉(zhuǎn)變換(inversion)：X(t)=tW(1/t)，t>0，并且X(0)=0。證明的思路：該過程的期望和方差是否滿足布朗運動的性質(zhì)，即：該過程的期望和方差是否滿足布朗運動的性質(zhì)，即：E[W(t)]=0,Cov[W(t),W(s)]=s∧t布朗運動及其性質(zhì) 布朗運動及其性質(zhì) 布朗運動的瞬時增量及其性質(zhì)布朗運動的瞬時增量W(t+?t)?W(t)～N(0,?t)當?t→0時，定義：dW(t)=lim?t→0

W(t+?t)?W(t)此時W()稱作(t)的瞬時增量（instantaneousincremen，相應(yīng)地：dW(t)～N(0dt)如果對W(t)關(guān)于t求導(dǎo)，可得：dW(t)=lim

W(t+?t)?W(t)dt ?t→0 ?t布朗運動瞬時增量的性質(zhì)布朗運動瞬時增量的性質(zhì)布朗運動的瞬時增量及其性質(zhì)布朗運動的瞬時增量及其性質(zhì)布朗運動及其性質(zhì)E「

(t+?t)?W(t)l=1·E[W(t+?t)?W(t)]=0→ 「 l→∞?t?t?t(?t)2?tVar「(t+?t)?W(t)l=1 ·Var[W→ 「 l→∞?t?t?t(?t)2?t當?t 0時，VarW(t+?t)?W(t) ，微商的方差無界，意味?t布朗運動W(t)是處處連續(xù)且處處不可微的特殊函數(shù)。布朗運動的這一特征，決定了其路徑不是光滑（smooth）的。布朗運動W(t)是處處連續(xù)且處處不可微的特殊函數(shù)。布朗運動的這一特征，決定了其路徑不是光滑（smooth）的。注意：應(yīng)用隨機過程第七章應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE24/60布朗運動的變差布朗運動的變差布朗運動的瞬時增量及其性質(zhì)布朗運動及其性質(zhì)對于布朗運動W(t)，其一次變差（布朗運動的瞬時增量及其性質(zhì)布朗運動及其性質(zhì)—1?—1?limn→∞limn→∞k=01W(tk+1)?W(tk)1=∞二次變差（quadraticvariation）如下：—n—? ?W,W(t)=? ?n→∞k=0

2＿W(tk+1)?W(tk) =t＿類似地，當p≥3時，其高階變差如下：limn→∞k=0W(tk+1)?limn→∞k=0W(tk+1)?W(tk)=0布朗運動的二次變差也可以形式地記為：dW(t)·dW(t)=dt布朗運動及其性質(zhì) 布朗運動及其性質(zhì) 布朗運動的瞬時增量及其性質(zhì)二次變差布朗運動與光滑函數(shù)最主要的差別體現(xiàn)在二次變差上：光滑函數(shù)的二次變差為零；布朗運動的二次變差不為零。布朗運動的首中時刻 布朗運動的首中時刻 首中時刻的概念首中時刻的概念τaaτa=min{t:t≥0,W(t)=a}首中時刻τa是一個隨機變量，也就是停時。注意：則稱τa為首中時刻firsthittingtim）或首達時間firstpassage首中時刻τa是一個隨機變量，也就是停時。注意：首中時刻的性質(zhì)首中時刻的性質(zhì)首中時刻的性質(zhì)布朗運動的首中時刻考慮一個布朗運動，其起始點的位置在a處，由于布朗運動具有的對稱性，在已知τa<t的條件下，未來的任意時刻t，布朗運動的質(zhì)點會等可能地位于首中時刻的性質(zhì)布朗運動的首中時刻2P[W(t)>a|τa<t]=P[W(t)<a|τa<t]=12對于第一項可得：P[W(t)>a|τa<t]=P[W(t)>a,τa<t]=P[W(t)>a]P(τa<t) P(τa<t)布朗運動的首中時刻 布朗運動的首中時刻 首中時刻的性質(zhì)首中時刻的性質(zhì)(cont.)＼（a>0W(0)=0{W(t)>a}t{τa<t}P[W(t)>aτa<t]=P[W(t)>a]，于是：＼（＼P(τa＼

<t)=2·P[W(t)>a]=2·P

aZ>√tr（∞r(nóng)（=2a/√t

1 x2√2πexp?2 dx假設(shè)a<0，則有類似的結(jié)果如下：P[W(t)<a|τa<t]=P[W(t)<a,τa<t]=P[W(t)<a]于是：

P(τa

P(τa<t)<t)=2·P[W(t)<a]=2·Pr（√r（

P(τa<t)＼＼（aZ<√t＼＼（a/t1 x22π=2 √ exp?2 dx2πr＼（?∞r(nóng)＼（∞=2?a/√t

1 x2√2πexp?2 dx應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社30/60應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社30/60首中時刻的分布函數(shù)首中時刻的分布函數(shù)首中時刻的性質(zhì)布朗運動的首中時刻首中時刻的性質(zhì)布朗運動的首中時刻＼

2

r∞r(nóng)ra/√tr

1 x2（（√2πexp?2（（

dx a>0因此：

P(τa

<t)=

2

∞?a/√t

1 x2√2πexp?2

＼dx a<0＼Fτa(t)=P(τa<t)=2

∞r(nóng)|a|/√tr=2·=2·N?√t

1 x2＼（√2πexp?2 dx＼（|a|＼應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE46/60首中時刻的密度函數(shù)首中時刻的密度函數(shù)首中時刻的性質(zhì)布朗運動的首中時刻對Fτa(t)關(guān)于t求微分，可以得到對應(yīng)的密度函數(shù)fτa(t首中時刻的性質(zhì)布朗運動的首中時刻＼fτa(t)=dFτ＼fτa(t)=

（1

a2＼tt

?3/2||dt =√||dt =√2πexp?2··|a|·2t=√2πt3exp

a2說明：（?2t說明：（

, t>0τa1/2a2/2Gamma分布（inverseadistribution。布朗運動的首中時刻 布朗運動的首中時刻 首中時刻的性質(zhì)首中時刻的特殊性質(zhì)對于任意位置a，布朗運動均能以概率1到達。P(τa

∞ t< )=limP(τ∞ t→∞

<t)=lim2Ntt

a||（||（=2·N(0)=1＼首中時刻的期望值為無窮大。＼E(τa)=

∞r(nóng)·tfτa(t)dt=r·0

∞a0r ||√0r ||

a2（?2t（

dt=∞布朗運動的首中時刻 布朗運動的首中時刻 首中時刻在金融中的應(yīng)用首中時刻在金融中的應(yīng)用美式期權(quán)（Americanoption）提前行權(quán)的具體時間取決于期權(quán)標的物價格的隨機變動情況。正因如此，提前行權(quán)的時間可看作首中時刻。障礙期權(quán)（barrieroption）在未來標的物價格達到一定水平（即障礙價格）時生效［也稱敲入（knock-in］或失效［也稱敲出（knock-out。因此，障礙期權(quán)敲入或敲出的時間也可以看作首中時刻。反射原理反射原理定義：反射原理反射原理與布朗運動的最大值τa后發(fā)生了反射，由此所構(gòu)成的路徑也是布朗運動，這一性質(zhì)就是反射原理（reflectionprinciple定義：反射原理反射原理與布朗運動的最大值- W(t), - W(t), t [0,τa]W(t)= ∈2a?W(t), t∈[τa,∞)稱-(t)是在τa時刻發(fā)生反射的布朗運動。反射原理與布朗運動的最大值 反射原理與布朗運動的最大值 反射原理反射原理示意圖60504030200 100 200 300 400 500 600 700 800 900100060504030200 100 200 300 400 500 600 700 800 9001000反射原理與布朗運動的最大值 反射原理與布朗運動的最大值 布朗運動的最大值布朗運動的最大值對于布朗運動W(t)，若在區(qū)間t∈[0,T]上，有：MT=maxW(t)t∈[0,T]則稱MT是布朗運動在[0,T]上的最大值。當a>0時，如果在時間t處，W(t)>a，則意味著在時間段[0,t]上，Mt>a并且τa<t，因此：{Mt>a}={Mt>a,W(t)>a}∪{Mt>a,W(t)≤a}={W(t)>a}∪{Mt>a,W(t)≤a}由于上面的兩個事件互不相容，因此：P(Mt>a)=P[W(t)>a]+P[Mt>a,W(t)≤a]反射原理與布朗運動的最大值 反射原理與布朗運動的最大值 布朗運動的最大值布朗運動的最大值(cont.)- - ＿ 根據(jù)反射原理，以τa為界，當t≥τa時，W(t)=2a?- - ＿ P[Mt>a,W(t)≤a]=PMt>a,W(t)≥a=PW(t)≥a-由于W(t)與W(t)均是布朗運動，因此：-P-()≥＿=P[W(t)≥a]于是：P(Mt>a)=P[W(t)>a]+P[W(t)≥a]=2·P[W(t)>a]（ a＼

r∞1

（12＼=2·P

Z>√t√

=2·

a/√t

√2πexp

?2x dxr?a/

t1

（12＼

（a＼=2·?∞

√2πexp

?2x

dx=2N

?√t從另一個角度來看，{Mt>a}這一事件必然意味著{τa<t}成立，因此：P(Mt

>a)=P(τa

<t)=Fτa(t)=2N

a提示：（?√t提示：（

＼, a>0＼此處直接使用了首中時刻此處直接使用了首中時刻τa的分布函數(shù)。反射原理與布朗運動的最大值 反射原理與布朗運動的最大值 布朗運動的最大值布朗運動的最大值Mt的分布函數(shù)＼（FMt(a)=P(Mt<a)=1?P(Mt>a)＼（=1?2N√

a?√tra/

t1

（12＼=?a/√t

√2πexp

?2x dx反射原理與布朗運動的最大值 反射原理與布朗運動的最大值 反射原理在金融中的應(yīng)用反射原理在金融中的應(yīng)用回望期權(quán)（lookbackoption）在未來到期日，其回報數(shù)額的計算不是依據(jù)行權(quán)價和到期日標的資產(chǎn)的價格：看漲型回望期權(quán)的回報數(shù)額是依據(jù)行權(quán)價和期間內(nèi)標的資產(chǎn)價格的最高值計算確定；看跌型回望期權(quán)的回報數(shù)額則是依據(jù)到期日標的資產(chǎn)價格與期間內(nèi)標的資產(chǎn)價格的最低值計算確定。對回望期權(quán)進行定價，就需要使用反射原理以及布朗運動最大值的相關(guān)性質(zhì)。障礙期權(quán)的定價問題當中，敲入或敲出的條件可以等價為判斷期權(quán)有效期內(nèi)，標的資產(chǎn)價格最大值或最小值是否達到障礙價格。因此，也可以基于反射原理，最終推導(dǎo)出障礙期權(quán)的價格。反正弦律(0t0的概率進行研究。反正弦律(rt0N(rt)，并由z(rt)，即：z(r,t)=P[N(r,t)≥1], r∈[0,t)r根據(jù)全概率公式，我們有：rz(r,t)=P[N(r,t)≥1]= ∞P[N(r,t)≥1|W(r)=x]·P[W(r)=x]dx?∞其中，P[N(r,t)≥1|W(r)=x]表示在r時刻布朗運動處于位置x的條件下，時間段(r,t]布朗運動到達位置0的次數(shù)不少于一次的概率應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE42/60反正弦律P[N(r,t)≥1|W(r)=x反正弦律假設(shè)x<0，根據(jù)布朗運動的獨立增量性質(zhì)，以上概率也可看作W(0)=0的條件下，在時間段(0,t?r]布朗運動到達位置(?x)的次數(shù)不少于一次的概率，這等價于在該時間段，布朗運動的最大值大于(?x)的概率P[N(r,t)≥1|W(r)=x]=P[Mt?r>?x|W(0)=0]=P[τ?x<t?r]類似地，當x>0時，利用反射原理可得：-P[N(r,t)≥1|W(r)=x]=P[Mt?r>x|W(0)=0]=P[τx<t?r]-r ||r || l「P[N(r,t)≥1|W(r)=x]=P[τ|x|<t?r]=

t?rx0√2πu3exp0

x2?2u du應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE43/60zz(r,t)的表達式反正弦律rz(r,t)= ∞P[N(r,t)≥1|W(r)=x]·P[W(r)=x]d反正弦律rr （r |r （r || ll「「∞ t?rx= √2πu3exp

x2?2u

1 √2πrexp

x2?2r dx?∞ 0=2π√u3r|x|exp?2u+rdx=2π√u3r|x|exp?2u+rdxdu00

「x2（1

＼l?∞πt=···=2arccosI?∞πt其中：z(r,t)是時間段(r,t]內(nèi)，返回位置0的次數(shù)不少于一次的概率。應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE44/60結(jié)論結(jié)論反正弦律πtz(r,t)=2arccosIr反正弦律πt與之相對，時間段(r,t]內(nèi)，沒有返回位置0的概率即為：πtπ2tπt1z(rt1?2arccosIr=2「πarccosIrlπtπ2tπt=2arcsinIr應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE45/60布朗運動的反正弦律布朗運動的反正弦律反正弦律設(shè)W(u)是布朗運動，則其在時間段(r,t)上沒有返回位置0反正弦律I為：IP{W(u)0,u∈(r,t)}=2arcsin π t反正弦律也可以表述為：對于α∈(0,1)，πP{W(u)?=0,u∈(αt,t)}=2arcsin√απ布朗運動沒有返回位置0的概率，與時間段的縮放參數(shù)α聯(lián)系緊密。我們記：∈F(α)=2arcsin√α, α (0,1)∈π此處的F(α)就是反正弦分布的分布函數(shù)。反正弦律反正弦分布的密度函數(shù)反正弦律反正弦分布的密度函數(shù)對F(α)關(guān)于α求導(dǎo)，可得反正弦分布的密度函數(shù))=F′()=F′(α)= 1 ,π/α(1?α)α∈(05432100 0.20.4 0.6α0.81f(α)

,1)馬氏過程回顧：馬氏性馬氏過程回顧：馬氏性在給定當前的條件下，未來與過去是獨立的，即：P(Xn+1=j|Xn=i,Xk=xk,0≤k<n)=P(Xn+1=j|Xn=i)在時間和狀態(tài)均連續(xù)的布朗運動中，同樣具有此種性質(zhì)，即：P(Xt+s≤y|Xu,0≤u≤s)=P(Xt+s≤y|Xs)當這個條件概率不依賴于s的取值時，該過程具有時齊性，即：在時間和狀態(tài)均連續(xù)的過程中，若滿足馬氏性，則稱其為馬氏過程。相應(yīng)地，P(Xt≤y|X0=x)稱為過程的轉(zhuǎn)移分布函數(shù)。P(Xt+s≤y|Xs在時間和狀態(tài)均連續(xù)的過程中，若滿足馬氏性，則稱其為馬氏過程。相應(yīng)地，P(Xt≤y|X0=x)稱為過程的轉(zhuǎn)移分布函數(shù)。轉(zhuǎn)移函數(shù)轉(zhuǎn)移函數(shù)馬氏過程正如離散狀態(tài)馬氏鏈當中，轉(zhuǎn)移矩陣在研究隨機演化的過程中扮演著重要的角色，馬氏過程則是使用轉(zhuǎn)移函數(shù)來研究過程隨時間的演化。轉(zhuǎn)transitionkernet(x,·)0=x的條tXt馬氏過程P(Xt≤y|P(Xt≤y|X0=x)=Kt(x,w)dwP(Xt≤y|X0=x)=Kt(x,w)dw?∞應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE49/60C-KC-K方程馬氏過程C-KC-K方程，只不過原先公式中的求和符號變成了積分符號；原先的轉(zhuǎn)移概率馬氏過程離散狀態(tài)馬氏鏈中的轉(zhuǎn)移概率ps+t(x,y)與馬氏過程中的轉(zhuǎn)移核—Ks+t(x,y)之間的關(guān)系如下：—ps+t(x,y)= ps(x,k)pt(k,y), ?krkrKs+

t(x,y)= ∞Ks(x,z)Kt(z,y)dz, ?s,t?∞馬氏過程布朗運動的轉(zhuǎn)移函數(shù)馬氏過程布朗運動的轉(zhuǎn)移函數(shù)對于布朗運動W(t)而言，由于W(t+s)?W(s)=W(t)～N(0,t)，因此：r＼（P[W(s+t)≤y|W(s)=x]=P[W(t)≤(y?x)|W(0)=0]r＼（從而：

y?x1?∞= √2πtexp?∞

w2?2t dw1Kt(x,y)=√2πtexp

(y x)2l「 ?? 2tl「 ?布朗運動的變化形式 布朗運動的變化形式 布朗橋布朗橋的定義1假設(shè)W(t)是一個布朗運動，令W?(t)=W(t)?tW(1), t∈[0,1]則稱W?()為布朗橋Brownianbridg。根據(jù)定義不難看出：W?(0)=W(0)=0, W?(1)=W(1)?W(1)=0可見，W?(t)的兩個端點是固定的，就如同橋一樣，故名布朗橋。布朗橋布朗橋W?(t)的期望和協(xié)方差布朗橋布朗運動的變化形式對于布朗橋W?(t)，假設(shè)0≤s≤t≤布朗橋布朗運動的變化形式E[W?(t)]=E[W(t)]?E[tW(1)]=E[W(t)]?tE[W(1)]=0Cov[W?(s)W?(t)]=E[W?(s)W?(t)]=E[W(s)?sW(1)][W(t)?tW(1)]=E[W(s)W(t)]?tE[W(s)W(1)]?sE[W(1)W(t)]+tsE[W2(1)]=s?ts?st+ts=s?ts=s(1?t)應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE53/60布朗橋的定義布朗橋的定義2布朗橋布朗運動的變化形式假設(shè)W(t布朗橋布朗運動的變化形式TX(t)=W(t)?tW(T), t∈[0,T]T則稱X(t)為布朗橋。此處定義的布朗橋仍然滿足X(0)=X(T)=0，可以看作定義1的拓展。不難看出，當T=1時，布朗橋X(t)就變成了W?(t)。應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE應(yīng)用隨機過程第七章布朗運動中國人民大學(xué)出版社PAGE54/60布朗橋布朗橋X(t)的期望和協(xié)方