《數(shù)學（下冊）（第二版）》 課件 第５章　常微分方程

常微分方程第5章230目錄5.1可分離變量的微分方程5.2一階線性微分方程5.3二階常系數(shù)齊次線性微分方程231教學要求：1.理解微分方程的概念，理解常微分方程的階、解、通解、初值條件和特解的概念.2.會求可分離變量的微分方程的通解和特解.3.理解一階線性微分方程的概念，會求一階線性微分方程的通解和特解.4.理解二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其特征方程的概念.5.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法和步驟.6.了解微分方程在實際問題中的具體應用.232５.1可分離變量的微分方程233微分方程的基本概念微分方程及微分方程的階實例考察中的等式

都含有未知函數(shù)的導數(shù)（或微分），它們都是微分方程，由此，我們給出微分方程的定義．在微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階．234微分方程的解、通解與特解如果把一個函數(shù)代入微分方程后，能使方程兩邊恒等，則稱此函數(shù)稱為微分方程的解．微分方程的解有兩種形式．如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且相互獨立的（即不可合并而使個數(shù)減少的）任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解通常稱為微分方程的通解；而不包含任意常數(shù)的解通常稱為微分方程的特解．235微分方程的初值條件我們知道通解中的任意常數(shù)一旦由某種特定條件確定后，就得到微分方程的特解．一般地，用以確定通解中任意常數(shù)的特定條件稱為微分方程的初值條件，初值條件通常以

的形式給出．由于一階微分方程的通解只含一個任意常數(shù)，所以對于一階微分方程，只需給出一個初值條件便可確定通解中的任意常數(shù)．同樣，由于二階微分方程的通解含有兩個任意常數(shù)，所以對于二階微分方程需給出兩個初值條件236可分離變量的微分方程一般地，可分離變量的微分方程求解步驟如下：（1）把一個可分離變量的微分方程化為形如g（y）dy＝f（x）dx的方程，這一步驟稱為分離變量；237（2）兩邊積分∫g（y）dy＝∫f（x）dx；（3）求出積分得通解G（y）＝F（x）＋C，其中，G（y），F(xiàn)（x）分別是g（y），f（x）的原函數(shù)，C是任意常數(shù)；（4）若方程給出初值條件，則可確定常數(shù)C，得到方程滿足初值條件的特解．238239如果一階微分方程

＝f（x，y）中的函數(shù)f（x，y）可以寫成

的函數(shù)，即則稱這樣的方程為齊次方程．在齊次方程中變量x與y一般是不能直接分離的，而引進新的未知函數(shù)u

＝，即y＝ux，則代入齊次方程，得可以分離變量，得兩邊積分，求出積分后，再用代替u，便得齊次方程的通解．2405.2一階線性微分方程241一階線性微分方程的定義242一階線性微分方程的解下面我們先來求與一階非齊次線性微分方程相對應的齊次線性方程的解．顯然，一階齊次線性微分方程②是可分離變量的．分離變量，得243兩邊積分，得即得一階齊次線性微分方程②的通解公式現(xiàn)在我們使用所謂“常數(shù)變易法”來求非齊次線性方程①的通解．我們把方程①所對應的齊次線性方程②的通解中的C換成x的未知函數(shù)u（x），從而得到244于是把y和

代入方程①，得整理，得即245對上式兩邊積分，得把上式代入y＝

，即得一階非齊次線性方程①的通解公式或上述這種求微分方程解的方法，就是常數(shù)變易法．246容易看出，通解中的第一項就是方程①所對應的齊次線性方程②的通解，第二項就是原非齊次線性方程①的一個特解（它可以從通解中取C＝0得到）．由此可知，一階非齊次線性方程的通解是由對應的齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解相加而構成的．2475.3

二階常系數(shù)齊次線性微分方程248二階常系數(shù)齊次線性微分方程的定義249二階常系數(shù)齊次線性微分方程解的結構250定理（二階常系數(shù)齊次線性微分方程解的疊加原理）設函數(shù)y1（x）與y2（x）是方程y″＋py′＋qy＝0的兩個解，則函數(shù)y＝C1y1（x）＋C2y2（x）（C1，C2是任意常數(shù)）也是方程y″＋py′＋qy＝0的解，且當y1（x）與y2（x）線性無關時，y＝C1y1（x）＋C2y2（x）是該方程的通解．251證明將y＝C1y1（x）＋C2y2（x）代入方程y″＋py′＋qy＝0，得[C1y1（x）＋C2y2（x）]″＋p[C1y1（x）＋C2y2（x）]′＋q[C1y1（x）＋C2y2（x）]＝C1[y1″（x）＋py1′（x）＋qy1（x）]＋C2[y2″（x）＋py2′（x）＋qy2（x）]＝0．所以，函數(shù)y＝C1y1（x）＋C2y2（x）是方程y″＋py′＋qy＝0的解．因為y1（x）與y2（x）線性無關，且方程的解y＝C1y1（x）＋C2y2（x）中所含的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，所以它是該方程的通解．252二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法二階常系數(shù)齊次線性微分方程解的疊加原理告訴我們，欲求方程y″＋py′＋qy＝0①的通解，關鍵在于求出它的兩個線性無關的特解．為此，我們來分析齊次線性方程①的特點．方程①的左邊是y″，py′與qy三項之和，且右邊為0，即滿足方程①的函數(shù)y很可能與它的一階導數(shù)y′，二階導數(shù)y″只差一個常數(shù)因子，什么樣的函數(shù)具有這樣的特點呢?容易聯(lián)想到指數(shù)形式的函數(shù)y＝erx（r為常數(shù)，它的各階導數(shù)是函數(shù)erx

乘以一個常數(shù)因子）．253為此，我們設函數(shù)y＝erx為方程①的解，則y′＝rerx，y″＝r2erx．把y，y′，y″代入方程①，整理得（r2＋pr＋q）erx＝0．由于erx≠0，所以有r2＋pr＋q＝0．

②254這表明，只要常數(shù)r滿足方程②，函數(shù)y＝erx就是二階常系數(shù)齊次線性微分方程①的解．我們稱一元二次方程r2＋pr＋q＝0為二階常系數(shù)齊次線性微分方程①的特征方程．特征方程r2＋pr＋q＝0中，r2，r的系數(shù)及常數(shù)項，依次是微分方程①中y″，y′，y的系數(shù)．由一元二次方程的求根公式，可得特征方程r2＋pr＋q＝0的兩個根（簡稱特征根）r1，r1．255y″＋py′＋qy＝０的通解的步驟如下．第一步寫出特征方程r2＋pr＋q＝0．第二步求出特征方程的兩個根r1