專題42導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

專題4.2導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用題型一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題型二利用導(dǎo)函數(shù)圖象確定原函數(shù)圖象題型三利用原函數(shù)圖象確定導(dǎo)函數(shù)圖象題型四已知函數(shù)在區(qū)間上遞增（減）求參數(shù)題型五已知函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)題型六已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)題型七利用函數(shù)單調(diào)性比較大小題型八利用函數(shù)單調(diào)性解決抽象不等式題型一 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1．（2023春·甘肅蘭州·高三蘭大附中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為______．【答案】/【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，∵，令得，∴函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．故答案為：例2．（2023春·天津南開·高三天津二十五中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B． C．， D．【答案】D【分析】由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零，解不等式即可求解.【詳解】，，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：D練習(xí)1．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間是______．【答案】【分析】對(duì)求導(dǎo),使其大于零,解得即可.【詳解】解:由題知,所以,令,解得,所以的嚴(yán)格增區(qū)間是.故答案為:練習(xí)2．（2023春·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______．【答案】【分析】對(duì)求導(dǎo)，求出的解即可求出答案.【詳解】因?yàn)?則令,即,且所以,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：練習(xí)3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零可構(gòu)造不等式組求得函數(shù)定義域；利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由得：，即的定義域?yàn)?；，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A.練習(xí)4．（2023秋·山東東營(yíng)·高三東營(yíng)市第一中學(xué)校考期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________．【答案】，【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，導(dǎo)函數(shù)分子無(wú)法判斷正負(fù)，再對(duì)分子求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故答案為：，.練習(xí)5．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)（a、b為正數(shù)）的嚴(yán)格減區(qū)間是（

）．A． B．與C．與 D．【答案】C【分析】由題得，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間得解.【詳解】解：由題得.由，令解得或．所以函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間是與.選項(xiàng)D，本題的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用“”連接，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C題型二 利用導(dǎo)函數(shù)圖象確定原函數(shù)圖象例3．（2023春·安徽安慶·高三安徽省宿松中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，，則下列判斷正確的是（

）A．單調(diào)遞增區(qū)間為 B．C． D．【答案】ABD【分析】由導(dǎo)函數(shù)圖象的符號(hào)判斷函數(shù)在各區(qū)間的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，由題圖知當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞增，故正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，故B正確；對(duì)于C，不一定是函數(shù)的最大值，最大值可能由區(qū)間的端點(diǎn)產(chǎn)生，所以錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故D正確；故選：ABD.例4．（2022春·安徽滁州·高三校考期末）定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值 D．函數(shù)在處取得極小值【答案】D【分析】先由函數(shù)圖像得到在各區(qū)間上的正負(fù)，再判斷單調(diào)性及極值即可.【詳解】由圖像知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；函數(shù)在單減，在上單增，在處取得極小值，D正確.故選：D.練習(xí)6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致如下圖，則可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】對(duì)其求導(dǎo)之后，由導(dǎo)函數(shù)的奇偶性排除CD，再由選項(xiàng)B中該函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)判定其一階導(dǎo)函數(shù)應(yīng)在上單調(diào)遞增，即可判定答案.【詳解】由圖可知，的導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，其中選項(xiàng)CD的導(dǎo)函數(shù)分別為，其，都為非奇非偶函數(shù)，即可排除C,D，其中選項(xiàng)B的其中在顯然在上單調(diào)遞增，與圖象不符，錯(cuò)誤，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，還考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)奇偶性的幾何意義，屬于簡(jiǎn)單題.練習(xí)7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】根據(jù)，則單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減，容易判斷正確；對(duì)選項(xiàng)：取與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)應(yīng)該在此區(qū)間單調(diào)遞減，但從圖象上看不是單調(diào)遞減函數(shù)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.練習(xí)8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列圖象中不可能是函數(shù)的圖象的是A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可判斷出結(jié)果.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖像可得：當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；故BCD錯(cuò)誤，A正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題主要考查由導(dǎo)函數(shù)的圖像判定原函數(shù)的大致圖像，屬于基礎(chǔ)題型.練習(xí)9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的圖象（如圖所示）與軸分別交于原點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)，若和3是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則不等式的解集（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】根據(jù)的圖像可得在上的正負(fù)值，進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合的零點(diǎn)畫出的簡(jiǎn)圖，進(jìn)而求得不等式的解集.【詳解】由圖，當(dāng)時(shí)，故，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故，為減函數(shù)；由圖，當(dāng)時(shí)，故，為增函數(shù)；又和3是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，畫出的簡(jiǎn)圖如下：故不等式的解集為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的圖像，分析原函數(shù)單調(diào)性從而求得不等式的問(wèn)題.需要根據(jù)題意分段討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),屬于中檔題.練習(xí)10．（2023春·北京大興·高二北京市大興區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系確定正確選項(xiàng)（實(shí)際上排除錯(cuò)誤選項(xiàng)）．【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，原函數(shù)先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，最后緩慢單調(diào)遞增，選項(xiàng)C符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．根據(jù)導(dǎo)函數(shù)絕對(duì)值的大小得出原函數(shù)增減速度的快慢是解題的關(guān)鍵．題型三 利用原函數(shù)圖象確定導(dǎo)函數(shù)圖象例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，圖像如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】的解集即為單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合圖像理解判斷．【詳解】的解集即為單調(diào)遞增區(qū)間結(jié)合圖像可得單調(diào)遞增區(qū)間為則的解集為故選：C．例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)或時(shí)，C．當(dāng)或時(shí)， D．函數(shù)f（x）在處取得極小值【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的增減以及極值點(diǎn)的定義判斷.【詳解】A.由圖象知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）遞增，所以，故正確；B.由圖象知：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)f（x）遞增，所以，故正確；C.由圖象知：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)f（x）分別取得極小值和極大值，故正確；D.由圖象知：函數(shù)f（x）在處取得極大值，故錯(cuò)誤；故選：D練習(xí)11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)()的圖象如圖所示，則不等式的解集為_____．【答案】【分析】先由的圖象得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得和的解集，進(jìn)而求出的解集.【詳解】解：由的圖象可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的解集為，的解集為，由得或，所以的解集為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)圖象與其導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.練習(xí)12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，若函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由表示函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)圖像，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由圖像可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，因此的解集為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)圖像確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，熟記導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖像之間關(guān)系即可，屬于基礎(chǔ)題型.練習(xí)13．（2023春·陜西咸陽(yáng)·高二?？计谥校┖瘮?shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】原不等式等價(jià)于或,然后根據(jù)圖象分段考察導(dǎo)數(shù)的正負(fù)區(qū)間，即可求得答案.【詳解】不等式等價(jià)于或,由函數(shù)的圖象可知，在時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為的解集為,在時(shí)，的對(duì)應(yīng)區(qū)間為,∴的解集為，的解集為不等式的解集為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的圖象求與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式的解集問(wèn)題，涉及導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是將所求不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，結(jié)合圖象觀察導(dǎo)數(shù)為正值和負(fù)值的區(qū)間，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.練習(xí)14．（2023秋·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得到函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，所以A選項(xiàng)和C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，先增，再減，然后再增，則先正，再負(fù)，然后再正，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.一般地，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，，則在這個(gè)區(qū)間是增函數(shù)；函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，，則在這個(gè)區(qū)間是減函數(shù).練習(xí)15．（2023春·浙江·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)的正誤，利用、、的符號(hào)可分別判斷D、B、C選項(xiàng)的正誤.【詳解】，，令，由圖象可知，函數(shù)先減后增再減，則，可得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，則，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；，則，B選項(xiàng)正確；，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B．題型四 已知函數(shù)在區(qū)間上遞增（減）求參數(shù)例7．（2022春·四川綿陽(yáng)·高二?？计谥校┤艉瘮?shù)定義域上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)單調(diào)性可得在上恒成立，即，構(gòu)造，求導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性求最大值即可得解.【詳解】由函數(shù)定義域上單調(diào)遞減，得在上恒成立，即，令，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；所以，所以.故選：C.例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則的取值范圍是_________．【答案】【分析】先求導(dǎo)，根據(jù)題意在上恒成立，整理即得在上恒成立，再求的值域即得結(jié)果.【詳解】由知，,時(shí)，是增函數(shù)，，又，∴在上恒成立，而，．故答案為：．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍通常有以下思路：函數(shù)在區(qū)間I上遞增，則恒成立；函數(shù)在區(qū)間I上遞減，則恒成立.練習(xí)16．（2023春·陜西延安·高二校考期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)，通過(guò)構(gòu)造法，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)、反比練習(xí)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)?，所以，于是有，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)在是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，因此當(dāng)時(shí)，恒成立，只需，故選：D練習(xí)17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導(dǎo)數(shù)，由題意得在上恒成立，由分離參數(shù)思想可得結(jié)果.【詳解】由得，由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，即在上恒成立，即，即得在恒成立，所以，故選：D.練習(xí)18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別是，，2，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．1 D．8【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求得，則轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)的范圍求值域即可.【詳解】由得，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，在上是減函數(shù)，所以，所以，此時(shí)的另外一個(gè)根，所以，因?yàn)榉匠逃?個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別是，，2，所以，所以且，所以則所以，因?yàn)椋?，所以的最小值?.故選：A．練習(xí)19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）根據(jù)，解得，得到，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）把在定義域上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，分類參數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)椋獾茫?，令，即，解得或；令，即，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若在定義域上是增函數(shù)，則對(duì)恒成立，因?yàn)?，即時(shí)，不等式恒成立，即對(duì)恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問(wèn)題：（1）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為區(qū)間上恒成立；（2）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為區(qū)間上恒成立；（3）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解；（4）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解.練習(xí)20．（2023春·山東棗莊·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)在上單調(diào)速增，由在上恒成立求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)速增，所以在上恒成立，即所以在上恒成立，因?yàn)?，所以，?jīng)檢驗(yàn)等號(hào)成立，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到．題型五 已知函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)例9．（2020春·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________.【答案】【解析】由題意知，存在使得，利用參變量分離法得出，利用基本不等式求出在時(shí)的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，定義域?yàn)?，，由題意可知，存在使得，即.由基本不等式可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)區(qū)間的存在性求參數(shù)，考查參變量分離法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.例10．（2011秋·山東濟(jì)寧·高三階段練習(xí)）函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間的充要條件是______【答案】【分析】先將函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)在上能成立問(wèn)題，利用分離參數(shù)思想在上能成立，，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求出范圍即可.【詳解】，∵函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間∴在上能成立，即，化簡(jiǎn)得在上能成立，設(shè)，則在恒成立，∴在上單調(diào)遞減，且∴，即函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間的充要條件是故答案為：.練習(xí)21．（2022春·全國(guó)·高二期末）已知函數(shù)(1)若，求的增區(qū)間；(2)若，且函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義域以及即可求出的增區(qū)間；（2）根據(jù)題意可知，在上有解區(qū)間，再分參轉(zhuǎn)化為求最值，即可求出的取值范圍；(1)的定義域是，時(shí)，，令，得，∴函數(shù)的增區(qū)間是.(2)，由函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，知在上有解區(qū)間，∴，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，（當(dāng)時(shí)，不等式只有唯一的解，不符題意舍去），又，∴的取值范圍是．練習(xí)22．（2023·全國(guó)·高二周測(cè)）已知，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)都有恒成立，則的取值范圍是___，若在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是________．【答案】【分析】將不等式等價(jià)變形成，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性得解；由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)大于0在上有解即可作答.【詳解】因?qū)θ我鈨蓚€(gè)不等的正實(shí)數(shù)都有，則不妨令，于是有，設(shè)函數(shù)，依題意，是定義域上的增函數(shù)，則有，而當(dāng)時(shí)，取得最大值1，從而得，所以的取值范圍是；因在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則不等式，即在上有解，而時(shí)，，于是得，所以的取值范圍是.故答案為：；練習(xí)23．（2022春·黑龍江哈爾濱·高二校考期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，f(x)在內(nèi)存在單調(diào)增區(qū)間，等價(jià)于在上有有解，然后參變分離即可求解﹒【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴在區(qū)間上有解(成立)，即在區(qū)間上成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值，即，即，得．故選：D﹒練習(xí)24．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則m的取值范圍是______．【答案】【分析】先對(duì)求導(dǎo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解，即在上有解，利用換元法與基本不等式求出的最大值即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則原向題等價(jià)于在上有解，即在上有解，即在上有解，令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，所以，則，所以，即.故答案為：.練習(xí)25．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．(1)若在區(qū)間(0，1)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；【答案】(1)【分析】（1）求出，對(duì)分類討論確定是否在上可能成立即可得；【詳解】（1）由，得，①若，則，此時(shí)f（x）在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，滿足條件；②若，令，可知時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，由于f（x）在區(qū)間(0,1)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則即在(0,1)上有解，由于在(0,1)上單調(diào)遞減，則，此時(shí)．綜上所述，若f（x）在區(qū)間(0,1)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是．題型六 已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)例11．（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考階段練習(xí)）若函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在存在變號(hào)零點(diǎn)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，列式可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，所以函數(shù)在存在變號(hào)零點(diǎn)，由可得：，，于是，解得：5.故答案為：例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在定義域上不單調(diào)，則正整數(shù)的最小值是______．【答案】3【分析】求導(dǎo)，令，得到，再根據(jù)，且求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，得，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以不單調(diào)遞增，所以正整數(shù)的最小值是3，故答案為：3練習(xí)26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把題意轉(zhuǎn)化為在內(nèi)應(yīng)有異號(hào)實(shí)數(shù)根，利用零點(diǎn)存在定理列不等式即可求得.【詳解】∵，∴∵函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)∴在區(qū)間上有根∴當(dāng)a＝0時(shí)，x＝－1不滿足條件當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴.故選：D．練習(xí)27．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則t的取值范圍．【答案】(1)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)【分析】（1）求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求導(dǎo)得到函數(shù)的極值點(diǎn)，利用極值點(diǎn)在區(qū)間（t，t＋1）內(nèi)可滿足條件，再建立不等式即可求解.【詳解】（1）由題意知，由得x＝1或x＝3，時(shí)，；時(shí)，或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（2）由（1）函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為x＝1,3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上不單調(diào)，所以或解得或，即t的取值范圍為練習(xí)28．（2022春·四川成都·高二校考期中）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出的解，根據(jù)該解在上可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，令，則或（舍），因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，故即，故選：A.練習(xí)29．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和極值點(diǎn)，由題意得極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，結(jié)合定義域，即可得答案.【詳解】由題意得，令，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，則為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則為增函數(shù)，所以在處取得極小值，所以，解得，又為定義域的一個(gè)子區(qū)間，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A練習(xí)30．（2022秋·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)在R上不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)定義域上有正有負(fù)及三角函數(shù)的性質(zhì)確定參數(shù)范圍.【詳解】由，而，要使在R上不單調(diào)，則.故選：D題型七 利用函數(shù)單調(diào)性比較大小例13．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知，，，且，，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系是____________.（用“<”連接）【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，，，，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上的單調(diào)性和在上的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】設(shè)，，則，，由題意知，，，，因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ栽谏蠁握{(diào)遞減，所以.故答案為：例14．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，，再利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，即可比較大小作答.【詳解】設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞增，則，即，設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞增，則，即，所以．故選：D練習(xí)31．（2022·全國(guó)·高二期末）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.【詳解】因?yàn)?，，，所以?gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，由有：，由有：，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，?因?yàn)?，所以，故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.練習(xí)32．（山東省德州市20222023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）（多選）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】移項(xiàng)可得，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，再根據(jù)指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】由題可得，，設(shè)，，所以，即函數(shù)在上遞增，所以由可得：．對(duì)于A，由函數(shù)在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知函數(shù)在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，若，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，D正確．故選：BD．練習(xí)33．（2023春·山東青島·高二青島市即墨區(qū)第一中學(xué)統(tǒng)考期中）已知，，．其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，再比較大小作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在上遞增，函數(shù)在上遞增，于是，即有，，即有，所以.故選：D練習(xí)34．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，且，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，，，故考慮構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得，由此比較的大小.【詳解】由，，，可得，，．令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，所以，又，．故選：D．練習(xí)35．（山西省大同市2023屆高三下學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，比較各式的大小.【詳解】，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，則，故在上為增函數(shù)，有，即，所以，故.設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，則，，解得；，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，取最大值，所以，即，時(shí)等號(hào)成立，所以，即，又，所以.故選：D．題型八 利用函數(shù)單調(diào)性解決抽象不等式例15．（2023春·上海浦東新·高三上海市川沙中學(xué)?？计谥校┮阎x在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式的解集是______．【答案】【分析】不等式轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解函數(shù)不等式.【詳解】不等式轉(zhuǎn)化為，令，則，在上單調(diào)遞減，，，的解集為，即不等式的解集為.故答案為：例16．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，對(duì)任意的，都有，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求得，得到為上的奇函數(shù)，根據(jù)題意求得，進(jìn)而得到函數(shù)在上為減函數(shù)，把不等式，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳